Polynomdivisjon med ulikhet og eksponentiallikning

Polynomet $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 2x^2 - 31x - 28

Vis, uten å utføre polynomdivisjon, at $P(x)$ ikke er delelig med $(x - 1)$ .

Utfør polynomdivisjonen $P(x) : (x + 1)$ .

Løs ulikheten $P(x) \geq 0$ .

Løs likningen $e^{3x} - 2e^{2x} - 31e^x - 28 = 0$ .

Fasit

$P(1) = -60 \neq 0$

$P(x) : (x+1) = x^2 - 3x - 28$

$x \in \{-4\} \cup [7, \to\rangle$

$x = \ln 7$

LøsningsforslagKI-generert

Dersom $P(x)$ er delelig med $(x-1)$ , må $P(1) = 0$ (faktorteoremet).

P(1) = 1 - 2 - 31 - 28 = -60 \neq 0

Altså er $P(x)$ ikke delelig med $(x - 1)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen:

\begin{aligned} &\quad (x^3 - 2x^2 - 31x - 28) : (x + 1) = x^2 - 3x - 28 \\[4pt] &\quad\underline{-(x^3 + x^2)} \\ &\quad\quad -3x^2 - 31x \\ &\quad\quad \underline{-(-3x^2 - 3x)} \\ &\quad\quad\quad -28x - 28 \\ &\quad\quad\quad \underline{-(-28x - 28)} \\ &\quad\quad\quad\quad 0 \end{aligned}

Altså $P(x) = (x+1)(x^2 - 3x - 28)$ .

Vi faktoriserer $x^2 - 3x - 28$ :

x^2 - 3x - 28 = (x - 7)(x + 4)

Dermed er $P(x) = (x+1)(x+4)(x-7)$ med nullpunkter $x = -4$ , $x = -1$ og $x = 7$ .

Fortegnslinje:

	$x < -4$	$-4 < x < -1$	$-1 < x < 7$	$x > 7$
$P(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

$P(x) \geq 0$ for $x = -4$ , $x \in [-4, -1]$ … nei, la oss sjekke:

For $x = -3$ : $P(-3) = (-3+1)(-3+4)(-3-7) = (-2)(1)(-10) = 20 > 0$ ✓

\underline{\underline{P(x) \geq 0 \quad \text{for} \quad x \in [-4{,}\ {-1}] \cup [7{,}\ \to\rangle}}

Vi setter $u = e^x$ i likningen $e^{3x} - 2e^{2x} - 31e^x - 28 = 0$ :

u^3 - 2u^2 - 31u - 28 = 0

Dette er $P(u) = 0$ , som fra oppgave b) og c) har løsningene $u = -4$ , $u = -1$ og $u = 7$ .

Siden $u = e^x > 0$ , er den eneste gyldige løsningen $u = 7$ :

e^x = 7 \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{x = \ln 7 \approx 1{,}95}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2021, del 1, oppgave 2
Poeng: 7
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering, likninger
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon