Omvendt funksjon og tangentlikninger

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1

og har definisjonsmengden $I = [a, b]$ der $a, b \in \mathbb{R}$ .

Bestem det største intervallet $I$ , slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$ .

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ .

Grafen til $g$ har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i punktet $(-10, 3)$ . Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

Fasit

$\underline{\underline{I = [0, 4]}}$

$\underline{\underline{-\dfrac{1}{3}}}$

$\underline{\underline{\left(-\dfrac{8}{3},\ 1\right)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer $f$ og beregner $f'$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – omvendt funksjon og tangentlikninger

For at $f$ skal ha en omvendt funksjon $g$ på $I$ må $f$ være strengt monoton (én-til-én) på $I$ .

Vi deriverer $f$ :

f'(x) = x^2 - 4x = x(x-4)

Stasjonære punkter: $f'(x) = 0$ gir $x = 0$ og $x = 4$ (linje 3 i CAS).

$f$ er avtagende for $x \in (0, 4)$ siden $f'(x) < 0$ der, og $2 \in (0, 4)$ . Det største intervallet der $f$ er monoton og inneholder $x = 2$ er derfor

\underline{\underline{I = [0, 4]}}

(For kontroll: $f(0) = -1$ og $f(4) = -\dfrac{35}{3}$ , så $f$ er strengt avtagende på hele intervallet.)

Tangeringspunktet på grafen til $g$ er $(-10, 3)$ , altså $g(-10) = 3$ .

Siden $g$ er den omvendte funksjonen til $f$ , betyr dette at $f(3) = -10$ .

Kontroll (linje 6): $f(3) = -10$ ✓

Sammenhengen mellom stigningstallene til $f$ og $g$ i speilpunktene er:

g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}

Her er $x_0 = 3$ og $y_0 = f(3) = -10$ :

g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3} = \underline{\underline{-\frac{1}{3}}}

(Linje 7–8 i CAS bekrefter $f'(3) = -3$ og $\dfrac{1}{f'(3)} = -\dfrac{1}{3}$ .)

Vi søker et annet punkt på grafen til $g$ der tangenten har stigningstall $-\dfrac{1}{3}$ .

g'(y) = -\frac{1}{3} \implies \frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \implies f'(x) = -3

Vi løser $f'(x) = -3$ (linje 9 i CAS):

x^2 - 4x = -3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0

x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 3

$x = 3$ svarer til tangeringspunktet vi allerede fant i b). Den andre løsningen er $x = 1$ .

$f(1) = -\dfrac{8}{3}$ (linje 10 i CAS).

Punktet på grafen til $f$ er $\left(1,\ -\dfrac{8}{3}\right)$ , og siden $g$ er den omvendte funksjonen, er det tilsvarende punktet på grafen til $g$ :

\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}

Sensorveiledning

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

En god strategi som ikke fører helt til svaret kan gi 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som prøver seg fram i Geogebra og finner en tilnærmet verdi kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 2, oppgave 2
Poeng: 6
Temaer: funksjoner, derivasjon
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon