Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Del 2 · oppgave 3
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Amalie arbeider med en funksjon ff med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

f(x)={−9x−15,x≤−2■■■■,−2<x<1x22−x−72,x≥1f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ \blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} \quad & x \ge 1 \end{cases}

Hun husker at ff er kontinuerlig og deriverbar for alle x∈Rx \in \mathbb{R}. Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom.

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til ff.

Fasit
f(x)={−9x−15,x≤−2−1327x3+79x2−19x−11327,−2<x<1x22−x−72,x≥1\mathbf{f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27}\text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} & x \ge 1 \end{cases}}
LøsningsforslagKI-generert

For at ff skal være kontinuerlig og deriverbar i x=−2x = -2 og x=1x = 1, må det midterste uttrykket g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d oppfylle fire krav:

  • Kontinuitet i x=−2x = -2: g(−2)=f1(−2)g(-2) = f_1(-2)
  • Deriverbarhet i x=−2x = -2: g′(−2)=f1′(−2)g'(-2) = f_1'(-2)
  • Kontinuitet i x=1x = 1: g(1)=f3(1)g(1) = f_3(1)
  • Deriverbarhet i x=1x = 1: g′(1)=f3′(1)g'(1) = f_3'(1)

Beregn grenseverdiene fra de kjente uttrykkene:

f1(x)=−9x−15  ⟹  f1(−2)=18−15=3f_1(x) = -9x - 15 \implies f_1(-2) = 18 - 15 = 3 og f1′(−2)=−9f_1'(-2) = -9

f3(x)=x22−x−72  ⟹  f3(1)=12−1−72=−4f_3(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} \implies f_3(1) = \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = -4 og f3′(x)=x−1  ⟹  f3′(1)=0f_3'(x) = x - 1 \implies f_3'(1) = 0

Sett opp likningssystemet med g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d og g′(x)=3ax2+2bx+cg'(x) = 3ax^2 + 2bx + c:

{g(−2)=−8a+4b−2c+d=3g′(−2)=12a−4b+c=−9g(1)=a+b+c+d=−4g′(1)=3a+2b+c=0\begin{cases} g(-2) = -8a + 4b - 2c + d &= 3 \\ g'(-2) = 12a - 4b + c &= -9 \\ g(1) = a + b + c + d &= -4 \\ g'(1) = 3a + 2b + c &= 0 \end{cases}

Løs i GeoGebra CAS:

Løs({-8a1 + 4b1 - 2c1 + d1 = 3, 12a1 - 4b1 + c1 = -9,
     a1 + b1 + c1 + d1 = -4, 3a1 + 2b1 + c1 = 0}, {a1, b1, c1, d1})

GeoGebra CAS løser likningssystemet og gir a = −13/27, b = 7/9, c = −1/9, d = −113/27

GeoGebra gir:

a=−1327,b=79,c=−19,d=−11327a = -\frac{13}{27}, \quad b = \frac{7}{9}, \quad c = -\frac{1}{9}, \quad d = -\frac{113}{27}

Det midterste uttrykket er altså:

g(x)=−1327x3+79x2−19x−11327g(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}

Hele funksjonsuttrykket er:

f(x)={−9x−15,x≤−2−1327x3+79x2−19x−11327,−2<x<1x22−x−72,x≥1‾‾\underline{\underline{f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27}\text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} & x \ge 1 \end{cases}}}
Sensorveiledning

En kandidat som setter opp likningssettet, men ikke klarer å finne funksjonen kan få 2 poeng. En kandidat som finner verdiene som skal brukes i likningene, kan få 1 poeng.

Oppgavedata
Hentet fra
R1 V2025, del 2, oppgave 3
Kategori
3
Vanskegrad
3
Poeng
3
Temaer
kontinuitet, derivasjon, funksjoner, delt forskrift, likningssystem
Kompetansemål
  • Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
  • Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer