2P-Y Høst 2023

Vi finner prisen for 20 enkeltbilletter og sammenligner med fleksikortet.

Fleksikortet koster $415\mathrm{kr}$, så fleksikortet er billigere enn 20 enkeltbilletter.

Vi finner hvor mange enkeltbilletter som koster like mye som fleksikortet:

Siden antall reiser må være et helt tall, må hun ta minst 17 reiser for at det skal lønne seg å kjøpe fleksikort.

Med 16 reiser koster enkeltbilletter $16\cdot 25=400\mathrm{kr}$, som er billigere enn fleksikortet på $415\mathrm{kr}$.

Med 17 reiser koster enkeltbilletter $17\cdot 25=425\mathrm{kr}$, som er dyrere enn fleksikortet.

Det lønner seg å kjøpe fleksikort hvis hun skal ta 17 reiser eller mer.

Vi beregner hva 20 enkeltbilletter koster:

Selma betaler $415\mathrm{kr}$ med fleksikort. Hun sparer:

Prosentvis besparelse regner vi slik:

Selma sparer $17\%$ sammenlignet med å kjøpe 20 enkeltbilletter.

For å finne medianen ser vi etter den 50. verdien (siden det er 100 ansatte).

Vi teller opp fra den yngste gruppen:

Bedrift A:

Den 50. verdien havner i gruppen $⟨20,40⟩$ (vi trenger bare 50, og det er 52 i denne gruppen). Medianen til bedrift A ligger altså i intervallet $⟨20,40⟩$, så medianalderen er under 40 år.

Bedrift B:

Den 50. verdien havner i gruppen $⟨40,60⟩$ (de første 40 er i yngste gruppe, så vi trenger den 10. i neste gruppe). Medianen til bedrift B ligger i intervallet $⟨40,60⟩$, så medianalderen er mellom 40 og 60 år.

Konklusjon: Bedrift A har lavest medianalder, siden medianen til A ligger under 40 år, mens medianen til B ligger mellom 40 og 60 år.

For å beregne gjennomsnittsalderen i bedrift B bruker vi midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi for gruppen.

Midtpunkter:

• $⟨20,40⟩$: midtpunkt $=\frac{20+40}{2}=30$
• $⟨40,60⟩$: midtpunkt $=\frac{40+60}{2}=50$
• $⟨60,70⟩$: midtpunkt $=\frac{60+70}{2}=65$

Gjennomsnittsalder:

Gjennomsnittsalderen i bedrift B er $\underline{\underline{\mathrm{43,5}\text{ år}}}$.

Et histogram for aldersfordelingen i bedrift B ser slik ut:

Merk at intervallene ikke er like brede: $⟨20,40⟩$ og $⟨40,60⟩$ er 20 år brede, mens $⟨60,70⟩$ er 10 år bred. Vi bruker frekvenstetthet (antall per år) på $y$-aksen for å lage histogrammet korrekt.

Histogrammet tegnes med alder på $x$-aksen og frekvenstetthet (antall ansatte per år) på $y$-aksen. Søylene har høyde henholdsvis $2$, $\mathrm{2,5}$ og $1$.

En eksponentialfunksjon har formen

der $b$ er startverdien (verdien når $x=0$) og $a$ er vekstfaktoren.

Startverdi: Av grafen leser vi av at $B(0)=10000$.

Vekstfaktor: Vi leser av et punkt til fra grafen. Ved $x=4$ ser kurven ut til å passere gjennom ca. $4000$.

Vi prøver $a=\mathrm{0,8}$:

Dette stemmer godt med grafen, og $\mathrm{0,8}$ er et pent tall som passer for en slik modell (nedgang med $20\%$ per time).

Dermed er:

$\underline{\underline{B(x)=10000\cdot {\mathrm{0,8}}^x}}$

Vi ser på uttrykket $B(x)=10000\cdot {\mathrm{0,8}}^x$.

Tallet $\mathrm{0,8}$ er et positivt tall som er mindre enn $1$. Når vi opphøyer et slikt tall i stadig større eksponent, blir resultatet stadig mindre – men det vil aldri bli null.

For eksempel:

• ${\mathrm{0,8}}^{10}\approx \mathrm{0,107}$
• ${\mathrm{0,8}}^{50}\approx \mathrm{0,000}14$
• ${\mathrm{0,8}}^{100}\approx \mathrm{0,000}000002$

Ingen av disse er null, og ${\mathrm{0,8}}^x$ kan aldri bli eksakt $0$ uansett hvor stor $x$ er.

Siden $B(x)=10000\cdot {\mathrm{0,8}}^x$ aldri kan bli null, vil antall bakterier aldri bli null. Grafen nærmer seg $x$-aksen mer og mer når $x$ øker, men den vil aldri krysse den.

Vi teller antall sirkler i de tre første figurene:

Vi ser på økningen fra figur til figur:

Økningen øker med $2$ for hvert steg. Neste økning er da $7+2=9$.

Figur 4:

For å finne figur 10 fortsetter vi mønsteret:

Figur 10 har $\underline{\underline{120}}$ sirkler.

Mønsterbeskrivelse:

Ser vi på strukturen i figurene, kan vi beskrive mønsteret slik:

• Figur $n$ har øverst én rad med $n$ sirkler.
• Under der er det $n$ rader med $(n+1)$ sirkler.

Totalt: $n+n\cdot (n+1)=n+n^2+n=n^2+2n=n(n+2)$

Generelt uttrykk:

Vi kan dobbeltsjekke:

• $n=1$: $1\cdot 3=3$ ✓
• $n=2$: $2\cdot 4=8$ ✓
• $n=3$: $3\cdot 5=15$ ✓
• $n=4$: $4\cdot 6=24$ ✓
• $n=10$: $10\cdot 12=120$ ✓

$\underline{\underline{a_n=n(n+2)}}$

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra og velger et passende vindu for $0\le x\le 300$:

Grafen viser at temperaturen starter på litt under $4°\mathrm{C}$, synker til et lokalt minimum tidlig i januar, stiger gjennom vinteren og våren til et toppunkt rundt dag 225 (tidlig august), og deretter synker mot slutten av perioden.

Vi bruker kommandoen Extremum(T, 0, 300) i GeoGebra for å finne høyeste og laveste temperatur i intervallet $⟨0,300⟩$.

GeoGebra finner:

• Laveste temperatur: $T\approx \mathrm{3,6}°\mathrm{C}$ ved $x\approx 13$ (rundt 13. januar)
• Høyeste temperatur: $T\approx \mathrm{16,9}°\mathrm{C}$ ved $x\approx 225$ (rundt 13. august)

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur er:

Ifølge modellen er forskjellen mellom høyeste og laveste sjøtemperatur de 300 første dagene i 2021 omtrent $\underline{\underline{\mathrm{13,3}°\mathrm{C}}}$.

$x=0$ er 31. desember 2020, så januar har dager $x=1$ til $x=31$, februar har dager $x=32$ til $x=59$, og mars har dager $x=60$ til $x=90$ (mars har 31 dager).

Den gjennomsnittlige temperaturendringen per døgn i mars er:

Ifølge modellen steg sjøtemperaturen i gjennomsnitt med omtrent $\underline{\underline{\mathrm{0,077}°\mathrm{C}}}$ per døgn i mars.

Det vil si at sjøen ble omtrent $\mathrm{0,08}°\mathrm{C}$ varmere for hvert døgn som gikk i mars.

Vi beregner $T(100)$ ved å sette $x=100$:

$T(100)=\underline{\underline{\mathrm{8,5}°\mathrm{C}}}$. Dette betyr at sjøtemperaturen ifølge modellen var $\mathrm{8,5}°\mathrm{C}$ den 100. dagen i 2021, det vil si rundt 10. april.

Den momentane vekstfarten er den deriverte $T^{\prime }(x)$ evaluert i $x=100$. Vi bruker GeoGebra til å beregne $T^{\prime }(100)$:

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{\mathrm{0,091}\text{°C/døgn}}}$. Dette betyr at sjøtemperaturen økte med omtrent $\mathrm{0,091}°\mathrm{C}$ per døgn akkurat den 10. april — temperaturen steg altså raskt på dette tidspunktet av året.

Verdien har økt med $\mathrm{4,5}\%$ hvert år i 5 år, så vekstfaktoren er $\mathrm{1,045}$.

For å finne verdien for fem år siden regner vi bakover — vi deler på vekstfaktoren i stedet for å gange:

Eiendommen var verdt ca. $\underline{\underline{9629000\mathrm{kr}}}$ for fem år siden.

Vi lar $r$ være vekstfaktoren per år. Petter vil at verdien skal dobles på 10 år, det vil si:

Vi løser for $r$ ved å ta 10. rot på begge sider:

Det betyr at den årlige økningen er:

Grafen nedenfor viser eksponentialfunksjonen $V(t)=12000000\cdot {\mathrm{1,0718}}^t$ der $t$ er antall år fra i dag. De stiplede grønne linjene viser at ved $t=10$ er verdien $24000000\mathrm{kr}$ — det dobbelte av startverdi.

Verdien må øke med ca. $\underline{\underline{\mathrm{7,2}\%}}$ per år for at eiendommen skal dobles på 10 år.

Vi sorterer verdiene i stigende rekkefølge:

Typetall er den verdien som forekommer flest ganger. $15$ forekommer tre ganger.

$\underline{\underline{\text{Typetall}=15}}$

Variasjonsbredde er differansen mellom største og minste verdi:

$\underline{\underline{\text{Variasjonsbredde}=14}}$

Median er midtverdien når verdiene er sortert. Med 11 verdier er medianen den 6. verdien (grønn ovenfor).

$\underline{\underline{\text{Median}=14}}$

Vi bruker GeoGebra til å beregne gjennomsnitt og standardavvik. Vi skriver inn dataene som en liste og bruker Mean() og stdev().

Fra GeoGebra leser vi av:

$\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt}\approx \mathrm{14,5}}}$ og $\underline{\underline{\text{Standardavvik}\approx \mathrm{3,9}}}$

Vi sammenligner de to sesongene:

Medianen i 2022 ($14$) er høyere enn i 2021 ($11$), noe som tyder på at halvparten av toppscorerne i 2022 scoret flere mål enn halvparten i 2021. Gjennomsnittet er likt for begge sesongene ($\mathrm{14,5}$), men standardavviket er mye lavere i 2022 ($\mathrm{3,9}$ mot $\mathrm{6,7}$). Det betyr at scoringene i 2022 var mer jevnt fordelt. I 2021 var det trolig en stor spredning mellom de som scoret mest og de som scoret minst av de 11 – noe som drar opp gjennomsnittet selv om medianen er lavere.

Konklusjon: De 11 toppscorerne i 2022 hadde omtrent samme gjennomsnitt som i 2021, men scoringene var betydelig mer jevnt fordelt (lavere standardavvik). I 2021 var det trolig en spiller (eller noen få) med svært mange mål som trakk gjennomsnittet opp, mens flertallet scoret færre mål enn medianen i 2022.

Felles utgangspunkt:

Utslippet i 2022 er $\mathrm{48,9}$ millioner tonn. Målet for 2030 er en reduksjon på $55\%$ sammenlignet med 1990-nivået:

La $x$ = antall år etter 2022. Da svarer $x=0$ til 2022 og $x=8$ til 2030.

Anders – lineær modell:

Anders antar at utslippet reduseres med et fast antall tonn per år. Da er modellen en lineær funksjon:

Vi vet at $f(8)=\mathrm{23,085}$:

Det vil si at utslippet må reduseres med ca. $\mathrm{𝟑,𝟐}$ millioner tonn per år.

Arne – eksponentiell modell:

Arne antar at utslippet reduseres med en fast prosent per år. Da er modellen en eksponentialfunksjon:

Vi vet at $g(8)=\mathrm{23,085}$:

Vekstfaktoren $\mathrm{0,9104}$ betyr en reduksjon på $1-\mathrm{0,9104}=\mathrm{0,0896}$, altså ca. $\mathrm{𝟗}\%$ per år.

Målet for 2050 er en reduksjon på 90–95 % fra 1990-nivået. Det gir et tillatt utslippsintervall:

År 2050 tilsvarer $x=28$. Vi bruker GeoGebra til å tegne begge modellene og avlese verdiene ved $x=28$, og tegner inn målgrensene som horisontale linjer.

Vi leser av fra grafen:

Anders sin modell ($\text{blå linje}$): Den lineære modellen krysser x-aksen allerede rundt $x\approx 15$ (år 2037). Det betyr at modellen gir negativt klimagassutslipp fra 2037 – noe som er fysisk umulig. Modellen er ikke realistisk for å beskrive utviklingen frem til 2050.

Arnes modell ($\text{grønn kurve}$): Vi setter inn $x=28$:

Dette tilsvarer en reduksjon på ca. ${\displaystyle \frac{\mathrm{51,3}-\mathrm{3,5}}{\mathrm{51,3}}}\approx 93\%$ fra 1990-nivået, som er innenfor 90–95 %-målet.

Konklusjon: Arnes eksponentielle modell er realistisk – den gir ikke negative utslipp, og hvis den prosentvise reduksjonen på ca. $9\%$ per år opprettholdes, vil utslippet i 2050 ligge innenfor lavutslippsmålet på 90–95 % reduksjon fra 1990.