Tangent til ln og trekantareal

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = \ln x$ .

Et punkt $B$ på grafen til $f$ er plassert slik at tangenten til grafen i punktet $B$ går gjennom $A(0,0)$ .

Punktet $C$ er plassert på linja $y = x$ slik at $\angle ACB = 90\degree$ .

Grafen til f(x) = ln x med punkt B, tangent og trekant ABC

Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet $B$ .

Bestem det eksakte arealet av trekant $ABC$ .

Fasit

$\underline{\underline{B = (e,\ 1)}}$

$\underline{\underline{T = \dfrac{e^2-1}{4} \approx 1{,}60}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS.

GeoGebra CAS – tangentbetingelse og trekantareal

Vi definerer $f(x) = \ln x$ og finner den deriverte.

f'(x) = \frac{1}{x}

Tangenten i punktet $B = (b,\ \ln b)$ har stigning $f'(b) = \tfrac{1}{b}$ og likning

y - \ln b = \frac{1}{b}(x - b)

For at tangenten skal gå gjennom $A(0,0)$ setter vi inn $x = 0,\ y = 0$ :

-\ln b = \frac{1}{b}(0 - b) = -1 \quad \Rightarrow \quad \ln b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = e

CAS bekrefter: Løs(ln(x) = 1, x) → $\{x = e\}$ .

$B = (e,\ 1)$ .

$C$ ligger på linja $y = x$ , så $C = (c,\ c)$ for et tall $c > 0$ .

Betingelsen $\angle ACB = 90°$ betyr at $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$ .

\overrightarrow{CA} = A - C = (-c,\ -c), \qquad \overrightarrow{CB} = B - C = (e - c,\ 1 - c)

Prikkprodukt lik null:

(-c)(e-c) + (-c)(1-c) = 0 \quad \Rightarrow \quad -c\bigl[(e-c)+(1-c)\bigr] = 0 \quad \Rightarrow \quad c(e + 1 - 2c) = 0

$c = 0$ gir punktet $A$ , så

c = \frac{e+1}{2}, \qquad C = \left(\frac{e+1}{2},\ \frac{e+1}{2}\right)

CAS bekrefter koordinatene til $C$ (se linje 5 i utklippet).

Siden $\angle ACB = 90°$ er arealet av trekanten

T = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |CB|

Vi beregner sidelengdene:

|AC| = \sqrt{c^2 + c^2} = c\sqrt{2} = \frac{(e+1)\sqrt{2}}{2}

e - c = e - \frac{e+1}{2} = \frac{e-1}{2}, \qquad 1 - c = 1 - \frac{e+1}{2} = \frac{1-e}{2} = -\frac{e-1}{2}

|CB| = \sqrt{\left(\frac{e-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{e-1}{2}\right)^2} = \frac{(e-1)\sqrt{2}}{2}

T = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e+1)\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(e-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e+1)(e-1) \cdot 2}{4} = \frac{e^2-1}{4}

CAS bekrefter: Forenkle((e+1)/2 · (e-1)/2) → $\tfrac{1}{4}e^2 - \tfrac{1}{4}$ (se linje 6).

Arealet av trekant $ABC$ er $\dfrac{e^2-1}{4} \approx 1{,}60$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som finner tilnærmete verdier, kan få 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som finner tilnærmete verdier, kan få 1 poeng.

Oppgavedata