Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Teknologiselskapet PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. PowBat regner med at antallet husstander som har batteriet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $S$ gitt ved

S(t) = \frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}}

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har batteriet, ifølge modellen?

Bestem $S'(52)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten BA3 planlegger å lansere et batteri med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til PowBat.

Etter å ha hørt om planene til BA3 antar PowBat at

de totalt vil få solgt batteriet sitt til 1,5 millioner husstander
500 husstander har batteriet når det lanseres
flest nye husstander kjøper batteriet i uke 60

Bruk antakelsene ovenfor til å finne en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker.

Fasit

$\underline{\underline{t \approx 102{,}87 \text{ uker}}}$

$\underline{\underline{S'(52) \approx 4873}}$ husstander per uke. Omtrent ett år etter lansering øker antallet husstander med batteriet med ca. 4873 per uke.

$\underline{\underline{F(t) = \dfrac{1\ 500\ 000}{1 + 2999 \cdot e^{-0{,}1334t}}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS (numerisk modus) til å løse alle tre deloppgavene i én sesjon.

GeoGebra CAS – logistisk vekstmodell batteriteknologi

Halvparten av husstandene i byen er $\tfrac{3\ 000\ 000}{2} = 1\ 500\ 000$ . Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\ 500\ 000$ .

Vi definerer $S$ og løser likningen i CAS:

S(t) := \frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}}

\texttt{Løs}(S(t) = 1\ 500\ 000,\; t) \quad \Rightarrow \quad t \approx 102{,}87

Vi kan også løse for hånd for å bekrefte:

\frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}} = 1\ 500\ 000

1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t} = \frac{5}{3}

e^{-0{,}08t} = \frac{2}{3 \cdot 2500} = \frac{1}{3750}

-0{,}08t = \ln\!\left(\frac{1}{3750}\right) = -\ln(3750)

t = \frac{\ln(3750)}{0{,}08} \approx \frac{8{,}230}{0{,}08} \approx 102{,}87

Det vil ta omtrent $\underline{\underline{102{,}87 \text{ uker}}}$ før halvparten av husstandene i byen har batteriet.

Vi beregner den deriverte i $t = 52$ i CAS:

S'(52) \approx 4872{,}76

Til kontroll: $S(52) \approx 62\ 470$ husstander.

$\underline{\underline{S'(52) \approx 4873}}$ husstander per uke.

Praktisk tolkning: Omtrent 52 uker (ett år) etter lansering øker antallet husstander som har batteriet, med ca. 4873 per uke.

Vi skal finne en logistisk modell $F(t) = \dfrac{B}{1 + A \cdot e^{-rt}}$ basert på tre antakelser:

Bæreevne: $B = 1\ 500\ 000$
$F(0) = 500$
Vendepunktet (flest nye husstander per uke) er ved $t = 60$

Bestem $A$ : Vendepunktet for en logistisk funksjon ligger når $F(t) = \tfrac{B}{2}$ , og ved vendepunktet er $t_v = \dfrac{\ln A}{r}$ . Fra $F(0) = 500$ :

\frac{1\ 500\ 000}{1 + A} = 500 \quad \Rightarrow \quad 1 + A = 3000 \quad \Rightarrow \quad A = 2999

Bestem $r$ : Vendepunktet er ved $t = 60$ :

t_v = \frac{\ln A}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{\ln 2999}{60} \approx \frac{8{,}006}{60} \approx 0{,}1334

Vi bekrefter i CAS at $F(0) = 500$ og at vendepunktet er $(60,\; 750\ 000)$ .

\boxed{F(t) = \frac{1\ 500\ 000}{1 + 2999 \cdot e^{-0{,}1334t}}}

Sensorveiledning

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for tolkning av verdien.

2 poeng

Kandidater som systematiserer og finner sammenhenger uten å komme fram til riktig modell kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 2, oppgave 1
Poeng: 6
Temaer: logistisk funksjon, modellering, derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon