Tidevann og trigonometrisk modell

Tabellen nedenfor viser vannstanden (tidevannshøyden) ved Stord verft i Sunnhordland, for noen tidspunkter 24. april 2023.

Antall timer etter midnatt	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
Vannstand (cm)	99,6	119	94,3	60,5	53,4	76,0	96,7	115	99,9	68,1

En oljeplattform skal slepes ut fra verftet dagen etter. Dette må gjøres når vannstanden er mer enn 90 cm.

Lag en modell $f$ som du kan bruke til å bestemme vannstanden ved verftet i den aktuelle perioden.

Når vil vannstanden øke raskest den 25. april, ifølge modellen?

Det vil ta 2 timer å slepe ut oljeplattformen.

Ved hvilket klokkeslett kan de senest starte med å slepe ut plattformen?

Fasit

$f(t) = 31{,}04 \cdot \sin(0{,}5144t + 0{,}1898) + 83{,}59$

kl. 00:04 og kl. 12:16 den 25. april

Senest kl. 15:59 (≈ kl. 16:00)

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra CAS og bruker TrigReg til å finne en sinusmodell. Alternativt kan vi bruke de forhåndsregnede parameterne fra regresjonen direkte:

f(t) = 31{,}04 \cdot \sin(0{,}5144t + 0{,}1898) + 83{,}59

Her er $t$ antall timer etter midnatt 24. april, og $f(t)$ er vannstanden i cm.

Modellen har periode $T = \dfrac{2\pi}{0{,}5144} \approx 12{,}2 \, \mathrm{timer}$ , som er typisk for semidiurnalt tidevann (to høyvann og to lavvann per døgn).

$\underline{\underline{f(t) = 31{,}04 \cdot \sin(0{,}5144t + 0{,}1898) + 83{,}59}}$

Vannstanden øker raskest når den deriverte $f'(t)$ er størst.

Vi deriverer $f$ :

f'(t) = 31{,}04 \cdot 0{,}5144 \cdot \cos(0{,}5144t + 0{,}1898) \approx 15{,}967 \cdot \cos(0{,}5144t + 0{,}1898)

Denne er størst når $\cos(0{,}5144t + 0{,}1898) = 1$ , det vil si når

0{,}5144t + 0{,}1898 = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

t = \frac{2\pi n - 0{,}1898}{0{,}5144}

Den 25. april svarer til $t \in [24, 48]$ . Vi setter inn $n = 2$ og $n = 3$ :

n = 2: \quad t = \frac{4\pi - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 24{,}06 \, \text{(dvs. kl. 00:04)}

n = 3: \quad t = \frac{6\pi - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 36{,}27 \, \text{(dvs. kl. 12:16)}

Ifølge modellen øker vannstanden raskest den 25. april kl. $\underline{\underline{00{:}04}}$ og kl. $\underline{\underline{12{:}16}}$ .

Vi må finne et 2-timers tidsvindu der $f(t) > 90 \, \mathrm{cm}$ gjennom hele perioden.

Vi løser $f(t) = 90$ for $t \in [24, 48]$ numerisk i GeoGebra CAS (NLøs):

GeoGebra CAS: f(t)=90 og derivert

CAS gir fire løsninger:

$t$ (timer)	Klokkeslett 25/4
$t \approx 24{,}46$	00:28
$t \approx 29{,}76$	05:46
$t \approx 36{,}68$	12:41
$t \approx 41{,}98$	17:59

Dette gir to vinduer der $f(t) > 90 \, \mathrm{cm}$ :

Vindu 1: kl. 00:28 – 05:46 (varighet $\approx 5{,}3 \, \mathrm{timer}$ ) → senest start kl. 03:46
Vindu 2: kl. 12:41 – 17:59 (varighet $\approx 5{,}3 \, \mathrm{timer}$ ) → senest start kl. 15:59

Det siste mulige starttidspunktet på 25. april er i vindu 2:

t_{\text{senest}} = 41{,}98 - 2 = 39{,}98 \, \text{timer etter midnatt 24/4}

\Rightarrow \quad 39{,}98 - 24 \approx 15{,}98 \, \text{timer etter midnatt 25/4} \approx \text{kl. } 15{:}59

De kan senest starte å slepe ut oljeplattformen $\underline{\underline{\text{ca. kl. } 16{:}00}}$ den 25. april.

Sensorveiledning

2 poeng

For å få full uttelling, må det velges en rimelig modell som passer med tallene i tabellen.

2 poeng

Kandidater som løser likningen $f''(x) = 0$ behøver ikke å argumentere for at det tidspunktet vannstanden øker raskest dersom kandidaten ser dette ut fra grafen til $f$ . Kandidaten behøver ikke å regne om til klokkeslett for å få full uttelling, selv om dette er ønskelig.

2 poeng

Ordet «senest» kan tolkes som senest denne dagen, eller senest innenfor en periode med flo. Begge tolkningene kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2023, del 2, oppgave 1
Poeng: 6
Temaer: trigonometri, modellering, derivasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett