R2 Vår 2023

Oppgave 1-1Derivasjon med produkt- og kvotientregel

Deriver funksjonene

f (x) = x \cdot \sin x

g (x) = \frac{\cos 2 x}{\sin x}

Fasit

$f^{'} (x) = \sin x + x \cos x$

$g^{'} (x) = \frac{- 2 \sin x \sin 2 x - \cos x \cos 2 x}{\sin^{2} x}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ med $u = x$ og $v = \sin x$ :

u^{'} = 1, v^{'} = \cos x

f^{'} (x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$ med $u = \cos 2 x$ og $v = \sin x$ .

Med kjerneregelen er $u^{'} = - 2 \sin 2 x$ , og $v^{'} = \cos x$ .

g^{'} (x) = \frac{(- 2 \sin 2 x) \cdot \sin x - \cos 2 x \cdot \cos x}{\sin^{2} x} = \frac{- 2 \sin x \sin 2 x - \cos x \cos 2 x}{\sin^{2} x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Bestemte integraler med polynom og eksponential

Regn ut integralene

\int_{- 1}^{1} (4 x^{3} - x) d x

\int_{0}^{\ln 2} e^{2 x} d x

Fasit

$0$

$\frac{3}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi antideriverer ledd for ledd:

\int (4 x^{3} - x) d x = x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + C

Setter inn grensene:

{[x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 1}^{1} = (1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - ({(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2})

= (1 - \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

Med kjerneregelen antideriverer vi:

\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

Setter inn grensene, og bruker $e^{2 \ln 2} = {(e^{\ln 2})}^{2} = 2^{2} = 4$ :

{[\frac{1}{2} e^{2 x}]}_{0}^{\ln 2} = \frac{1}{2} e^{2 \ln 2} - \frac{1}{2} e^{0} = \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Vis at derivert av tangens er 1 pluss tan kvadrat

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at dersom $f (x) = \tan x$ , så er $f^{'} (x) = 1 + \tan^{2} x$ .

Regn ut $\int \frac{1 + \tan^{2} x}{\tan x} d x$ .

Fasit

Vist, se løsningsforslag.

$\ln | \tan x | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver $f (x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$ med $u = \sin x$ og $v = \cos x$ :

u^{'} = \cos x, v^{'} = - \sin x

f^{'} (x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (- \sin x)}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x}

Siden $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ , får vi

f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x}

Vi deler telleren i $\frac{1}{\cos^{2} x}$ opp som $\frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1 + \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x$ . Altså er

f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x ■

Fra a) vet vi at dersom $f (x) = \tan x$ , er $f^{'} (x) = 1 + \tan^{2} x$ . Integranden er dermed på formen $\frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ , og vi vet at

\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) | + C

Dette gir

\int \frac{1 + \tan^{2} x}{\tan x} d x = \ln | \tan x | + C

Alternativ metode (substitusjon $u = \sin x$ ): Vi kan skrive om integranden ved å sette inn $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og $1 + \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}$ :

\frac{1 + \tan^{2} x}{\tan x} = \frac{1}{\cos^{2} x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x \cos x}

Med $u = \sin x$ , $d u = \cos x d x$ , gir dette (etter delbrøkoppspalting) samme svar, $\ln | \tan x | + C$ , men med et mer omfattende regnestykke.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Trigonometri, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Aritmetisk og geometrisk rekke R2 V23 LK06

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut summen av den aritmetiske rekken

2 + 8 + 14 + \dots + 296

Regn ut summen av den geometriske rekken

5 + \frac{5}{3} + \frac{5}{9} + \frac{5}{27} + \dots

Fasit

$s_{50} = 7450$

$s = 7,5$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $2 + 8 + 14 + \dots + 296$ er aritmetisk med startledd $a_{1} = 2$ og differanse $d = 8 - 2 = 6$ .

Vi finner først antall ledd $n$ ved å bruke $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ med $a_{n} = 296$ :

296 = 2 + (n - 1) \cdot 6

294 = (n - 1) \cdot 6 \Rightarrow n - 1 = 49 \Rightarrow n = 50

Summen blir da

s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{2 + 296}{2} \cdot 50 = 149 \cdot 50 = 7450

Rekken $5 + \frac{5}{3} + \frac{5}{9} + \dots$ er geometrisk med $a_{1} = 5$ og kvotient

k = \frac{5 / 3}{5} = \frac{1}{3}

Siden $| k | < 1$ , konvergerer rekken, og summen er

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{5}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{5}{\frac{2}{3}} = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7,5

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Løse lineær differensiallikning med startbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{'} + 3 y = 3, y (0) = 5

Fasit

$y = 1 + 4 e^{- 3 x}$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $y^{'} + 3 y = 3$ er en lineær 1. ordens differensiallikning. Vi løser den ved å finne den homogene løsningen og en partikulær løsning.

Homogen løsning. Den homogene likningen $y^{'} + 3 y = 0$ har løsning

y_{h} = C \cdot e^{- 3 x}

Partikulær løsning. Siden høyresiden er konstant, prøver vi med en konstant løsning $y_{p} = A$ . Da er $y_{p}^{'} = 0$ , og innsatt i likningen:

0 + 3 A = 3 \Rightarrow A = 1

Altså er $y_{p} = 1$ .

Generell løsning.

y = y_{h} + y_{p} = 1 + C \cdot e^{- 3 x}

Bestemmer $C$ fra startbetingelsen. Vi setter inn $x = 0$ og $y (0) = 5$ :

5 = 1 + C \cdot e^{0} = 1 + C \Rightarrow C = 4

Løsningen som oppfyller startbetingelsen er dermed

y = 1 + 4 e^{- 3 x}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Bestem f'(0) fra sinusgraf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sinusgraf for f

Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f$ . Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen

f (x) = A \cdot \sin (c x + φ) + d

Bestem $f^{'} (0)$ .

Fasit

$f^{'} (0) = - 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal bestemme konstantene $A$ , $c$ , $φ$ og $d$ ved å lese av grafen, og deretter derivere.

Amplitude og likevektslinje

Grafen har toppunkt $y = 2$ og bunnpunkt $y = - 4$ . Da er

A = \frac{y_{\max} - y_{\min}}{2} = \frac{2 - (- 4)}{2} = 3

d = \frac{y_{\max} + y_{\min}}{2} = \frac{2 + (- 4)}{2} = - 1

Periode

Grafen krysser likevektslinja $y = d = - 1$ på vei oppover (stigende) ved $x = - \frac{π}{3}$ og igjen på vei oppover ved $x = \frac{π}{6}$ (etter én hel bølge). Perioden $p$ er dermed

p = \frac{π}{6} - (- \frac{π}{3}) = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{6} = \frac{π}{2}

c = \frac{2 π}{p} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4

Fasekonstant

Et sinusledd er null og stigende når argumentet er $0$ (pluss et helt antall $2 π$ ). Ved det stigende nullgjennomgangen $x = - \frac{π}{3}$ må derfor

c \cdot (- \frac{π}{3}) + φ = 0 (mod 2 π)

4 \cdot (- \frac{π}{3}) + φ = 0 \Rightarrow φ = \frac{4 π}{3}

Vi kan like gjerne bruke den ekvivalente vinkelen $φ = \frac{4 π}{3} - 2 π = - \frac{2 π}{3}$ .

Dette gir

f (x) = 3 \sin (4 x - \frac{2 π}{3}) - 1

(Kontroll: $f (0) = 3 \sin (- \frac{2 π}{3}) - 1 = 3 \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 \approx - 3,6$ , som stemmer med grafen.)

Derivasjon

f^{'} (x) = 3 \cdot 4 \cdot \cos (4 x - \frac{2 π}{3}) = 12 \cos (4 x - \frac{2 π}{3})

f^{'} (0) = 12 \cos (- \frac{2 π}{3}) = 12 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 6

$f^{'} (0) = - 6$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Derivasjon, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Pyramide med volum areal og avstand

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (0,0,0)$ , $B (5,0,0)$ , $C (4,2,0)$ og $T (0,0,5)$ danner en pyramide, slik figuren viser.

Pyramide ABCT i koordinatsystem

Regn ut volumet av pyramiden.

Regn ut arealet av $△ B C T$ .

Bestem avstanden fra $A$ til planet som går gjennom $B$ , $C$ og $T$ .

Fasit

$V = \frac{25}{3} v.e.$

$Areal = \frac{15}{2} a.e.$

$d = \frac{10}{3} l.e.$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker skalarproduktet av $\vec{A T}$ med kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ :

\vec{A B} = (5, 0, 0), \vec{A C} = (4, 2, 0), \vec{A T} = (0, 0, 5)

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{matrix} | = (0, 0, 10)

V = \frac{1}{6} | (\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T} | = \frac{1}{6} | 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 10 \cdot 5 | = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}

$V = \frac{25}{3} v.e.$

Vi finner arealet ved kryssproduktet av to kantvektorer i trekanten:

\vec{B C} = C - B = (- 1, 2, 0), \vec{B T} = T - B = (- 5, 0, 5)

\vec{B C} \times \vec{B T} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 1 & 2 & 0 \\ - 5 & 0 & 5 \end{matrix} | = (10, 5, 10)

| \vec{B C} \times \vec{B T} | = \sqrt{10^{2} + 5^{2} + 10^{2}} = \sqrt{225} = 15

Areal = \frac{1}{2} | \vec{B C} \times \vec{B T} | = \frac{15}{2}

$Areal = \frac{15}{2} a.e.$

Normalvektoren til planet gjennom $B$ , $C$ og $T$ er $\vec{n} = \vec{B C} \times \vec{B T} = (10, 5, 10)$ , som vi kan forkorte til $\vec{n} = (2, 1, 2)$ . Planet gjennom $B (5, 0, 0)$ får da likningen

2 (x - 5) + 1 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 \Rightarrow 2 x + y + 2 z - 10 = 0

Avstanden fra $A (0, 0, 0)$ til planet er

d = \frac{| 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 10 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}

(Kontroll: $V = \frac{1}{3} \cdot Areal (B C T) \cdot d = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{10}{3} = \frac{25}{3}$ , som stemmer med svaret i a).)

$d = \frac{10}{3} l.e.$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Volum, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \cos 2 x, D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

På figuren til høyre har vi tegnet grafen til $f$ sammen med linjen gitt ved $y = \frac{1}{2}$ . Disse to avgrenser det fargelagte området, som vist på figuren.

Fargelagt område mellom cos2x og y=1/2

Bestem arealet av det fargelagte området.

Bruk formelen $\cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v$

Bruk formelen til å vise at

{(f (x))}^{2} = \frac{1}{2} \cdot (\cos 4 x + 1)

Vi roterer det fargelagte området på figuren om $x$ -aksen og får et omdreiingslegeme.

Bestem volumet av dette omdreiingslegemet.

Fasit

$Areal = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6} \approx 0,34 a.e.$

Se bevis.

$V = \frac{\sqrt{3} π}{8} + \frac{π^{2}}{12} \approx 1,50 v.e.$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først skjæringspunktene mellom $f (x) = \cos 2 x$ og $y = \frac{1}{2}$ :

\cos 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 x = \pm \frac{π}{3} + 2 k π \Rightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π

I intervallet $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ gir dette $x = - \frac{π}{6}$ og $x = \frac{π}{6}$ . Mellom disse er $\cos 2 x \geq \frac{1}{2}$ , så arealet er

Areal = \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (\cos 2 x - \frac{1}{2}) d x = {[\frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{x}{2}]}_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}

= (\frac{1}{2} \sin \frac{π}{3} - \frac{π}{12}) - (\frac{1}{2} \sin (- \frac{π}{3}) + \frac{π}{12}) = (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{π}{12}) - (- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{π}{12})

= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6}

$Areal = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6} \approx 0,34 a.e.$

Formelen $\cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v$ gir, med $u = v = 2 x$ ,

\cos 4 x = \cos (2 x + 2 x) = \cos 2 x \cdot \cos 2 x - \sin 2 x \cdot \sin 2 x = \cos^{2} 2 x - \sin^{2} 2 x

Vi bruker $\sin^{2} 2 x = 1 - \cos^{2} 2 x$ :

\cos 4 x = \cos^{2} 2 x - (1 - \cos^{2} 2 x) = 2 \cos^{2} 2 x - 1

Løser for $\cos^{2} 2 x = {(f (x))}^{2}$ :

{(f (x))}^{2} = \cos^{2} 2 x = \frac{1}{2} (\cos 4 x + 1)

Dette er det vi skulle vise. $■$

Når det fargelagte området roteres om $x$ -aksen, er volumet gitt ved

V = π \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} ({(f (x))}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}) d x

Vi setter inn resultatet fra b):

V = π \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (\frac{1}{2} \cos 4 x + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}) d x = π \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (\frac{1}{2} \cos 4 x + \frac{1}{4}) d x

= π {[\frac{1}{8} \sin 4 x + \frac{x}{4}]}_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}

= π ((\frac{1}{8} \sin \frac{2 π}{3} + \frac{π}{24}) - (\frac{1}{8} \sin (- \frac{2 π}{3}) - \frac{π}{24})) = π (\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{π}{12})

V = \frac{\sqrt{3} π}{8} + \frac{π^{2}}{12}

$V = \frac{\sqrt{3} π}{8} + \frac{π^{2}}{12} \approx 1,50 v.e.$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Trigonometri, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for sum av n(n+5)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å vise at

1 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 + \dots + n \cdot (n + 5) = \frac{n (n + 1) (n + 8)}{3}

for alle $n \in ℕ$ .

Fasit

Se bevis.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise ved induksjon at

P (n) : \sum_{k = 1}^{n} k (k + 5) = \frac{n (n + 1) (n + 8)}{3}

for alle $n \in ℕ$ .

Grunnlag ( $n = 1$ )

Venstre side: $1 \cdot 6 = 6$ .

Høyre side: $\frac{1 \cdot 2 \cdot 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$ .

Venstre og høyre side er like, så $P (1)$ er sann.

Induksjonssteg

Anta at $P (k)$ er sann for et vilkårlig $k \in ℕ$ , altså at

\sum_{i = 1}^{k} i (i + 5) = \frac{k (k + 1) (k + 8)}{3}

Vi skal vise at da er $P (k + 1)$ også sann, altså at

\sum_{i = 1}^{k + 1} i (i + 5) = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 9)}{3}

Vi starter med venstre side og legger til det $(k + 1)$ -te leddet:

\sum_{i = 1}^{k + 1} i (i + 5) = \sum_{i = 1}^{k} i (i + 5) + (k + 1) (k + 6) = \frac{k (k + 1) (k + 8)}{3} + (k + 1) (k + 6)

Vi faktoriserer ut $(k + 1)$ :

= (k + 1) (\frac{k (k + 8)}{3} + (k + 6)) = (k + 1) \cdot \frac{k (k + 8) + 3 (k + 6)}{3}

= (k + 1) \cdot \frac{k^{2} + 8 k + 3 k + 18}{3} = (k + 1) \cdot \frac{k^{2} + 11 k + 18}{3}

Andregradsuttrykket faktoriseres som $k^{2} + 11 k + 18 = (k + 2) (k + 9)$ , som gir

\sum_{i = 1}^{k + 1} i (i + 5) = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 9)}{3}

Dette er nettopp $P (k + 1)$ . Siden $P (1)$ er sann, og $P (k)$ sann medfører $P (k + 1)$ sann, er $P (n)$ sann for alle $n \in ℕ$ ved induksjonsprinsippet. $■$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 2-1Strømming av musikk modell og tolkning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008–2018.

År	2008	2010	2012	2014	2016	2018
Strømming	2	70	246	456	582	655

Krever PC

Lag en modell $F$ som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008–2018 og årene etterpå. Velg $x$ -verdier slik at $F (0)$ gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.

Nedenfor ser du fire formler.

I = \int_{- 0,5}^{10,5} F (x) d x, G = \frac{1}{5} \int_{2,5}^{7,5} F (x) d x, S = \sum_{i = 0}^{10} F (i), D = \frac{F (5,001) - F (5)}{0,001}

Oppsett for hånd

Bestem $I$ , $G$ , $S$ og $D$ .

For hånd

Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.

Fasit

$F (x) = \frac{660,36}{1 + 30,72 \cdot e^{- 0,71 x}}$ (logistisk modell, $x =$ antall år etter 2008)

$I \approx 3743,7$ , $G \approx 346,7$ , $S \approx 3743,8$ , $D \approx 116,8$

Se tolkning under

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 2008, slik at $F (0)$ gir strømmeinntektene i 2008. Da blir datapunktene:

$x$	0	2	4	6	8	10
$F (x)$	2	70	246	456	582	655

Vi ser på hvor mye $F$ øker fra ett datapunkt til det neste: $68$ , $176$ , $210$ , $126$ , $73$ . Veksten øker altså først, men avtar tydelig mot slutten av perioden — kurven flater ut. Dette er typisk for en logistisk modell: strømmemarkedet er begrenset (antall musikklyttere og hvor mye de er villige til å bruke er ikke uendelig), så inntektene fra strømming kan ikke vokse eksponentielt for alltid, men vil nærme seg en øvre grense. En eksponentiell modell ville gitt stadig raskere vekst, noe dataene i de siste årene motsier. En polynommodell ville dessuten ikke gitt en fornuftig prognose for årene etter 2018 (den ville enten fortsette å vokse ubegrenset eller snu og synke). Vi velger derfor logistisk regresjon.

Logistisk regresjon i GeoGebra på punktene $(0,2), (2,70), (4,246), (6,456), (8,582), (10,655)$ gir modellen

F (x) = \frac{660,36}{1 + 30,72 \cdot e^{- 0,71 x}}

Datapunkter, modellen F, integralet I (skravert) og tangenten i x=5 (D)

Grafen viser at $F$ følger datapunktene godt og flater ut mot en øvre grense på omtrent $660$ millioner kroner per år, slik en logistisk modell skal gjøre.

Vi bruker CAS/GeoGebra på modellen $F$ fra a) til å beregne de fire uttrykkene:

I = \int_{- 0,5}^{10,5} F (x) d x, G = \frac{1}{5} \int_{2,5}^{7,5} F (x) d x, S = \sum_{i = 0}^{10} F (i), D = \frac{F (5,001) - F (5)}{0,001}

Se utklippet i a) (integralet $I$ er det skraverte området, og tangentlinja illustrerer $D$ i $x = 5$ ). GeoGebra gir:

I \approx 3743,7 G \approx 346,7 S \approx 3743,8 D \approx 116,8

Svar: $I \approx 3743,7$ , $G \approx 346,7$ , $S \approx 3743,8$ , $D \approx 116,8$ .

$I$ er integralet av $F$ fra $x = - 0,5$ til $x = 10,5$ , altså tilnærmet summen av alle årlige verdier fra $2008$ til $2018$ . $I \approx 3743,7$ betyr at det ifølge modellen ble brukt til sammen omtrent $3744$ millioner kroner på musikkstrømming i Norge i hele perioden 2008–2018.
$G$ er gjennomsnittsverdien av $F$ over intervallet $x \in [2,5, 7,5]$ , som tilsvarer årene 2011–2015 (fem hele år). $G \approx 346,7$ betyr at det i gjennomsnitt ble brukt omtrent $347$ millioner kroner per år på musikkstrømming i perioden 2011–2015.
$S$ er summen av de modellerte årsverdiene $F (0), F (1), \dots, F (10)$ , altså modellens anslag for total strømmeinntekt i hele perioden 2008–2018 regnet år for år. At $S \approx 3743,8$ ligger svært nære $I \approx 3743,7$ viser at integralet $I$ er en god tilnærming til summen $S$ — noe som er naturlig siden $F$ er en jevnt voksende funksjon og integralgrensene er lagt et halvt år på hver side av heltallsverdiene.
$D$ er den momentane vekstfarten til $F$ i $x = 5$ , altså i 2013 (tilnærmet den deriverte $F^{'} (5)$ via en differenskvotient med svært liten $h$ ). $D \approx 116,8$ betyr at strømmeinntektene i 2013 ifølge modellen økte med omtrent $117$ millioner kroner per år — dette er nær det brattaste punktet på S-kurven (vendepunktet), som stemmer godt med at veksten i tabellen var størst mellom 2012 og 2014.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Integrasjon, Regresjon, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Plan parallelt med gitt plan og kule tangerer to plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Planet $α$ er bestemt av punktene $A (1,0,3)$ , $B (0,1,2)$ og $C (2,3,2)$ .

Kalkulator

Bestem en likning for planet $β$ som er parallelt med $α$ og går gjennom punktet $P (2, - 5,5)$ .

En kule tangerer $α$ i punktet $A$ og $β$ i et punkt $Q$ .

Kalkulator

Bestem eksakte verdier for koordinatene til $Q$ .

Fasit

$β : x - y - 2 z = - 3$

$Q (\frac{4}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{7}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Planet $α$ er bestemt av punktene $A (1,0,3)$ , $B (0,1,2)$ og $C (2,3,2)$ . Vi finner en normalvektor $\vec{n}$ til $α$ ved å regne ut kryssproduktet av to vektorer i planet:

\vec{A B} = (- 1, 1, - 1), \vec{A C} = (1, 3, - 1)

\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 1 \end{matrix} | = (2, - 2, - 4)

Vi kan forenkle normalvektoren til $\vec{n} = (1, - 1, - 2)$ .

Likningen for $α$ blir da (med $A$ som punkt i planet):

1 (x - 1) - 1 (y - 0) - 2 (z - 3) = 0 \Rightarrow x - y - 2 z = - 5

Siden $β$ er parallelt med $α$ , har $β$ samme normalvektor $\vec{n} = (1, - 1, - 2)$ . Vi bruker punktet $P (2, - 5,5)$ til å finne konstantleddet:

x - y - 2 z = 2 - (- 5) - 2 \cdot 5 = 2 + 5 - 10 = - 3

β : x - y - 2 z = - 3

Kulen tangerer $α$ i $A$ og $β$ i $Q$ . Siden $α$ og $β$ er parallelle plan med samme normalvektor $\vec{n}$ , må kulens sentrum $O$ ligge på normalen til $α$ gjennom $A$ (tangeringsbetingelsen), og denne linja er samtidig normal til $β$ . Dermed ligger $A$ , $O$ og $Q$ på samme rette linje gjennom $A$ med retningsvektor $\vec{n}$ , og $Q$ er punktet der denne linja skjærer $β$ .

Linja gjennom $A$ med retning $\vec{n} = (1, - 1, - 2)$ :

X (t) = A + t \cdot \vec{n} = (1 + t, - t, 3 - 2 t)

Vi setter $X (t)$ inn i likningen for $β$ for å finne parameteren $t$ som gir skjæringspunktet:

(1 + t) - (- t) - 2 (3 - 2 t) = - 3

1 + t + t - 6 + 4 t = - 3

6 t - 5 = - 3 \Rightarrow t = \frac{1}{3}

Se GeoGebra CAS-utklippet, som bekrefter $t = \frac{1}{3}$ som løsning av likningen.

CAS-verifisering av planlikninger og parameter t

Vi setter $t = \frac{1}{3}$ inn i uttrykket for $X (t)$ :

Q = (1 + \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, 3 - \frac{2}{3}) = (\frac{4}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{7}{3})

Q (\frac{4}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{7}{3})

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan, Kule
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Mopedbil differensiallikning og toppfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En mopedbil blir drevet av en motor som gir en konstant kraft $F = 250 N$ (newton).

Bilens fart $v$ (i m/s) kan beskrives med differensiallikningen

350 v^{'} = F - 10 v

Kalkulator

Finn et uttrykk $v (t)$ for farten $t$ sekunder etter at mopedbilen begynner å bevege seg.

Kalkulator

Hva er den største farten mopedbilen kan oppnå?

Bilprodusenten ønsker at mopedbilen skal ha en toppfart på 60 km/h.

Kalkulator

Hva må motorkraften $F$ være dersom mopedbilen skal ha denne toppfarten?

Fasit

$v (t) = 25 (1 - e^{- \frac{t}{35}})$

$v_{\max} = 25 m / s$

$F = \frac{500}{3} \approx 166,7 N$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen er

350 v^{'} = 250 - 10 v

Vi løser med separasjon av variable. Skriver om til

\frac{d v}{d t} = \frac{250 - 10 v}{350} = \frac{25 - v}{35}

Separerer $v$ og $t$ :

\frac{d v}{25 - v} = \frac{d t}{35}

Integrerer på begge sider:

- \ln | 25 - v | = \frac{t}{35} + C

Bruker startbetingelsen $v (0) = 0$ :

- \ln 25 = C

Setter inn og løser for $v$ :

- \ln | 25 - v | = \frac{t}{35} - \ln 25 \Rightarrow \ln | 25 - v | = \ln 25 - \frac{t}{35}

25 - v = 25 e^{- \frac{t}{35}}

v (t) = 25 (1 - e^{- \frac{t}{35}})

CAS bekrefter løsningen ved å sette $v (t)$ inn i differensiallikningen (linje 2 i utklippet gir $0$ ):

Løsning av differensiallikningen i CAS

Når $t \to \infty$ går $e^{- \frac{t}{35}} \to 0$ , så

v (t) \to 25 (1 - 0) = 25

Alternativt kan man sette $v^{'} = 0$ direkte i differensiallikningen:

0 = 250 - 10 v \Rightarrow v = 25

Mopedbilens toppfart er derfor

v_{\max} = 25 m / s

Toppfarten $60 km/h$ regnes om til $m/s$ :

60 km/h = \frac{60000}{3600} m / s = \frac{50}{3} m / s \approx 16,7 m / s

Toppfarten oppnås når $v^{'} = 0$ , altså når $F = 10 v_{\max}$ . Setter $v_{\max} = \frac{50}{3}$ :

F = 10 \cdot \frac{50}{3} = \frac{500}{3}

Se linje 4 i CAS-utklippet over, som bekrefter $F = \frac{500}{3}$ .

Motorkraften må dermed være

F = \frac{500}{3} \approx 166,7 N

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Konvergensområde og konstruksjon av geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hånd

Bestem konvergensområdet til den uendelige geometriske rekken

1 + (\frac{x}{2} - 3) + {(\frac{x}{2} - 3)}^{2} + {(\frac{x}{2} - 3)}^{3} + \dots

For hånd

Lag en uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient som har konvergensområde $⟨ - 3, 5 ⟩$ , og som konvergerer mot 3 når $x = 4$ .

Fasit

$⟨ 4, 8 ⟩$

$\frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{x - 1}{4} + \frac{3}{4} {(\frac{x - 1}{4})}^{2} + \dots$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken er en uendelig geometrisk rekke med $a_{1} = 1$ og kvotient

k = \frac{x}{2} - 3

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ . Vi løser derfor ulikheten

| \frac{x}{2} - 3 | < 1

- 1 < \frac{x}{2} - 3 < 1

2 < \frac{x}{2} < 4

4 < x < 8

Løsning i GeoGebra CAS

Konvergensområdet er $⟨ 4, 8 ⟩$ , se linje 1 i CAS-utklippet.

Svar: $⟨ 4, 8 ⟩$

Vi skal konstruere en uendelig geometrisk rekke med en kvotient $k (x)$ som er lineær i $x$ , slik at konvergensbetingelsen $| k (x) | < 1$ gir nettopp intervallet $⟨ - 3, 5 ⟩$ .

Vi setter

k (x) = \frac{x - m}{c}

der $m$ er midtpunktet og $c$ er halve bredden av intervallet. Siden intervallet $⟨ - 3, 5 ⟩$ har midtpunkt

m = \frac{- 3 + 5}{2} = 1

og halv bredde

c = \frac{5 - (- 3)}{2} = 4

velger vi $k (x) = \frac{x - 1}{4}$ . Da er $| k (x) | < 1 \Leftrightarrow - 3 < x < 5$ , som gir riktig konvergensområde.

Rekken skal ha $a_{1} \cdot \frac{1}{1 - k} = 3$ når $x = 4$ . Vi finner først $k (4)$ :

k (4) = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}

Siden $| 3 / 4 | < 1$ konvergerer rekken for $x = 4$ , som den skal. Vi setter opp likningen for summen og løser for $a_{1} = a$ :

\frac{a}{1 - \frac{3}{4}} = 3

4 a = 3

a = \frac{3}{4}

Se linje 2 i CAS-utklippet over, som bekrefter $4 a = 3$ .

Den geometriske rekken

\frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{x - 1}{4} + \frac{3}{4} {(\frac{x - 1}{4})}^{2} + \dots

har dermed konvergensområde $⟨ - 3, 5 ⟩$ og summen $3$ når $x = 4$ .

Svar: $a_{1} = \frac{3}{4}, k (x) = \frac{x - 1}{4}$

(Merk: dette er kun ett av uendelig mange gyldige svar — enhver rekke med lineær kvotient $k (x) = \frac{x - 1}{4}$ og passende $a_{1}$ vil oppfylle kravene.)

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Konvergens
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Omdreiningslegeme av rasjonell funksjon og sammenligning med kjegle

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{2 - \cos x}{\sin x}, D_{f} = ⟨ \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4} ⟩

Vi roterer grafen til $f$ om $x$ -aksen.

Omdreiningslegeme av f rotert om x-aksen

Oppsett for hånd

Bestem volumet av omdreiingslegemet vi da får.

Omdreiingslegemet skal plasseres i en rett kjegle med radius 4 og volum 45.

Kalkulator

Avgjør om omdreiingslegemet får plass i kjeglen.

Fasit

$V \approx 26,48$

$Nei, omdreiingslegemet får ikke plass i kjeglen$

LøsningsforslagKI-generert

Når grafen til $f$ roteres om $x$ -aksen, er volumet av omdreiingslegemet gitt ved

V = π \int_{π / 4}^{3 π / 4} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{π / 4}^{3 π / 4} {(\frac{2 - \cos x}{\sin x})}^{2} d x

Vi regner ut integralet med CAS.

CAS-utregning av volumet

Dette gir

V \approx 26,48

For at omdreiingslegemet skal få plass i kjegla, er det nødvendig at legemets radius, altså $f (x)$ , aldri er større enn kjeglens største radius $4$ for noen $x$ i $D_{f}$ .

Vi undersøker dette grafisk ved å tegne $f$ sammen med linja $y = 4$ på intervallet $⟨ \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4} ⟩$ .

Graf av f sammenlignet med kjegleradius 4

Grafen viser at $f$ har et minimum i $x = \frac{π}{3}$ , med verdi $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} \approx 1,73$ , og deretter vokser mot høyre randpunkt. Ved $x = \frac{3 π}{4}$ er

f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \sqrt{2} + 1 \approx 3,83

Siden $D_{f} = ⟨ \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4} ⟩$ er et åpent intervall, blir denne verdien aldri nådd — $f (x) < 2 \sqrt{2} + 1 \approx 3,83 < 4$ for alle $x$ i $D_{f}$ . I tillegg er volumet av omdreiingslegemet mindre enn volumet av kjegla:

V \approx 26,48 < 45

Disse to observasjonene er imidlertid bare nødvendige betingelser for at legemet skal få plass — de er ikke tilstrekkelige. En kjegle smalner av mot spissen, så det avgjørende er ikke om legemets maksradius er under kjeglens største radius, eller om legemets totale volum er mindre enn kjeglens: det avgjørende er om kjeglens radius er større enn legemets radius $f (x)$ i hver eneste høyde langs aksen. Et legeme kan godt ha lite volum og liten maksradius, og likevel stikke utenfor en kjegle som er svært spiss et annet sted.

Vi må derfor sammenligne $f (x)$ med kjeglens radius som funksjon av $x$ — altså mantellinja til kjegla. Vi plasserer kjegla slik at den vide enden (radius $4$ ) ligger i randpunktet $x = \frac{3 π}{4}$ , der $f$ er størst, og spissen ligger et stykke til venstre for dette. Kjeglas høyde $h$ finner vi fra volumformelen:

V_{kjegle} = \frac{1}{3} π r^{2} h = 45 \Rightarrow h = \frac{3 \cdot 45}{π \cdot 4^{2}} = \frac{135}{16 π} \approx 2,69

Spissen ligger dermed i $x = \frac{3 π}{4} - h \approx - 0,33$ , og mantellinja — kjeglens radius $m (x)$ som funksjon av $x$ — er den rette linja gjennom punktene $(\frac{3 π}{4} - h, 0)$ og $(\frac{3 π}{4}, 4)$ :

m (x) = \frac{4}{h} (x - (\frac{3 π}{4} - h))

Vi tegner $f$ og $m$ sammen for å se om $f (x) \leq m (x)$ for alle $x$ i $D_{f}$ .

Graf av f sammenlignet med kjeglens mantellinje

Grafen viser at linjene skjærer hverandre i $x_{0} \approx 0,86$ . For $x$ mellom venstre randpunkt $\frac{π}{4} \approx 0,79$ og $x_{0} \approx 0,86$ ligger $f (x)$ over $m (x)$ — for eksempel ved venstre randpunkt:

f (\frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2} - 1 \approx 1,83 m (\frac{π}{4}) \approx 1,66

Her er altså legemets radius større enn kjeglens radius i samme høyde, selv om $f (\frac{π}{4})$ ligger godt under kjeglens maksimale radius $4$ . Omdreiingslegemet stikker dermed utenfor kjegla nær venstre endepunkt, og det får ikke plass i kjegla — til tross for at både maksradius og totalvolum isolert sett er mindre enn kjeglens.

Nei, omdreiingslegemet får ikke plass i kjeglen

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Rasjonale funksjoner, Trigonometri, Volum
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon med produkt- og kvotientregel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Bestemte integraler med polynom og eksponential

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Vis at derivert av tangens er 1 pluss tan kvadrat

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Aritmetisk og geometrisk rekke R2 V23 LK06

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Løse lineær differensiallikning med startbetingelse

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Bestem f'(0) fra sinusgraf

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Pyramide med volum areal og avstand

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for sum av n(n+5)

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Strømming av musikk modell og tolkning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Plan parallelt med gitt plan og kule tangerer to plan

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Mopedbil differensiallikning og toppfart

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Konvergensområde og konstruksjon av geometrisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Omdreiningslegeme av rasjonell funksjon og sammenligning med kjegle

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon med produkt- og kvotientregel

Oppgave 1-2·Bestemte integraler med polynom og eksponential

Oppgave 1-3·Vis at derivert av tangens er 1 pluss tan kvadrat

Oppgave 1-4·Aritmetisk og geometrisk rekke R2 V23 LK06

Oppgave 1-5·Løse lineær differensiallikning med startbetingelse

Oppgave 1-6·Bestem f'(0) fra sinusgraf

Oppgave 1-7·Pyramide med volum areal og avstand

Oppgave 1-8·Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Oppgave 1-9·Induksjonsbevis for sum av n(n+5)

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Strømming av musikk modell og tolkning

Oppgave 2-2·Plan parallelt med gitt plan og kule tangerer to plan

Oppgave 2-3·Mopedbil differensiallikning og toppfart

Oppgave 2-4·Konvergensområde og konstruksjon av geometrisk rekke

Oppgave 2-5·Omdreiningslegeme av rasjonell funksjon og sammenligning med kjegle

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon med produkt- og kvotientregel

Oppgave 1-2Bestemte integraler med polynom og eksponential

Oppgave 1-3Vis at derivert av tangens er 1 pluss tan kvadrat

Oppgave 1-4Aritmetisk og geometrisk rekke R2 V23 LK06

Oppgave 1-5Løse lineær differensiallikning med startbetingelse

Oppgave 1-6Bestem f'(0) fra sinusgraf

Oppgave 1-7Pyramide med volum areal og avstand

Oppgave 1-8Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for sum av n(n+5)

Oppgave 2-1Strømming av musikk modell og tolkning

Oppgave 2-2Plan parallelt med gitt plan og kule tangerer to plan

Oppgave 2-3Mopedbil differensiallikning og toppfart

Oppgave 2-4Konvergensområde og konstruksjon av geometrisk rekke

Oppgave 2-5Omdreiningslegeme av rasjonell funksjon og sammenligning med kjegle