Vekten til poteter

Vi lar $X$ være vekten til en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen til Jostein. Vi antar at $X$ er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 200 gram og standardavvik 40 gram.

Jostein skal ta opp poteter. Han plukker en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen.

Bestem sannsynligheten for at poteten veier mellom 180 gram og 220 gram

Normalfordelingskurven til $X$ er grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x)=\frac{1}{40\sqrt{ 2\pi }}\cdot e^{-\frac{(x-200)^{2}}{3200}}

Bestem $\int_{0}^{150} f(x) \, dx$ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Lag en skisse av grafen til $f$ . Bruk skissen til å visualisere resultatene fra oppgave a og oppgave b.

Jostein tar opp 500 tilfeldige poteter fra kjøkkenhagen.

Hvor mange av disse potetene kan han regne med at den veier minst 300 gram?

Fasit

0,383

0,106. Dette er sannsynligheten for å trekke opp en potet som veier mindre enn 150 gram.

–

3,1. Vi runder av til 3 poteter.

Løsningsforslag

$X$ er normalfordelt med $\mu = 200$ og $\sigma = 40$ .

P(180 < X < 220) = P\!\left(\frac{180 - 200}{40} < Z < \frac{220 - 200}{40}\right) = P(-0{,}5 < Z < 0{,}5)

= \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) = 0{,}6915 - 0{,}3085 = \underline{\underline{0{,}383}}

\int_{0}^{150} f(x) \, \mathrm{d}x = P(X \leq 150) = \Phi\!\left(\frac{150 - 200}{40}\right) = \Phi(-1{,}25) \approx \underline{\underline{0{,}106}}

Dette er sannsynligheten for at en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen veier mindre enn 150 gram.

Normalfordelingskurven er symmetrisk om $\mu = 200$ og klokkeformet.

Arealet mellom $x = 180$ og $x = 220$ (oppgave a) representerer $P(180 < X < 220) \approx 0{,}383$
Arealet til venstre for $x = 150$ (oppgave b) representerer $P(X \leq 150) \approx 0{,}106$

P(X \geq 300) = 1 - \Phi\!\left(\frac{300 - 200}{40}\right) = 1 - \Phi(2{,}5) = 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062

Forventet antall poteter som veier minst 300 gram:

500 \cdot 0{,}0062 \approx \underline{\underline{3{,}1 \approx 3 \text{ poteter}}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2021, del 1, oppgave 6
Temaer: sannsynlighet, normalfordeling
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen