Grensekostnad og grenseinntekt bedrift

Når en bedrift produserer og selger $x$ enheter per dag, er grensekostnaden $K'$ og grenseinntekten $I'$ gitt ved

K'(x) = 0{,}4x + 500 \quad \text{og} \quad I'(x) = -0{,}3x + 850

Bedriften produserer og selger 400 enheter per dag.

Avgjør om en økning i den daglige produksjonsmengden vil kunne gi et større overskudd for bedriften.

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Bedriftens daglige kostnader $K$ består av en fast del på 50 000 kroner og en variabel del som er avhengig av produksjonsmengden.

Hva er de daglige kostnadene ved produksjon av 400 enheter?

Fasit

Ja, en økning vil gi større overskudd

500 enheter

$282\,000 \mathrm{~kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddet øker når grenseinntekten er større enn grensekostnaden, altså når $I'(x) > K'(x)$ .

Vi sjekker for $x = 400$ :

K'(400) = 0{,}4 \cdot 400 + 500 = 660

I'(400) = -0{,}3 \cdot 400 + 850 = 730

Siden $I'(400) = 730 > 660 = K'(400)$ , vil en økning i produksjonsmengden gi større overskudd.

Overskuddet er størst når $I'(x) = K'(x)$ :

-0{,}3x + 850 = 0{,}4x + 500

350 = 0{,}7x \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{x = 500}}

Vi sjekker at dette gir maksimum: For $x < 500$ er $I'(x) > K'(x)$ (overskuddet øker), og for $x > 500$ er $I'(x) < K'(x)$ (overskuddet avtar). Altså er overskuddet størst ved 500 enheter.

Vi finner $K(x)$ ved å integrere grensekostnaden:

K(x) = \int K'(x) \, \mathrm{d}x = 0{,}2x^2 + 500x + C

Den faste kostnaden er $C = 50\,000$ , så

K(x) = 0{,}2x^2 + 500x + 50\,000

K(400) = 0{,}2 \cdot 160\,000 + 500 \cdot 400 + 50\,000 = 32\,000 + 200\,000 + 50\,000 = \underline{\underline{282\,000 \mathrm{~kr}}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2021, del 1, oppgave 4
Poeng: 6
Temaer: grenseinntekt og grensekostnad, optimering, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene