Vektorfunksjoner og smygplan

Del 2 · oppgave 5
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Vektorfunksjoner og smygplan

En kurve CC er grafen til vektorfunksjonen r⃗1\vec{r}_1 gitt ved

r⃗1(t)=[sin⁡t, t, cos⁡t],0<t<2π\vec{r}_1(t) = [\sin t,\ t,\ \cos t], \quad 0 < t < 2\pi

Bestem koordinatene til eventuelle punkter på CC der tangenten er parallell med xyxy-planet.

Vis at r⃗1′(t)⊥r⃗1′′(t)\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t) for alle tt.

Vis at vinkelen mellom smygplanet og yy-aksen alltid er den samme for kurven CC. Bestem denne vinkelen.

En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen r⃗2\vec{r}_2 gitt ved

r⃗2(t)=[sin⁡t, t, 2sin⁡t+1]\vec{r}_2(t) = [\sin t,\ t,\ 2\sin t + 1]

Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av tt. Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.

Fasit

Punkt (0,π,−1)(0, \pi, -1)

Se løsningsforslag — prikkproduktet er identisk lik 0.

Vinkelen er alltid 45°45°.

Normalretningen er alltid (−2,0,1)(-2, 0, 1) — smygplanet har konstant orientering. Kurven ligger i planet z=2x+1z = 2x + 1.

LøsningsforslagKI-generert

Tangenten til kurven CC er gitt ved r⃗1′(t)\vec{r}_1'(t). Vi deriverer:

r⃗1′(t)=[cos⁡t, 1, −sin⁡t]\vec{r}_1'(t) = [\cos t,\ 1,\ -\sin t]

Tangenten er parallell med xyxy-planet når zz-komponenten er null:

−sin⁡t=0  ⟹  t=π(t∈⟨0,2π⟩)-\sin t = 0 \implies t = \pi \quad (t \in \langle 0, 2\pi \rangle)

Punktet på kurven ved t=πt = \pi:

r⃗1(π)=[sin⁡π, π, cos⁡π]=[0, π, −1]\vec{r}_1(\pi) = [\sin \pi,\ \pi,\ \cos \pi] = [0,\ \pi,\ -1]

Punktet (0, π, −1)(0,\ \pi,\ -1) er det eneste punktet der tangenten er parallell med xyxy-planet.

Vi deriverer r⃗1′(t)\vec{r}_1'(t) én gang til:

r⃗1′′(t)=[−sin⁡t, 0, −cos⁡t]\vec{r}_1''(t) = [-\sin t,\ 0,\ -\cos t]

Prikkproduktet er:

r⃗1′(t)⋅r⃗1′′(t)=cos⁡t⋅(−sin⁡t)+1⋅0+(−sin⁡t)⋅(−cos⁡t)\vec{r}_1'(t) \cdot \vec{r}_1''(t) = \cos t \cdot (-\sin t) + 1 \cdot 0 + (-\sin t) \cdot (-\cos t) =−sin⁡tcos⁡t+0+sin⁡tcos⁡t=0= -\sin t \cos t + 0 + \sin t \cos t = \mathbf{0}

GeoGebra CAS bekrefter:

r2-h23-2-5-cas-prikk-kryss.png

Siden prikkproduktet er null for alle tt, er r⃗1′(t)⊥r⃗1′′(t)\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t) for alle tt. □\square

Smygplanet i et punkt inneholder r⃗1′(t)\vec{r}_1'(t) og r⃗1′′(t)\vec{r}_1''(t). Normalvektoren til smygplanet er:

n⃗=r⃗1′(t)×r⃗1′′(t)\vec{n} = \vec{r}_1'(t) \times \vec{r}_1''(t)

Vi regner ut kryssprodukt komponent for komponent:

n⃗=∣i⃗j⃗k⃗cos⁡t1−sin⁡t−sin⁡t0−cos⁡t∣\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \cos t & 1 & -\sin t \\ -\sin t & 0 & -\cos t \end{vmatrix} =(1⋅(−cos⁡t)−(−sin⁡t)⋅0, (−sin⁡t)(−sin⁡t)−cos⁡t⋅(−cos⁡t), cos⁡t⋅0−1⋅(−sin⁡t))= \left(1 \cdot (-\cos t) - (-\sin t) \cdot 0,\ (-\sin t)(-\sin t) - \cos t \cdot (-\cos t),\ \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t)\right) =(−cos⁡t, sin⁡2t+cos⁡2t, sin⁡t)=(−cos⁡t, 1, sin⁡t)= \left(-\cos t,\ \sin^2 t + \cos^2 t,\ \sin t\right) = (-\cos t,\ 1,\ \sin t)

Lengden av n⃗\vec{n}:

∣n⃗∣2=cos⁡2t+1+sin⁡2t=2  ⟹  ∣n⃗∣=2|\vec{n}|^2 = \cos^2 t + 1 + \sin^2 t = 2 \implies |\vec{n}| = \sqrt{2}

Vinkelen θ\theta mellom normalvektoren n⃗\vec{n} og yy-aksen j^=(0,1,0)\hat{j} = (0, 1, 0):

cos⁡θ=n⃗⋅j^∣n⃗∣⋅∣j^∣=12  ⟹  θ=π4=45°\cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \hat{j}}{|\vec{n}| \cdot |\hat{j}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{\pi}{4} = 45°

GeoGebra CAS bekrefter ∣n⃗∣2=2|\vec{n}|^2 = 2 og θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}:

r2-h23-2-5-cas-vinkel.png

Vinkelen mellom smygplanet og yy-aksen er 90°−θ=90°−45°=45°90° - \theta = 90° - 45° = 45°.

Siden cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} er uavhengig av tt, er vinkelen mellom smygplanet og yy-aksen alltid 45°‾‾\underline{\underline{45°}}, uavhengig av hvilket punkt på kurven vi ser på. □\square

Vi finner r⃗2′(t)\vec{r}_2'(t) og r⃗2′′(t)\vec{r}_2''(t):

r⃗2(t)=[sin⁡t, t, 2sin⁡t+1]\vec{r}_2(t) = [\sin t,\ t,\ 2\sin t + 1] r⃗2′(t)=[cos⁡t, 1, 2cos⁡t]\vec{r}_2'(t) = [\cos t,\ 1,\ 2\cos t] r⃗2′′(t)=[−sin⁡t, 0, −2sin⁡t]\vec{r}_2''(t) = [-\sin t,\ 0,\ -2\sin t]

Normalvektoren til smygplanet:

n⃗2=r⃗2′(t)×r⃗2′′(t)\vec{n}_2 = \vec{r}_2'(t) \times \vec{r}_2''(t) =(1⋅(−2sin⁡t)−2cos⁡t⋅0, 2cos⁡t⋅(−sin⁡t)−cos⁡t⋅(−2sin⁡t), cos⁡t⋅0−1⋅(−sin⁡t))= \left(1 \cdot (-2\sin t) - 2\cos t \cdot 0,\ 2\cos t \cdot (-\sin t) - \cos t \cdot (-2\sin t),\ \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t)\right) =(−2sin⁡t, −2sin⁡tcos⁡t+2sin⁡tcos⁡t, sin⁡t)=(−2sin⁡t, 0, sin⁡t)= \left(-2\sin t,\ -2\sin t \cos t + 2\sin t \cos t,\ \sin t\right) = (-2\sin t,\ 0,\ \sin t) =sin⁡t⋅(−2, 0, 1)= \sin t \cdot (-2,\ 0,\ 1)

Tolkning: Normalvektoren n⃗2=sin⁡t⋅(−2,0,1)\vec{n}_2 = \sin t \cdot (-2, 0, 1) peker alltid i retningen (−2,0,1)(-2, 0, 1) (eller motsatt retning) uavhengig av tt (der sin⁡t≠0\sin t \neq 0). Det betyr at smygplanet har den samme orienteringen for alle tt — det er alltid parallelt med planet med normal (−2,0,1)(-2, 0, 1).

En naturlig forklaring er at kurven faktisk ligger i et fast plan: zz-komponenten er 2sin⁡t+1=2x+12\sin t + 1 = 2x + 1, altså z=2x+1z = 2x + 1. Kurven C2C_2 ligger i sin helhet i planet z=2x+1z = 2x + 1, og smygplanet er det samme for alle punkter.

Merk at der sin⁡t=0\sin t = 0 (dvs. t=0,π,2π,…t = 0, \pi, 2\pi, \ldots) er r⃗2′\vec{r}_2' og r⃗2′′\vec{r}_2'' parallelle, og smygplanet er ikke definert i disse punktene.

Sensorveiledning
2 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi og i tillegg 1 poeng for å gjennomføre strategien og få rett svar.

2 poeng

Det gis full uttelling dersom kandidaten løser oppgaven rett og at løsningen blir kommunisert på en tilstrekkelig måte.

2 poeng

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten finner n⃗=r⃗′(t)×r⃗′′(t)\vec{n} = \vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t) og en retningsvektor for yy-aksen, men ikke klarer å vise at cosinus til vinkelen er konstant (ved å bruke at sin⁡2t+cos⁡2t=1\sin^2 t + \cos^2 t = 1).

2 poeng

For å få full uttelling må kandidaten vise at smygplanet har samme retning for alle verdier av tt. En fremragende løsning kommenterer at hele kurven ligger i ett plan.

Oppgavedata
Hentet fra
R2 H2023, del 2, oppgave 5
Poeng
8
Temaer
vektorer, funksjoner, bevis
Kompetansemål
  • Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
  • Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet