R2 Høst 2023

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra CAS og bruker TrigReg til å finne en sinusmodell. Alternativt kan vi bruke de forhåndsregnede parameterne fra regresjonen direkte:

Her er $t$ antall timer etter midnatt 24. april, og $f(t)$ er vannstanden i cm.

Modellen har periode $T = \dfrac{2\pi}{0{,}5144} \approx 12{,}2 \, \mathrm{timer}$, som er typisk for semidiurnalt tidevann (to høyvann og to lavvann per døgn).

$\underline{\underline{f(t) = 31{,}04 \cdot \sin(0{,}5144t + 0{,}1898) + 83{,}59}}$

Vannstanden øker raskest når den deriverte $f'(t)$ er størst.

Vi deriverer $f$:

Denne er størst når $\cos(0{,}5144t + 0{,}1898) = 1$, det vil si når

Den 25. april svarer til $t \in [24, 48]$. Vi setter inn $n = 2$ og $n = 3$:

Ifølge modellen øker vannstanden raskest den 25. april kl. $\underline{\underline{00{:}04}}$ og kl. $\underline{\underline{12{:}16}}$.

Vi må finne et 2-timers tidsvindu der $f(t) > 90 \, \mathrm{cm}$ gjennom hele perioden.

Vi løser $f(t) = 90$ for $t \in [24, 48]$ numerisk i GeoGebra CAS (NLøs):

CAS gir fire løsninger:

Dette gir to vinduer der $f(t) > 90 \, \mathrm{cm}$:

• Vindu 1: kl. 00:28 – 05:46 (varighet $\approx 5{,}3 \, \mathrm{timer}$) → senest start kl. 03:46
• Vindu 2: kl. 12:41 – 17:59 (varighet $\approx 5{,}3 \, \mathrm{timer}$) → senest start kl. 15:59

Det siste mulige starttidspunktet på 25. april er i vindu 2:

De kan senest starte å slepe ut oljeplattformen $\underline{\underline{\text{ca. kl. } 16{:}00}}$ den 25. april.

Vi observerer differansene mellom påfølgende pentagontall:

Mønsteret er at $P_n - P_{n-1} = 5(n-1)$, altså legger man til $5(n-1)$ kuler for å gå fra figur $n-1$ til figur $n$.

Rekursiv sammenheng:

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a) direkte i et program:

P = 1
for n in range(2, 101):
    P = P + 5*(n-1)
print(P)

Programmet gir $\underline{\underline{P_{100} = 24751}}$.

Vi bruker teleskopsummering. Fra den rekursive sammenhengen får vi:

Eksplisitt formel: $\underline{\underline{P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}}}$

Kontroll: $P_5 = \dfrac{5 \cdot 25 - 25 + 2}{2} = \dfrac{102}{2} = 51$ ✓

Induksjonsbevis

Vi skal bevise at $P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}$ for alle $n \geq 1$.

Grunntrinn ($n = 1$):

Induksjonssteg: Anta at påstanden holder for $n = k$, det vil si at

Vi skal vise at den da også holder for $n = k+1$, altså at $P_{k+1} = \dfrac{5(k+1)^2 - 5(k+1) + 2}{2}$.

Fra den rekursive sammenhengen i a) har vi $P_{k+1} = P_k + 5k$. Vi setter inn induksjonshypotesen:

Vi sjekker at dette stemmer overens med formelen for $n = k+1$:

De to uttrykkene er like, så induksjonssteget er vist. ∎

Ved induksjonsprinsippet gjelder dermed $P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}$ for alle $n \geq 1$.

Funksjonen $M(t) = A \cdot \sin(ct + k) + d$ har amplitude $A$ og midtlinje $d$. Siden maksimum er $31{,}2$ og minimum er $18{,}2$, får vi

Perioden er $24$ timer (ett døgn), og sammenhengen mellom periode $P$ og $c$ er $P = \dfrac{2\pi}{c}$:

Svar: $\underline{\underline{A = 6{,}5}}$, $\underline{\underline{c = \dfrac{\pi}{12}}}$, $\underline{\underline{d = 24{,}7}}$

Vi skal finne begge tidspunktene der $M(t) = 27$. Vi bruker GeoGebra CAS.

Vi definerer $M(t)$ med de kjente verdiene $A = 6{,}5$, $c = \frac{\pi}{12}$, $d = 24{,}7$, og løser først for $k$ ved å bruke at $M(13) = 27$. Deretter setter vi inn $k$ og løser $M(t) = 27$ for $t$.

CAS gir to løsningsgrener for $k$ (én for stigende, én for synkende fase ved $t = 13$). Oppgaven sier at luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker mot kvelden, så $t = 13$ må ligge på den stigende grenen. Vi velger derfor

Med $k$ bestemt gir CAS de generelle løsningene

I løpet av ett døgn ($0 \le t < 24$) bruker vi $k_1 = 0$:

• $t = 13$ (klokken 13:00 — oppgitt)
• $t = \dfrac{25\pi - 24\sin^{-1}\!\!\left(\tfrac{23}{65}\right)}{\pi} \approx 22{,}24 \approx 22:14$

Svar: Det andre tidspunktet er klokken $\underline{\underline{22:14}}$.

Tangenten til kurven $C$ er gitt ved $\vec{r}_1'(t)$. Vi deriverer:

Tangenten er parallell med $xy$-planet når $z$-komponenten er null:

Punktet på kurven ved $t = \pi$:

Punktet $(0,\ \pi,\ -1)$ er det eneste punktet der tangenten er parallell med $xy$-planet.

Vi deriverer $\vec{r}_1'(t)$ én gang til:

Prikkproduktet er:

GeoGebra CAS bekrefter:

Siden prikkproduktet er null for alle $t$, er $\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)$ for alle $t$. $\square$

Smygplanet i et punkt inneholder $\vec{r}_1'(t)$ og $\vec{r}_1''(t)$. Normalvektoren til smygplanet er:

Vi regner ut kryssprodukt komponent for komponent:

Lengden av $\vec{n}$:

Vinkelen $\theta$ mellom normalvektoren $\vec{n}$ og $y$-aksen $\hat{j} = (0, 1, 0)$:

GeoGebra CAS bekrefter $|\vec{n}|^2 = 2$ og $\theta = \frac{\pi}{4}$:

Vinkelen mellom smygplanet og $y$-aksen er $90° - \theta = 90° - 45° = 45°$.

Siden $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ er uavhengig av $t$, er vinkelen mellom smygplanet og $y$-aksen alltid $\underline{\underline{45°}}$, uavhengig av hvilket punkt på kurven vi ser på. $\square$

Vi finner $\vec{r}_2'(t)$ og $\vec{r}_2''(t)$:

Normalvektoren til smygplanet:

Tolkning: Normalvektoren $\vec{n}_2 = \sin t \cdot (-2, 0, 1)$ peker alltid i retningen $(-2, 0, 1)$ (eller motsatt retning) uavhengig av $t$ (der $\sin t \neq 0$). Det betyr at smygplanet har den samme orienteringen for alle $t$ — det er alltid parallelt med planet med normal $(-2, 0, 1)$.

En naturlig forklaring er at kurven faktisk ligger i et fast plan: $z$-komponenten er $2\sin t + 1 = 2x + 1$, altså $z = 2x + 1$. Kurven $C_2$ ligger i sin helhet i planet $z = 2x + 1$, og smygplanet er det samme for alle punkter.

Merk at der $\sin t = 0$ (dvs. $t = 0, \pi, 2\pi, \ldots$) er $\vec{r}_2'$ og $\vec{r}_2''$ parallelle, og smygplanet er ikke definert i disse punktene.