Logaritmefunksjon ln x delt på x

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{\ln x}{x}

Vis at $f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ .

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = 3 - 6e \cdot f(x)

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $g$ .

Fasit

Se løsningsforslag

Toppunkt $(e, e^{-1})$

Bunnpunkt $(e, -3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ med kvotientregelen:

f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}

Vi setter $f'(x) = 0$ :

\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 - \ln x = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = e

Siden $x^2 > 0$ for alle $x > 0$ , bestemmes fortegnet til $f'(x)$ av telleren $1 - \ln x$ :

$f$ skifter fra voksende til avtagende, altså har vi et toppunkt:

f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}

\underline{\underline{\text{Toppunkt: } \left(e{,}\ \frac{1}{e}\right) \approx (2{,}72{,}\ 0{,}37)}}

Det er ingen bunnpunkter.

g(x) = 3 - 6e \cdot f(x) = 3 - \frac{6e \cdot \ln x}{x}

Vi deriverer:

g'(x) = -6e \cdot f'(x) = -6e \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}

$g'(x) = 0$ gir $1 - \ln x = 0$ , altså $x = e$ (samme som for $f$ ).

Fortegnsanalyse: Siden $-6e < 0$ , snur $g'$ fortegnet sammenlignet med $f'$ :

$g$ skifter fra avtagende til voksende, altså har vi et bunnpunkt:

g(e) = 3 - 6e \cdot \frac{1}{e} = 3 - 6 = -3

\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } (e, -3) \approx (2{,}72{,}\ {-3})}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2021, del 1, oppgave 5
Poeng: 6
Temaer: derivasjon, logaritmer, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon