R2 Høst 2023

Oppgave 1-1Bestemt integral 3

Regn ut integralet

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + 2 x) d x

Hva forteller svaret deg?

Fasit

Svaret er 0.

Løsningsforslag

Dette integralet trenger ingen spesielle regler eller teknikker for å løses.

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + 2 x) d x = {[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{2} x^{2}]}_{- 1}^{1}

Jeg setter inn grensene og får

(\frac{1}{4} 1^{4} + 1^{2}) - (\frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}) = 0

Siden svaret på integralet er 0 så må det være like mye areal avgrenset av grafen på oversiden av $x$ -aksen som på undersiden av $x$ -aksen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det gis 1 poeng for rett svar og 1 poeng for å gi en riktig tolkning av svaret.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Tolkning av integraler
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Areal mellom cosinus og sinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser grafene til funksjonene $f$ og $g$ , der $f (x) = \cos x$ og $g (x) = \sin x$ .

Grafene til f(x) = cos x og g(x) = sin x med fargelagt område

Bestem arealet av det fargelagte området vist på figuren.

Fasit

$A = 2 \sqrt{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Fra figuren ser vi at det fargelagte området er mellom kurvene $g (x) = \sin x$ og $f (x) = \cos x$ , der $\sin x \geq \cos x$ .

Vi finner skjæringspunktene ved å løse $\sin x = \cos x$ , det vil si $\tan x = 1$ . I intervallet $[0, 2 π]$ gir dette $x = \frac{π}{4}$ og $x = \frac{5 π}{4}$ .

I intervallet $⟨ \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4} ⟩$ er $\sin x \geq \cos x$ , så arealet er

A = \int_{π / 4}^{5 π / 4} (\sin x - \cos x) d x

Vi integrerer:

A = {[- \cos x - \sin x]}_{π / 4}^{5 π / 4}

Setter inn øvre grense $x = \frac{5 π}{4}$ :

- \cos \frac{5 π}{4} - \sin \frac{5 π}{4} = - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Setter inn nedre grense $x = \frac{π}{4}$ :

- \cos \frac{π}{4} - \sin \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = - \sqrt{2}

Dermed blir arealet

A = \sqrt{2} - (- \sqrt{2}) = 𝟐 \sqrt{𝟐}

Arealet av det fargelagte området er $2 \sqrt{2} \approx 2,83$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi for å bestemme $x$ -verdiene til skjæringspunkta, 1 poeng for å regne ut disse korrekt, 1 poeng for å sette opp rett integral og 1 poeng for å regne ut arealet korrekt.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Areal under graf, Trigonometri
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3aUendelig geometrisk rekke

En uendelig geometrisk rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ konvergerer mot 8.

Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at $a_{1} = 4$

Fasit

$s_{4} = 7,5$

Løsningsforslag

Jeg bruker formelen for uendelig geometrisk rekke. Jeg setter inn kjente verdier for å bestemme $k$ :

\frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{4}{1 - k} = 8 ⟺ \frac{4}{8} = 1 - k ⟺ k = \frac{1}{2}

Summen av de fire første leddene er $4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$

Summen av de fire første leddene er 7,5

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men gjør feil i utregningene.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Uendelig rekke, Rekker, Geometrisk rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-3a for seg selv

Oppgave 1-3bAritmetisk rekke

I en aritmetisk rekke er $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 114$ .

Bestem $a_{4}$ .

Fasit

$a_{4} = 38$

Løsningsforslag

Jeg vet at i en aritmetisk rekke er

a_{n + 1} = a_{n} + d

Vi kan dermed si at $a_{1} = a_{4} - 3 d$ og $a_{7} = a_{4} + 3 d$ .

Jeg setter inn for $a_{1}$ og $a_{7}$ i uttrykket og får

a_{4} - 3 d + a_{4} + a_{4} + 3 d = 114 ⟺ 3 a_{4} = 114 ⟺ a_{4} = 38

$a_{4} = 38$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men ikke finner riktig svar. Kandidater som kommer frem til riktig svar ved gjett og sjekk kan få full uttelling.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rekker, Aritmetisk rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-3b for seg selv

Oppgave 1-4Plan, normalvektor og avstand til punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $α$ er gitt ved likningen

x - 2 y + 2 z + 1 = 0

Vi har gitt punktet $A (4, 2, 2)$ .

Bestem en parameterframstilling for linjen gjennom $A$ som står normalt på planet $α$ .

Bestem avstanden fra $A$ til $α$ .

Fasit

$(x, y, z) = (4 + t, 2 - 2 t, 2 + 2 t), t \in ℝ$

$d = \frac{5}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Planet $α$ er gitt ved $x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ , og vi leser av normalvektoren direkte fra koeffisientene:

\vec{n} = [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}]

Lengden av normalvektoren er

| \vec{n} | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

En linje normalt på planet $α$ har retning $\vec{n}$ . Linjen gjennom $A (4, 2, 2)$ med retning $\vec{n}$ kan skrives som

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}] + t [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}], t \in ℝ

Det vil si

(𝐱, 𝐲, 𝐳) = (𝟒 + 𝐭, 𝟐 - 𝟐 𝐭, 𝟐 + 𝟐 𝐭), 𝐭 \in ℝ

Avstanden fra et punkt $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ til planet $a x + b y + c z + d = 0$ er gitt ved formelen

D = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

Her er $A (4, 2, 2)$ og planet er $x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ , altså $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 2$ , $d = 1$ .

Vi setter inn:

D = \frac{| 1 \cdot 4 + (- 2) \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1 |}{3} = \frac{| 4 - 4 + 4 + 1 |}{3} = \frac{| 5 |}{3} = \frac{𝟓}{𝟑}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten kommunisere hvordan retningsvektoren til linjen er funnet. Dersom kandidaten bruker $\vec{n} = [1, - 2, 2]$ , er det for eksempel nok å kommentere at dette er en normalvektor til planet. Riktig svar uten begrunnelser kan gi 1 poeng.

Kandidater som bruker en strategi som kan gi oss avstanden, men som ikke klarer å gjennomføre strategien, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Ukjent program h23

En elev har skrevet koden nedenfor

N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N

def f(x):
   return x**2-1

S = 0
for i in range(N):
    xi = start + i*dx
    S = S + abs(f(xi))*dx  # abs(f(x)) gir absoluttverdien til f(x)

print(S)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.

Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.

Fasit

Programmet regner ut en tilnærming til arealet mellom $x$ -aksen, grafen til $f (x) = x^{2} - 1$ og linjene $x = - 2$ og $x = 2$ .

Verdien er 4.

Løsningsforslag

Programmet forsøker å regne ut en tilnærmingsverdi for arealene mellom $x$ -aksen, grafen til $f (x) = x^{2} - 1$ , linja $x = - 2$ og linja $x = 2$ .

Ved å bruke absoluttverdifunksjonen så tar programmet hensyn til at $f < 0$ i deler av intervallet.

Jeg ser at $f (x)$ har nullpunkter i $x = 1$ og $x = - 1$ . På grunn av symmetri vil

\int_{- 2}^{1} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x

For å regne ut det samlede arealet kan jeg derfor bruke uttrykket (minustegn foran integral nummer 2, siden grafen ligger under $x$ -aksen i dette intervallet)

2 \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x - \int_{- 1}^{1} (x^{2} - 1) d x

Jeg finner først det ubestemte integralet

F (x) = \int (x^{2} - 1) d x = \frac{1}{3} x^{3} - x + C

Jeg finner så arealet ved

\begin{matrix} 2 \cdot (F (2) - F (1)) - (F (1) - F (- 1)) \\ 2 \cdot F (2) - 3 \cdot F (1) + F (- 1) \\ 2 (\frac{1}{3} 2^{3} - 2) - 3 (\frac{1}{3} 1^{3} - 1) + (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (- 1)) \\ (\frac{16}{3} - 4) - (\frac{3}{3} - 3) + (\frac{- 1}{3} + 1) \\ - 4 + 3 + 1 + \frac{16}{3} - \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} = 4 \end{matrix}

Verdien eleven forsøkte å bestemme er 4.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten kommentere at det er arealet mellom $x$ -aksen og grafen til $f$ mellom $x = - 2$ og $x = 2$ som regnes ut. Kandidater som kun sier noe om at det er et integral som regnes ut, kan få 1 poeng.

Kandidater som bare regner ut $\int_{- 2}^{2} f (x) d x$ kan få 1 poeng. Her kan det ikke gis full uttelling selv om det er følgefeil fra oppgave a).

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Numerisk integrasjon, Integrasjon, Areal under graf
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser en rett avkortet pyramide med hjørner i punktene $O (0,0,0)$ , $A (4,0,0)$ , $B (4,4,0)$ , $C (0,4,0)$ , $D (1,1,3)$ , $E (3,1,3)$ , $F (3,3,3)$ og $G (1,3,3)$ .

Bruk vektorregning til å bestemme arealet av sideflaten $B C G F$ .

Avkortet pyramide

Fasit

$3 \sqrt{10} \approx 9,49$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deler trapeset $B C G F$ i to trekanter ved diagonalen $B G$ : trekant $B C G$ og trekant $B F G$ .

Trekant $B C G$

Vi finner vektorene fra $B (4,4,0)$ :

\vec{B C} = C - B = (0 - 4, 4 - 4, 0 - 0) = (- 4, 0, 0)

\vec{B G} = G - B = (1 - 4, 3 - 4, 3 - 0) = (- 3, - 1, 3)

Kryssprodukt:

\vec{B C} \times \vec{B G} = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ - 4 & 0 & 0 \\ - 3 & - 1 & 3 \end{matrix} |

= (0 \cdot 3 - 0 \cdot (- 1), 0 \cdot (- 3) - (- 4) \cdot 3, (- 4) \cdot (- 1) - 0 \cdot (- 3)) = (0, 12, 4)

| \vec{B C} \times \vec{B G} | = \sqrt{0^{2} + 12^{2} + 4^{2}} = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10}

T_{B C G} = \frac{4 \sqrt{10}}{2} = 2 \sqrt{10}

Trekant $B F G$

Vi finner vektoren fra $B (4,4,0)$ til $F (3,3,3)$ :

\vec{B F} = F - B = (3 - 4, 3 - 4, 3 - 0) = (- 1, - 1, 3)

Kryssprodukt med $\vec{B G} = (- 3, - 1, 3)$ :

\vec{B G} \times \vec{B F} = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ - 3 & - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{matrix} |

= ((- 1) \cdot 3 - 3 \cdot (- 1), 3 \cdot (- 1) - (- 3) \cdot 3, (- 3) \cdot (- 1) - (- 1) \cdot (- 1)) = (0, 6, 2)

| \vec{B G} \times \vec{B F} | = \sqrt{0^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}

T_{B F G} = \frac{2 \sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}

Samlet areal

T_{B C G F} = T_{B C G} + T_{B F G} = 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} = 𝟑 \sqrt{𝟏𝟎} \approx 𝟗,𝟒𝟗

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten bruke relevant vektorregning. Kandidater som regner ut arealet uten å bruke vektorregning, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Vektorer, Areal og omkrets, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Tidevann og trigonometrisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser vannstanden (tidevannshøyden) ved Stord verft i Sunnhordland, for noen tidspunkter 24. april 2023.

Antall timer etter midnatt	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
Vannstand (cm)	99,6	119	94,3	60,5	53,4	76,0	96,7	115	99,9	68,1

En oljeplattform skal slepes ut fra verftet dagen etter. Dette må gjøres når vannstanden er mer enn 90 cm.

Krever PC

Lag en modell $f$ som du kan bruke til å bestemme vannstanden ved verftet i den aktuelle perioden.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Når vil vannstanden øke raskest den 25. april, ifølge modellen?

Det vil ta 2 timer å slepe ut oljeplattformen.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Ved hvilket klokkeslett kan de senest starte med å slepe ut plattformen?

Fasit

$f (t) = 31,04 \cdot \sin (0,5144 t + 0,1898) + 83,59$

kl. 00:04 og kl. 12:16 den 25. april

Senest kl. 15:59 (≈ kl. 16:00)

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra CAS og bruker TrigReg til å finne en sinusmodell. Alternativt kan vi bruke de forhåndsregnede parameterne fra regresjonen direkte:

f (t) = 31,04 \cdot \sin (0,5144 t + 0,1898) + 83,59

Her er $t$ antall timer etter midnatt 24. april, og $f (t)$ er vannstanden i cm.

Modellen har periode $T = \frac{2 π}{0,5144} \approx 12,2 timer$ , som er typisk for semidiurnalt tidevann (to høyvann og to lavvann per døgn).

$f (t) = 31,04 \cdot \sin (0,5144 t + 0,1898) + 83,59$

Vannstanden øker raskest når den deriverte $f^{'} (t)$ er størst.

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (t) = 31,04 \cdot 0,5144 \cdot \cos (0,5144 t + 0,1898) \approx 15,967 \cdot \cos (0,5144 t + 0,1898)

Denne er størst når $\cos (0,5144 t + 0,1898) = 1$ , det vil si når

0,5144 t + 0,1898 = 2 π n, n \in ℤ

t = \frac{2 π n - 0,1898}{0,5144}

Den 25. april svarer til $t \in [24, 48]$ . Vi setter inn $n = 2$ og $n = 3$ :

n = 2 : t = \frac{4 π - 0,1898}{0,5144} \approx 24,06 (dvs. kl. 00:04)

n = 3 : t = \frac{6 π - 0,1898}{0,5144} \approx 36,27 (dvs. kl. 12:16)

Ifølge modellen øker vannstanden raskest den 25. april kl. $00 : 04$ og kl. $12 : 16$ .

Vi må finne et 2-timers tidsvindu der $f (t) > 90 cm$ gjennom hele perioden.

Vi løser $f (t) = 90$ for $t \in [24, 48]$ numerisk i GeoGebra CAS (NLøs):

GeoGebra CAS: f(t)=90 og derivert

CAS gir fire løsninger:

$t$ (timer)	Klokkeslett 25/4
$t \approx 24,46$	00:28
$t \approx 29,76$	05:46
$t \approx 36,68$	12:41
$t \approx 41,98$	17:59

Dette gir to vinduer der $f (t) > 90 cm$ :

Vindu 1: kl. 00:28 – 05:46 (varighet $\approx 5,3 timer$ ) → senest start kl. 03:46
Vindu 2: kl. 12:41 – 17:59 (varighet $\approx 5,3 timer$ ) → senest start kl. 15:59

Det siste mulige starttidspunktet på 25. april er i vindu 2:

t_{senest} = 41,98 - 2 = 39,98 timer etter midnatt 24/4

\Rightarrow 39,98 - 24 \approx 15,98 timer etter midnatt 25/4 \approx kl. 15 : 59

De kan senest starte å slepe ut oljeplattformen $ca. kl. 16 : 00$ den 25. april.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Vi bruker modellen $f (t) = 31,04 \cdot \sin (0,5144 t + 0,1898) + 83,59$ fra a) og løser $f (t) = 90$ direkte med $\sin^{- 1}$ på kalkulatoren, i stedet for numerisk likningsløsning. Vi setter $θ = 0,5144 t + 0,1898$ :

31,04 \sin θ = 90 - 83,59 = 6,41 \Rightarrow \sin θ = \frac{6,41}{31,04} \approx 0,2065

Kalkulatoren gir $\sin^{- 1} (0,2065) \approx 0,2081 rad$ . De generelle løsningene er $θ = 0,2081 + 2 π n$ eller $θ = π - 0,2081 + 2 π n = 2,9335 + 2 π n$ . Vi løser for $t = \frac{θ - 0,1898}{0,5144}$ og velger $n$ slik at $t \in [24, 48]$ (25. april):

\begin{matrix} n = 2 (første familie): & t \approx 24,46 (kl. 00 : 28) \\ n = 2 (andre familie): & t \approx 29,76 (kl. 05 : 46) \\ n = 3 (første familie): & t \approx 36,68 (kl. 12 : 41) \\ n = 3 (andre familie): & t \approx 41,98 (kl. 17 : 59) \end{matrix}

Dette gir de samme to vinduene som over ( $00 : 28$ – $05 : 46$ og $12 : 41$ – $17 : 59$ ), begge med varighet $\approx 5,3$ timer. Det siste mulige starttidspunktet er $2$ timer før slutten av det siste vinduet:

t_{senest} = 41,98 - 2 = 39,98 \Rightarrow 39,98 - 24 \approx 15,98 timer etter midnatt 25/4 \approx kl. 15 : 59

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling, må det velges en rimelig modell som passer med tallene i tabellen.

Kandidater som løser likningen $f^{''} (x) = 0$ behøver ikke å argumentere for at det tidspunktet vannstanden øker raskest dersom kandidaten ser dette ut fra grafen til $f$ . Kandidaten behøver ikke å regne om til klokkeslett for å få full uttelling, selv om dette er ønskelig.

Ordet «senest» kan tolkes som senest denne dagen, eller senest innenfor en periode med flo. Begge tolkningene kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Modellering, Derivasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Pentagontall rekursiv og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La $P_{n}$ være antall kuler i figur $n$ .

De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51.

Pentagonfigurer 1–4

For hånd

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom $P_{n}$ og $P_{n - 1}$ .

Oppsett for hånd

Lag et program som regner ut $P_{100}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a).

For hånd

Bestem en eksplisitt formel for $P_{n}$ , og vis at formelen stemmer ved å gjennomføre et induksjonsbevis.

Fasit

$P_{1} = 1$ , $P_{n} = P_{n - 1} + 5 (n - 1)$ for $n \geq 2$

$P_{100} = 24751$

$P_{n} = \frac{5 n^{2} - 5 n + 2}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi observerer differansene mellom påfølgende pentagontall:

P_{2} - P_{1} = 6 - 1 = 5 = 5 \cdot 1

P_{3} - P_{2} = 16 - 6 = 10 = 5 \cdot 2

P_{4} - P_{3} = 31 - 16 = 15 = 5 \cdot 3

P_{5} - P_{4} = 51 - 31 = 20 = 5 \cdot 4

Mønsteret er at $P_{n} - P_{n - 1} = 5 (n - 1)$ , altså legger man til $5 (n - 1)$ kuler for å gå fra figur $n - 1$ til figur $n$ .

Rekursiv sammenheng:

{\begin{matrix} P_{1} = 1 \\ P_{n} = P_{n - 1} + 5 (n - 1) & for n \geq 2 \end{matrix}

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a) direkte i et program:

P = 1
for n in range(2, 101):
    P = P + 5*(n-1)
print(P)

Programmet gir $P_{100} = 24751$ .

Vi bruker teleskopsummering. Fra den rekursive sammenhengen får vi:

P_{n} = P_{1} + \sum_{k = 2}^{n} 5 (k - 1) = 1 + 5 \sum_{j = 1}^{n - 1} j = 1 + 5 \cdot \frac{(n - 1) n}{2}

P_{n} = 1 + \frac{5 n (n - 1)}{2} = \frac{2 + 5 n^{2} - 5 n}{2} = \frac{5 n^{2} - 5 n + 2}{2}

Eksplisitt formel: $P_{n} = \frac{5 n^{2} - 5 n + 2}{2}$

Kontroll: $P_{5} = \frac{5 \cdot 25 - 25 + 2}{2} = \frac{102}{2} = 51$ ✓

Induksjonsbevis

Vi skal bevise at $P_{n} = \frac{5 n^{2} - 5 n + 2}{2}$ for alle $n \geq 1$ .

Grunntrinn ( $n = 1$ ):

\frac{5 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2}{2} = \frac{5 - 5 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 = P_{1} ✓

Induksjonssteg: Anta at påstanden holder for $n = k$ , det vil si at

P_{k} = \frac{5 k^{2} - 5 k + 2}{2}

Vi skal vise at den da også holder for $n = k + 1$ , altså at $P_{k + 1} = \frac{5 {(k + 1)}^{2} - 5 (k + 1) + 2}{2}$ .

Fra den rekursive sammenhengen i a) har vi $P_{k + 1} = P_{k} + 5 k$ . Vi setter inn induksjonshypotesen:

P_{k + 1} = \frac{5 k^{2} - 5 k + 2}{2} + 5 k = \frac{5 k^{2} - 5 k + 2 + 10 k}{2} = \frac{5 k^{2} + 5 k + 2}{2}

Vi sjekker at dette stemmer overens med formelen for $n = k + 1$ :

\frac{5 {(k + 1)}^{2} - 5 (k + 1) + 2}{2} = \frac{5 (k^{2} + 2 k + 1) - 5 k - 5 + 2}{2} = \frac{5 k^{2} + 10 k + 5 - 5 k - 5 + 2}{2} = \frac{5 k^{2} + 5 k + 2}{2}

De to uttrykkene er like, så induksjonssteget er vist. ∎

Ved induksjonsprinsippet gjelder dermed $P_{n} = \frac{5 n^{2} - 5 n + 2}{2}$ for alle $n \geq 1$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Det gis 1 poeng for rett rekursiv sammenheng og 1 poeng for en god begrunnelse.

Dersom kandidaten har en riktig strategi, men gjør tellefeil eller programmeringsfeil, kan det gis 1 poeng.

Det gis 1 poeng for rett formel for $P_{n}$ og 1 poeng for induksjonsbeviset.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Rekursiv sammenheng, Programmering, Bevis
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Volum av tønne ved integrasjon

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tønne med mål

En tønne er 75 cm høy. Diameteren i bunnen og toppen er 45 cm. Den største diameteren er 52 cm.

Siden i tønnen fra toppen til bunnen er formet som en parabel.

Bruk blant annet integrasjon til å bestemme volumet av tønnen.

Fasit

$V \approx 145 562 {cm}^{3} \approx 145,6 L$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp et koordinatsystem med $z = 0$ i midten av tønna, slik at tønna strekker seg fra $z = - 37,5$ til $z = 37,5 cm$ (høyde 75 cm).

Modell for radiusfunksjonen

Siden tønna er symmetrisk og siden er formet som en parabel, velger vi

r (z) = 26 + a \cdot z^{2}

der $r (0) = 26 cm$ (største radius, diameter 52 cm).

Randbetingelse: $r (\pm 37,5) = 22,5 cm$ (radius i bunn/topp, diameter 45 cm):

22,5 = 26 + a \cdot {37,5}^{2}

a = \frac{22,5 - 26}{{37,5}^{2}} = \frac{- 3,5}{1406,25} = - \frac{7}{2812,5} \approx - 0,00249

Volumet som omdreiningslegeme

Tønnen dannes ved å dreie kurven $r (z)$ om $z$ -aksen. Volumet er:

V = π \int_{- 37,5}^{37,5} [r (z)]^{2} d z

Beregning i GeoGebra CAS

a := -7/2812.5
r(z) := 26 + a*z^2
V := pi * Integral(r(z)^2, z, -37.5, 37.5)

GeoGebra CAS-utregning av volumet

GeoGebra gir $V \approx 145 561,77 {cm}^{3}$ .

Svar: Volumet av tønnen er $V \approx 145 562 {cm}^{3} \approx 145,6 L$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 2 poeng for å finne en funksjon som kan brukes til å bestemme volumet. Det gis i tillegg 1 poeng for å velge rett strategi med rett integral og i tillegg 1 poeng for å regne ut dette integralet rett.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Volum, Omdreiningslegeme
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Luftforurensning og sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et veikryss varierer en type luftforurensning periodisk hvert døgn. Luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker igjen mot kvelden. Mengden luftforurensning $M$ kan beskrives med funksjonen

M (t) = A \cdot \sin (c t + k) + d

der $t$ er antall timer etter midnatt.

Den største mengden luftforurensning i løpet av døgnet er $31,2$ µg/m³, og den minste mengden er $18,2$ µg/m³.

Kalkulator

Bestem $A$ , $c$ og $d$ .

Ved to tidspunkter i løpet av døgnet er mengden luftforurensning $27$ µg/m³. Den første gangen er klokken 13:00.

Kalkulator

Når er det andre tidspunktet?

Fasit

$A = 6,5, c = \frac{π}{12}, d = 24,7$

Det andre tidspunktet er klokken $22 : 14$ .

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $M (t) = A \cdot \sin (c t + k) + d$ har amplitude $A$ og midtlinje $d$ . Siden maksimum er $31,2$ og minimum er $18,2$ , får vi

A = \frac{31,2 - 18,2}{2} = \frac{13}{2} = 6,5

d = \frac{31,2 + 18,2}{2} = \frac{49,4}{2} = 24,7

Perioden er $24$ timer (ett døgn), og sammenhengen mellom periode $P$ og $c$ er $P = \frac{2 π}{c}$ :

c = \frac{2 π}{24} = \frac{π}{12}

Svar: $A = 6,5$ , $c = \frac{π}{12}$ , $d = 24,7$

Vi skal finne begge tidspunktene der $M (t) = 27$ . Vi bruker GeoGebra CAS.

Vi definerer $M (t)$ med de kjente verdiene $A = 6,5$ , $c = \frac{π}{12}$ , $d = 24,7$ , og løser først for $k$ ved å bruke at $M (13) = 27$ . Deretter setter vi inn $k$ og løser $M (t) = 27$ for $t$ .

GeoGebra CAS – løsning for k og andre tidspunkt

CAS gir to løsningsgrener for $k$ (én for stigende, én for synkende fase ved $t = 13$ ). Oppgaven sier at luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker mot kvelden, så $t = 13$ må ligge på den stigende grenen. Vi velger derfor

k = \sin^{- 1} (\frac{23}{65}) - \frac{13 π}{12} \approx - 3,04

Med $k$ bestemt gir CAS de generelle løsningene

t = 24 k_{1} + 13 og t = \frac{24 k_{1} π + 25 π - 24 \sin^{- 1} (\frac{23}{65})}{π}

I løpet av ett døgn ( $0 \leq t < 24$ ) bruker vi $k_{1} = 0$ :

$t = 13$ (klokken 13:00 — oppgitt)
$t = \frac{25 π - 24 \sin^{- 1} (\frac{23}{65})}{π} \approx 22,24 \approx 22 : 14$

Svar: Det andre tidspunktet er klokken $22 : 14$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for rett verdi for $c$ og 1 poeng for rette verdier for $A$ og $d$ .

Riktig strategi kan gi 1 poeng. Dersom kandidaten i tillegg klarer å gjennomføre strategien (med en rett verdi for $k$ ) gis det i tillegg 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Modellering, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Vektorfunksjoner og smygplan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kurve $C$ er grafen til vektorfunksjonen ${\vec{r}}_{1}$ gitt ved

{\vec{r}}_{1} (t) = [\sin t, t, \cos t], 0 < t < 2 π

For hånd

Bestem koordinatene til eventuelle punkter på $C$ der tangenten er parallell med $x y$ -planet.

For hånd

Vis at ${\vec{r}}_{1}^{'} (t) ⟂ {\vec{r}}_{1}^{''} (t)$ for alle $t$ .

For hånd

Vis at vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen alltid er den samme for kurven $C$ . Bestem denne vinkelen.

En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen ${\vec{r}}_{2}$ gitt ved

{\vec{r}}_{2} (t) = [\sin t, t, 2 \sin t + 1]

For hånd

Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av $t$ . Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.

Fasit

Punkt $(0, π, - 1)$

Se løsningsforslag — prikkproduktet er identisk lik 0.

Vinkelen er alltid $45 °$ .

Normalretningen er alltid $(- 2, 0, 1)$ — smygplanet har konstant orientering. Kurven ligger i planet $z = 2 x + 1$ .

LøsningsforslagKI-generert

Tangenten til kurven $C$ er gitt ved ${\vec{r}}_{1}^{'} (t)$ . Vi deriverer:

{\vec{r}}_{1}^{'} (t) = [\cos t, 1, - \sin t]

Tangenten er parallell med $x y$ -planet når $z$ -komponenten er null:

- \sin t = 0 ⟹ t = π (t \in ⟨ 0, 2 π ⟩)

Punktet på kurven ved $t = π$ :

{\vec{r}}_{1} (π) = [\sin π, π, \cos π] = [0, π, - 1]

Punktet $(0, π, - 1)$ er det eneste punktet der tangenten er parallell med $x y$ -planet.

Vi deriverer ${\vec{r}}_{1}^{'} (t)$ én gang til:

{\vec{r}}_{1}^{''} (t) = [- \sin t, 0, - \cos t]

Prikkproduktet er:

{\vec{r}}_{1}^{'} (t) \cdot {\vec{r}}_{1}^{''} (t) = \cos t \cdot (- \sin t) + 1 \cdot 0 + (- \sin t) \cdot (- \cos t)

= - \sin t \cos t + 0 + \sin t \cos t = 𝟎

GeoGebra CAS bekrefter:

Siden prikkproduktet er null for alle $t$ , er ${\vec{r}}_{1}^{'} (t) ⟂ {\vec{r}}_{1}^{''} (t)$ for alle $t$ . $■$

Smygplanet i et punkt inneholder ${\vec{r}}_{1}^{'} (t)$ og ${\vec{r}}_{1}^{''} (t)$ . Normalvektoren til smygplanet er:

\vec{n} = {\vec{r}}_{1}^{'} (t) \times {\vec{r}}_{1}^{''} (t)

Vi regner ut kryssprodukt komponent for komponent:

\vec{n} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \cos t & 1 & - \sin t \\ - \sin t & 0 & - \cos t \end{matrix} |

= (1 \cdot (- \cos t) - (- \sin t) \cdot 0, (- \sin t) (- \sin t) - \cos t \cdot (- \cos t), \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (- \sin t))

= (- \cos t, \sin^{2} t + \cos^{2} t, \sin t) = (- \cos t, 1, \sin t)

Lengden av $\vec{n}$ :

| \vec{n} |^{2} = \cos^{2} t + 1 + \sin^{2} t = 2 ⟹ | \vec{n} | = \sqrt{2}

Vinkelen $θ$ mellom normalvektoren $\vec{n}$ og $y$ -aksen $\hat{j} = (0, 1, 0)$ :

\cos θ = \frac{\vec{n} \cdot \hat{j}}{| \vec{n} | \cdot | \hat{j} |} = \frac{1}{\sqrt{2}} ⟹ θ = \frac{π}{4} = 45 °

GeoGebra CAS bekrefter $| \vec{n} |^{2} = 2$ og $θ = \frac{π}{4}$ :

Vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen er $90 ° - θ = 90 ° - 45 ° = 45 °$ .

Siden $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ er uavhengig av $t$ , er vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen alltid $45 °$ , uavhengig av hvilket punkt på kurven vi ser på. $■$

Vi finner ${\vec{r}}_{2}^{'} (t)$ og ${\vec{r}}_{2}^{''} (t)$ :

{\vec{r}}_{2} (t) = [\sin t, t, 2 \sin t + 1]

{\vec{r}}_{2}^{'} (t) = [\cos t, 1, 2 \cos t]

{\vec{r}}_{2}^{''} (t) = [- \sin t, 0, - 2 \sin t]

Normalvektoren til smygplanet:

{\vec{n}}_{2} = {\vec{r}}_{2}^{'} (t) \times {\vec{r}}_{2}^{''} (t)

= (1 \cdot (- 2 \sin t) - 2 \cos t \cdot 0, 2 \cos t \cdot (- \sin t) - \cos t \cdot (- 2 \sin t), \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (- \sin t))

= (- 2 \sin t, - 2 \sin t \cos t + 2 \sin t \cos t, \sin t) = (- 2 \sin t, 0, \sin t)

= \sin t \cdot (- 2, 0, 1)

Tolkning: Normalvektoren ${\vec{n}}_{2} = \sin t \cdot (- 2, 0, 1)$ peker alltid i retningen $(- 2, 0, 1)$ (eller motsatt retning) uavhengig av $t$ (der $\sin t \neq 0$ ). Det betyr at smygplanet har den samme orienteringen for alle $t$ — det er alltid parallelt med planet med normal $(- 2, 0, 1)$ .

En naturlig forklaring er at kurven faktisk ligger i et fast plan: $z$ -komponenten er $2 \sin t + 1 = 2 x + 1$ , altså $z = 2 x + 1$ . Kurven $C_{2}$ ligger i sin helhet i planet $z = 2 x + 1$ , og smygplanet er det samme for alle punkter.

Merk at der $\sin t = 0$ (dvs. $t = 0, π, 2 π, \dots$ ) er ${\vec{r}}_{2}^{'}$ og ${\vec{r}}_{2}^{''}$ parallelle, og smygplanet er ikke definert i disse punktene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi og i tillegg 1 poeng for å gjennomføre strategien og få rett svar.

Det gis full uttelling dersom kandidaten løser oppgaven rett og at løsningen blir kommunisert på en tilstrekkelig måte.

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten finner $\vec{n} = {\vec{r}}^{'} (t) \times {\vec{r}}^{''} (t)$ og en retningsvektor for $y$ -aksen, men ikke klarer å vise at cosinus til vinkelen er konstant (ved å bruke at $\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1$ ).

For å få full uttelling må kandidaten vise at smygplanet har samme retning for alle verdier av $t$ . En fremragende løsning kommenterer at hele kurven ligger i ett plan.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Funksjoner, Bevis
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 1-1Bestemt integral 3

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Areal mellom cosinus og sinus

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3aUendelig geometrisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3bAritmetisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Plan, normalvektor og avstand til punkt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Ukjent program h23

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 28 poeng

Oppgave 2-1Tidevann og trigonometrisk modell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Pentagontall rekursiv og induksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Volum av tønne ved integrasjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Luftforurensning og sinusfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Vektorfunksjoner og smygplan

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 1-1·Bestemt integral 3

Oppgave 1-2·Areal mellom cosinus og sinus

Oppgave 1-3a·Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-3b·Aritmetisk rekke

Oppgave 1-4·Plan, normalvektor og avstand til punkt

Oppgave 1-5·Ukjent program h23

Oppgave 1-6·Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 28 poeng

Oppgave 2-1·Tidevann og trigonometrisk modell

Oppgave 2-2·Pentagontall rekursiv og induksjon

Oppgave 2-3·Volum av tønne ved integrasjon

Oppgave 2-4·Luftforurensning og sinusfunksjon

Oppgave 2-5·Vektorfunksjoner og smygplan

Temaer

Oppgave 1-1Bestemt integral 3

Oppgave 1-2Areal mellom cosinus og sinus

Oppgave 1-3aUendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-3bAritmetisk rekke

Oppgave 1-4Plan, normalvektor og avstand til punkt

Oppgave 1-5Ukjent program h23

Oppgave 1-6Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Oppgave 2-1Tidevann og trigonometrisk modell

Oppgave 2-2Pentagontall rekursiv og induksjon

Oppgave 2-3Volum av tønne ved integrasjon

Oppgave 2-4Luftforurensning og sinusfunksjon

Oppgave 2-5Vektorfunksjoner og smygplan