R1 Høst 2025

R1 Høst 2025 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler
1-1	Derivasjon og graffortolkning	—
1-2	Logaritmeligninger	—
1-3	Grenseverdier	—
1-4	Koordinater, linje og ortogonalitet	—
1-5	Funksjonsdrøfting og halveringsmetode	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler
2-1	Logistisk vekstmodell	—
2-2	Stykkevis funksjon og deriverbarhet	—
2-3	Luktintensitet og logaritmisk modell	—
2-4	Parameterframstilling og møtepunkt	—
2-5	Vektorer, lengde og ortogonalitet	—
2-6	Grafer og dobbeltderivert	—

Oppgave 1-1 : Derivasjon og graffortolkning

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2

Funksjon $g$ gitt ved

g(x) = \frac{2x-3}{e^x}

er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$ .

Bestem $g'(2)$ og $g'(3)$ .

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til $g$ når $x \in [2, 3]$ ?

Fasit

$f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$g'(2) = \dfrac{1}{e^2}$ , $g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}$

$g$ har et toppunkt i $\langle 2, 3 \rangle$

Løsningsforslag

Vi skriver om $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^{1/2} + 2$ og deriverer ledd for ledd:

f'(x) = x^2 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}

$\underline{\underline{f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}$

Vi bruker kvotientsregelen på $g(x) = \dfrac{2x-3}{e^x}$ :

g'(x) = \frac{2 \cdot e^x - (2x-3) \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x \left(2 - (2x-3)\right)}{e^{2x}} = \frac{5-2x}{e^x}

Da er

g'(2) = \frac{5-4}{e^2} = \frac{1}{e^2} \approx 0{,}14 \qquad \text{og} \qquad g'(3) = \frac{5-6}{e^3} = -\frac{1}{e^3} \approx -0{,}05

$\underline{\underline{g'(2) = \dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}14}}$ og $\underline{\underline{g'(3) = -\dfrac{1}{e^3} \approx -0{,}05}}$

Siden $g'(2) > 0$ er $g$ stigende i $x = 2$ , og siden $g'(3) < 0$ er $g$ avtagende i $x = 3$ . Dermed må $g$ ha et toppunkt et sted i det åpne intervallet $\langle 2, 3 \rangle$ .

Sensorveiledning

Kandidaten må derivere to av leddene riktig for å få 1 poeng.

1 poeng for å derivere uttrykket og 1 poeng for å regne ut verdiene av de deriverte.

Kandidaten må kommentere fortegnet til deriverte for å få uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: derivasjon, funksjoner
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 1-2 : Logaritmeligninger

Løs likningen

(\lg x)^2 - 2\lg x = 8

Bestem $a$ slik at

\log_a \frac{1}{64} = -3

Fasit

$x = 10000$ eller $x = 0{,}01$

$a = 4$

Løsningsforslag

Vi setter $u = \lg x$ og løser den kvadratiske likningen:

u^2 - 2u - 8 = 0 \implies (u-4)(u+2) = 0

Så $u = 4$ eller $u = -2$ , det vil si

\lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10000 \qquad \text{eller} \qquad \lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = 0{,}01

$\underline{\underline{x = 10000}}$ eller $\underline{\underline{x = 0{,}01}}$

Likningen $\log_a \dfrac{1}{64} = -3$ betyr $a^{-3} = \dfrac{1}{64}$ , altså $a^3 = 64$ .

$\underline{\underline{a = 4}}$

Sensorveiledning

1 poeng for å finne verdiene til $\lg x$ og 1 poeng for å finne verdiene til $x$ . Kandidatene må finne begge løsningene for å få full uttelling.

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: logaritmer, likninger, substitusjon
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger

Oppgave 1-3 : Grenseverdier

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8}

b)

Bestem $a$ slik at grenseverdien eksisterer:

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8}

Bestem grenseverdien for denne verdien av $a$ .

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke

$a = 3$ , grenseverdi $= \dfrac{1}{6}$

Løsningsforslag

Vi faktoriserer nevneren: $x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$ .

Nevneren går mot 0 når $x \to -2$ , mens telleren gir

(-2)^2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \neq 0

Siden teller $\to 14$ og nevner $\to 0$ , eksisterer ikke grenseverdien.

Del 1 – bestemme $a$ :

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også gå mot 0 når $x \to -2$ (siden nevneren gjør det). Vi krever

(-2)^2 + a(-2) + 2 = 0 \implies 4 - 2a + 2 = 0 \implies a = 3

$\underline{\underline{a = 3}}$

Del 2 – beregne grenseverdien:

Med $a = 3$ : teller $= x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$ .

\lim_{x \to -2} \frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x+1}{x-4} = \frac{-2+1}{-2-4} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6}

Grenseverdien er $\underline{\underline{\dfrac{1}{6}}}$ .

Sensorveiledning

Kandidaten får uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm\infty$ .

1 poeng for å finne $a$ og 1 poeng for å finne grenseverdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: grenseverdi, kontinuitet, faktorisering
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Oppgave 1-4 : Koordinater, linje og ortogonalitet

I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A(-2, 3)$ og $B(3, 2)$ .

Bestem lengden av linjestykket $AB$ .

Linja gjennom $A$ og $B$ skjærer $x$ -aksen i punktet $C$ .

Bestem koordinatene til $C$ .

Et punkt $D$ er gitt ved $D(2, t)$ der $t \in \mathbb{R}$ .

Bestem $t$ slik at $\angle ABD$ blir $90\degree$ .

Fasit

$|AB| = \sqrt{26}$

$C = (13,\; 0)$

$t = -3$

Løsningsforslag

|AB| = \sqrt{(3-(-2))^2 + (2-3)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}

$\underline{\underline{|AB| = \sqrt{26}}}$

Stigningstallet til linjen gjennom $A(-2,3)$ og $B(3,2)$ er

m = \frac{2-3}{3-(-2)} = -\frac{1}{5}

Linjens ligning: $y - 3 = -\dfrac{1}{5}(x + 2)$ , det vil si $y = \dfrac{13}{5} - \dfrac{x}{5}$ .

For $y = 0$ : $x = 13$ .

$\underline{\underline{C = (13,\; 0)}}$

Vinkelen $\angle ABD = 90°$ betyr at $\vec{BA} \perp \vec{BD}$ , altså $\vec{BA} \cdot \vec{BD} = 0$ .

\vec{BA} = (-5,\; 1) \qquad \vec{BD} = (2-3,\; t-2) = (-1,\; t-2)

\vec{BA} \cdot \vec{BD} = (-5)(-1) + 1 \cdot (t-2) = 5 + t - 2 = 3 + t = 0 \implies t = -3

$\underline{\underline{t = -3}}$

Sensorveiledning

Kandidater som finner riktig vektor, men ikke lengden av den, kan få 1 poeng.

En presis tegning uten god tilhørende argumentasjon kan gi 1 poeng.

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: vektorer, geometri, skalarprodukt
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 1-5 : Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = 4x^2 \cdot \ln x

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

En elev jobber med funksjonen $f$ og har skrevet programmet nedenfor:

from math import log              # log(x) er kode for ln(x)

a = 0.1
b = 3

maks_avvik = 0.0001

def f(x):                         # definerer funksjonen
    return 4*x**2*log(x)

m = (a + b)/2

while abs(f(m)) >= maks_avvik:    # abs() finner absoluttverdi

	if f(a)*f(m) < 0:
		b = m
    else:
        a = m

    m = (a + b)/2

print(m)

Hva ønsker eleven å finne ut?
Forklar hva programmet gjør i linje 11–20.
Bestem verdien som blir skrevet ut når eleven kjører programmet.

Fasit

Bunnpunkt $\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\; -\dfrac{2}{e}\right)$ , ingen toppunkt

$m \approx 1{,}000$

Løsningsforslag

$f(x) = 4x^2 \ln x$ er definert for $x > 0$ .

f'(x) = 8x \ln x + 4x^2 \cdot \frac{1}{x} = 8x \ln x + 4x = 4x(2\ln x + 1)

For $x > 0$ er $4x > 0$ , så $f'(x) = 0$ når $2\ln x + 1 = 0$ , det vil si $\ln x = -\dfrac{1}{2}$ , altså $x = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ .

Fortegnskifte: $f' < 0$ for $x < e^{-1/2}$ og $f' > 0$ for $x > e^{-1/2}$ , så dette er et bunnpunkt.

f\left(e^{-1/2}\right) = 4 \cdot e^{-1} \cdot \ln\left(e^{-1/2}\right) = \frac{4}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{e}

Bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\; -\dfrac{2}{e}\right)}}$

Grafen til $f$ har ingen toppunkt.

Eleven ønsker å finne nullpunktet til $f$ i intervallet $[0{,}1,\; 3]$ , ved hjelp av halveringsmetoden.

$f(0{,}1) = 4 \cdot 0{,}01 \cdot \ln(0{,}1) \approx -0{,}092 < 0$ og $f(3) = 36\ln 3 \approx 39{,}6 > 0$ , så det finnes ett nullpunkt i intervallet. (Vi ser at $f(x) = 4x^2 \ln x = 0$ for $x = 1$ .)

Hva programmet gjør i linje 11–20:

Linje 11 setter $m$ til midtpunktet i intervallet $[a, b]$ .
Linje 13: loopen fortsetter så lenge $|f(m)| \ge 0{,}0001$ .
Linje 15–16: dersom $f(a)$ og $f(m)$ har motsatt fortegn, er nullpunktet i $[a, m]$ → vi oppdaterer $b = m$ .
Linje 17–18: ellers er nullpunktet i $[m, b]$ → vi oppdaterer $a = m$ .
Linje 20: ny midtpunkt beregnes.

Programmet halverer intervallet i hver iterasjon til $|f(m)|$ er tilstrekkelig liten.

Programmet skriver ut $\underline{\underline{m \approx 1{,}000}}$ .

Sensorveiledning

1 poeng for å derivere riktig og 1 poeng for å finne koordinatene.

1 poeng for å forklare og beskrive koden og 1 poeng for å finne verdien.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: derivasjon, funksjonsdrøfting, programmering, halveringsmetoden
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 2-1 : Logistisk vekstmodell

Tabellen nedenfor viser folketallet på et lite tettsted, noen år i perioden 1960–1980.

År	1960	1961	1963	1965	1967	1971	1975	1977	1980
Folketall	500	604	852	1043	1510	2163	2544	2639	2715

Bruk informasjonen til å lage en modell $F$ på formen

F(t) = \frac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}

for antall personer $F(t)$ som bodde på dette tettstedet $t$ år etter 1960. Vurder modellens gyldighetsområde.

Bestem $F'(12)$ og $F''(12)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Når økte antall personer som bodde på dette tettstedet, med mer enn 150 personer per år ifølge modellen?

Fasit

$F(t) = \dfrac{2841}{1 + 5{,}08 \cdot e^{-0{,}247t}}$

$F'(12) \approx 115$ pers/år, $F''(12) \approx -16{,}7$ (veksten avtar)

$t \in (3{,}33,\; 9{,}82)$ , dvs. ca. 1963–1970

Løsningsforslag

Vi plotter datapunktene i GeoGebra og bruker Regresjon → Logistisk til å tilpasse en logistisk modell på formen $F(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}$ .

Regresjonen gir (avrundede verdier):

F(t) = \frac{2841}{1 + 5{,}08 \cdot e^{-0{,}247t}}

Modell: $\underline{\underline{F(t) = \dfrac{2841}{1 + 5{,}08 \cdot e^{-0{,}247t}}}}$

Gyldighetsområde: Dataene strekker seg fra 1960 til 1980 ( $t \in [0, 20]$ ). Modellen gir rimelige resultater i dette intervallet. Utenfor dette vil vi ha større usikkerhet – særlig for $t \gg 20$ der befolkningstallet ifølge modellen nærmer seg metningsgrensen $B \approx 2841$ .

Vi deriverer $F(t)$ og evaluerer i GeoGebra CAS:

F'(t) = \frac{B \cdot k \cdot a \cdot e^{-kt}}{(1 + a \cdot e^{-kt})^2}

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

$\underline{\underline{F'(12) \approx 115}}$ personer per år.

Praktisk tolkning: I 1972 (dvs. $t = 12$ ) økte befolkningstallet med omtrent 115 personer per år.

$\underline{\underline{F''(12) \approx -16{,}7}}$ (personer per år) per år.

Praktisk tolkning: $F''(12) < 0$ betyr at veksthastigheten er avtagende i 1972 – befolkningsveksten er på vei ned fra toppen. (Vendepunktet, der veksthastigheten er størst, inntreffer ved $t \approx 6{,}6$ , dvs. rundt 1966–1967.)

Vi setter $F'(t) = 150$ og løser i GeoGebra CAS:

F'(t) = 150

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1c

Løsningene er $t \approx 3{,}33$ og $t \approx 9{,}82$ .

Siden $F'(t)$ stiger mot maksimum og deretter synker, er $F'(t) > 150$ for $t \in (3{,}33,\; 9{,}82)$ , det vil si fra ca. midten av 1963 til slutten av 1969 økte befolkningstallet med mer enn 150 personer per år.

$\underline{\underline{t \in (3{,}33,\; 9{,}82)}}$ , dvs. fra ca. 1963 til 1970.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne modellen og 1 poeng for å vurdere gyldighetsområde.

1 poeng for å finne $F'(12)$ og $F''(12)$ og 1 poeng for den praktiske tolkningen. Kandidater som finner en av verdiene og har en praktisk tolkning av den, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten svare et tidsintervall.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: logistisk funksjon, modellering, derivasjon, regresjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

Oppgave 2-2 : Stykkevis funksjon og deriverbarhet

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \begin{cases} ax + b & x \le -2 \\ 2x^3 + 2x^2 - 2x \quad & -2 < x < k \\ c & x \ge k \end{cases} \quad \text{der } a, b, c \in \mathbb{R} \text{ og } k \in \langle -2, \rightarrow \rangle

Avgjør om $f$ er kontinuerlig når $x = -2$ dersom $a = 2$ og $b = -2$ .

Bestem $a$ , $b$ , $c$ og $k$ slik at $f$ er kontinuerlig og deriverbar når $x = -2$ og når $x = k$ .

Fasit

Ikke kontinuerlig ( $f(-2) = -6$ , midtdel $\to -4$ )

$a = 14$ , $b = 24$ . Enten $k = \frac{1}{3}$ , $c = -\frac{10}{27}$ eller $k = -1$ , $c = 2$

Løsningsforslag

Vi undersøker om $f$ er kontinuerlig i $x = -2$ med $a = 2$ og $b = -2$ .

Venstresiden ( $x \le -2$ ): $f(-2) = 2(-2) + (-2) = -6$

Høyresiden ( $-2 < x$ ): $\lim_{x \to -2^+} f(x) = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 2(-2) = -16 + 8 + 4 = -4$

Siden $-6 \neq -4$ er ikke grenseverdien lik funksjonsverdien, og $f$ er ikke kontinuerlig i $x = -2$ .

Kontinuitet og deriverbarhet i $x = -2$ :

Middeldelen i $x = -2$ gir (som beregnet ovenfor):

\lim_{x \to -2^+} f(x) = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 2(-2) = -4

Venstresiden: $f(-2) = -2a + b$ .

Krav om kontinuitet: $-2a + b = -4$ … (1)

For deriverbarhet: middeldelen har $f'(x) = 6x^2 + 4x - 2$ , som gir $f'(-2) = 6 \cdot 4 + 4 \cdot (-2) - 2 = 14$ . Venstresiden har $f'(x) = a$ .

Krav om deriverbarhet: $a = 14$ … (2)

Fra (1) og (2): $-2 \cdot 14 + b = -4 \implies b = 24$ .

Kontinuitet og deriverbarhet i $x = k$ :

Middeldelen i $x = k$ : $f(k) = 2k^3 + 2k^2 - 2k$ , og høyresiden er konstanten $c$ .

Krav om kontinuitet: $c = 2k^3 + 2k^2 - 2k$ … (3)

For deriverbarhet: høyresiden har $f'(x) = 0$ . Middeldelen: $f'(k) = 6k^2 + 4k - 2$ .

Krav om deriverbarhet: $6k^2 + 4k - 2 = 0 \implies 3k^2 + 2k - 1 = 0 \implies (3k-1)(k+1) = 0$

k = \frac{1}{3} \quad \text{eller} \quad k = -1

Begge verdiene er i $\langle -2, \rightarrow \rangle$ . Vi beregner $c$ for begge:

$k = \dfrac{1}{3}$ : $c = 2 \cdot \dfrac{1}{27} + 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{27} + \dfrac{6}{27} - \dfrac{18}{27} = -\dfrac{10}{27}$
$k = -1$ : $c = 2(-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) = -2 + 2 + 2 = 2$

Svar:

\underline{\underline{a = 14 \wedge b = 24}}

og enten $\underline{\underline{k = \dfrac{1}{3},\ c = -\dfrac{10}{27}}}$ eller $\underline{\underline{k = -1,\ c = 2}}$ .

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidatene kommunisere godt med et matematisk språk.

Kandidater som finner to av verdiene kan få 1 poeng. Kandidatene må finne begge sett med verdier for å få 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: kontinuitet, derivasjon, funksjoner, delt forskrift
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Oppgave 2-3 : Luktintensitet og logaritmisk modell

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$ . Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ( $\mathrm{OU/m^3}$ ).

Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved

I = 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

Luktintensitet ( $I$ )	Vurdering
$< 1$	uproblematisk
$1$ – $2$	akseptabelt
$2$ – $3$	kan aksepteres kortvarig
$3$ – $4$	plagsom lukt, bør begrenses
$> 4$	plagsomt, tiltak kreves

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500 \mathrm{~OU/m^3}$ og $1400 \mathrm{~OU/m^3}$ .

Har beboerne grunnlag for å klage?

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

Fasit

Ja, $I \in (3{,}48,\; 4{,}10)$ – godt over akseptabelt nivå

$C \le 44 \, \mathrm{OU/m^3}$

Løsningsforslag

Vi beregner luktintensiteten for de to ytterverdiene $C = 500$ og $C = 1400$ :

\begin{aligned} I(500) &= 1{,}4 \cdot \lg(500) - 0{,}3 \approx 1{,}4 \cdot 2{,}699 - 0{,}3 \approx 3{,}48 \\ I(1400) &= 1{,}4 \cdot \lg(1400) - 0{,}3 \approx 1{,}4 \cdot 3{,}146 - 0{,}3 \approx 4{,}10 \end{aligned}

Luktintensiteten ligger mellom ca. $3{,}5$ og $4{,}1$ , noe som ifølge tabellen tilsvarer kategoriene «plagsom lukt, bør begrenses» og «plagsomt, tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage. $\underline{\underline{I \in (3{,}48,\; 4{,}10)}}$ , som er langt over akseptabelt nivå.

For akseptabel luktintensitet kreves $I \le 2$ :

1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3 \le 2 \implies 1{,}4 \cdot \lg(C) \le 2{,}3 \implies \lg(C) \le \frac{2{,}3}{1{,}4} = \frac{23}{14}

C \le 10^{23/14} \approx 44 \, \mathrm{OU/m^3}

Nye prøver må vise $\underline{\underline{C \le 44 \, \mathrm{OU/m^3}}}$ for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

(Til sammenligning viser nåværende prøver 500–1400 $\mathrm{OU/m^3}$ , så en reduksjon på over 90 % er nødvendig.)

Sensorveiledning

1 poeng for å regne ut verdiene og 1 poeng for å vurdere om de har grunnlag for å klage.

1 poeng for finne verdien og 1 poeng for å tolke svaret. Bruk av glider for å finne svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: logaritmer, modellering
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger

Oppgave 2-4 : Parameterframstilling og møtepunkt

Ina følger en sti fra ei hytte til et utsiktspunkt. I et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter, ligger hytta i punktet $H(0, 300)$ og utsiktspunktet i $U(1200, 400)$ . Stien mellom hytta og utsiktspunktet er en rett linje. Ina går med konstant fart.

Forklar at parameterframstillingen

I: \begin{cases} x = 1200s &\\ y = 300 + 100s \end{cases} \quad s \in [0, 1]

gir den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet.

Hele turen tar 20 minutter.

Bestem posisjonen til Ina etter 5 minutter.

Regn ut farten til Ina. Gi svaret i $\mathrm{m/s}$ .

Jonas er ute på tur i samme område som Ina. De to vennene møter hverandre.

Jonas sin posisjon $t$ minutter etter at han startet sin tur, er gitt ved

j: \begin{cases} x = 520 - 20t &\\ y = 310 + 5t \end{cases}

Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas?

Fasit

$(300,\; 325)$

$\dfrac{\sqrt{145}}{12} \approx 1{,}00 \, \mathrm{m/s}$

$35\sqrt{145} \approx 421{,}5 \, \mathrm{m}$

Løsningsforslag

Parameterframstillingen er

I: \begin{cases} x = 1200s \\ y = 300 + 100s \end{cases} \quad s \in [0, 1]

Vi sjekker endepunktene:

$s = 0$ : $(x, y) = (0, 300) = H$ ✓
$s = 1$ : $(x, y) = (1200, 400) = U$ ✓

Retningsvektoren er $(1200, 100) = \vec{HU}$ , og startpunktet er $H$ . Dermed er parameterfremstillingen den rette linjen fra $H$ til $U$ , og for $s \in [0, 1]$ dekker den nøyaktig linjestykket $HU$ .

Hele turen er 20 minutter, og etter 5 minutter er $s = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$ .

x = 1200 \cdot \frac{1}{4} = 300 \qquad y = 300 + 100 \cdot \frac{1}{4} = 325

Etter 5 minutter er Ina i posisjonen $\underline{\underline{(300,\; 325)}}$ .

Strekningslengden fra $H$ til $U$ er

|HU| = \sqrt{1200^2 + 100^2} = \sqrt{1\,440\,000 + 10\,000} = \sqrt{1\,450\,000} = 100\sqrt{145} \approx 1204 \, \mathrm{m}

Turen tar 20 min $= 20 \cdot 60 \, \mathrm{s} = 1200 \, \mathrm{s}$ .

v = \frac{100\sqrt{145}}{1200} = \frac{\sqrt{145}}{12} \approx 1{,}00 \, \mathrm{m/s}

Farten til Ina er $\underline{\underline{\dfrac{\sqrt{145}}{12} \approx 1{,}00 \, \mathrm{m/s}}}$ .

Vi skriver Inas posisjon som funksjon av sin tid $t_I$ (minutter fra start):

I: \begin{cases} x = 60\, t_I \\ y = 300 + 5\, t_I \end{cases}

Vi setter Inas og Jonas sin posisjon lik hverandre:

\begin{cases} 60\, t_I = 520 - 20\, t_J \\ 300 + 5\, t_I = 310 + 5\, t_J \end{cases}

Fra andre ligning: $t_I - t_J = 2$ , dvs. $t_I = t_J + 2$ .

Setter inn i første ligning:

60(t_J + 2) = 520 - 20\, t_J \implies 80\, t_J = 400 \implies t_J = 5

Altså $t_I = 7$ (Ina har gått i 7 minutter).

Møtepunkt: $(60 \cdot 7,\; 300 + 5 \cdot 7) = (420, 335)$ .

Avstand Ina har gått:

\sqrt{(420 - 0)^2 + (335 - 300)^2} = \sqrt{420^2 + 35^2} = \sqrt{176\,400 + 1\,225} = \sqrt{177\,625} = 35\sqrt{145}

Alternativt: Ina har gått $\dfrac{7}{20}$ av turen, så $\dfrac{7}{20} \cdot 100\sqrt{145} = 35\sqrt{145}$ .

Ina har gått $\underline{\underline{35\sqrt{145} \approx 421{,}5 \, \mathrm{m}}}$ når hun møter Jonas.

Sensorveiledning

Kandidaten får uttelling selv om det ikke forklares at parameteren er mellom 0 og 1.

Kandidater som setter inn $s=5$ får ingen uttelling.

Kandidater som finner fartsvektoren, kan få 1 poeng.

Kandidater som finner Ina sin posisjon, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: vektorer, geometri, parameterframstilling, lineære likningssystem
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 2-5 : Vektorer, lengde og ortogonalitet

For $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $|\vec{a}| = 4$ , $|\vec{b}| = 2\sqrt{3}$ og vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $30\degree$ .

Det er gitt at $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$ .

Regn ut den eksakte lengden av $\vec{p}$ .

Det er gitt at $\vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b}$ , der $t \in \mathbb{R}$ .

Bestem $t$ slik at $\vec{p}$ og $\vec{q}$ blir ortogonale.

Fasit

$|\vec{p}| = 2\sqrt{13}$

$t = -\dfrac{6}{7}$

Løsningsforslag

Vi beregner $|\vec{p}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2$ :

|\vec{p}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2

Prikkproduktet er

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos 30° = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12

Dermed

|\vec{p}|^2 = 16 + 2 \cdot 12 + 12 = 52

$\underline{\underline{|\vec{p}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}}}$

$\vec{p} \perp \vec{q}$ krever $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$ :

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + \vec{b}) = t|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + t\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 16t + 12 + 12t + 12 = 28t + 24

28t + 24 = 0 \implies t = -\frac{24}{28} = -\frac{6}{7}

$\underline{\underline{t = -\dfrac{6}{7}}}$

Sensorveiledning

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: vektorer, trigonometri, skalarprodukt
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 2-6 : Grafer og dobbeltderivert

Nedenfor ser du åtte grafer.

En av grafene er grafen til en funksjon på formen $a^x$ , der $a$ er et positivt helt tall.
Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen $x^b - c$ , der $b$ og $c$ er positive hele tall.
Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor.

Åtte grafer

Sorter grafene i par.

De to grafene i hvert par skal være grafen til en funksjon og grafen til den dobbeltderiverte av funksjonen.
Det må komme tydelig fram hvilken graf som er grafen til funksjonen, og hvilken som er grafen til den dobbeltderiverte.

Husk å begrunne svarene.

Hvilke av de åtte grafene ovenfor er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon?

Fasit

Par: A–G, B–C, D–F, E–H

A, B, C og G har invers funksjon

Løsningsforslag

Vi analyserer de åtte grafene ut fra egenskapene til de fire funksjonstypene og deres andredeiverte:

Funksjon	Andredeiverte
$a^x$	$(\ln a)^2 \cdot a^x$ – samme form, alltid positiv
$x^2 - c$	$2$ – en konstant, horisontal linje
$x^3 - c$	$6x$ – lineær gjennom origo
$x^4 - c$	$12x^2$ – parabel åpnende oppover gjennom origo

Parene er:

A og G: A er eksponentielt voksende (grafen til $a^x$ , alltid positiv, konveks). G har samme form – dette er grafen til den andredeiverte $(\ln a)^2 a^x$ , som er proporsjonal med $a^x$ .
E og H: E er en parabel med bunnpunkt under $x$ -aksen, som passer med $x^2 - c$ for $c > 0$ . H er en horisontal linje, noe som stemmer med den konstanteandredeiverte $f''(x) = 2$ .
B og C: B er en S-formet kurve (stigende gjennom hele definisjonsmengden), som passer med $x^3 - c$ . C viser en rett stigende linje for $x > 0$ , noe som stemmer med den lineære andredeiverte $f''(x) = 6x$ .
D og F: D er en U-formet kurve, flatere enn en parabel nær origo, som passer med $x^4 - c$ . F er en parabel åpnende oppover med toppunkt i origo, noe som stemmer med $f''(x) = 12x^2$ .

Sammenstilling:

Par	Funksjon	Andredeiverte
1	A ( $a^x$ )	G
2	E ( $x^2 - c$ )	H
3	B ( $x^3 - c$ )	C
4	D ( $x^4 - c$ )	F

En funksjon har en invers funksjon dersom og bare dersom den er injektiv (en-til-en), dvs. strengt stigende eller strengt avtagende på hele definisjonsmengden.

A ( $a^x$ ): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
B ( $x^3 - c$ ): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
C ( $6x$ ): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
G ( $(\ln a)^2 a^x$ ): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
D ( $x^4 - c$ ): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
E ( $x^2 - c$ ): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
F ( $12x^2$ ): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
H (konstant): ikke en-til-en → har ikke invers

$\underline{\underline{\text{Grafene A, B, C og G er grafer til funksjoner med invers funksjon.}}}$

Sensorveiledning

1 poeng for hvert riktig par med begrunnelse. Oppgaven vurderes som en helhet, full uttelling krever gode begrunnelser for alle fire parene.

Tre riktige svar med begrunnelse kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: derivasjon, funksjonsdrøfting, eksponentialfunksjoner, omvendt funksjon, dobbeltderivert
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 1-1 : Derivasjon og graffortolkning

Oppgave 1-2 : Logaritmeligninger

Oppgave 1-3 : Grenseverdier

Oppgave 1-4 : Koordinater, linje og ortogonalitet

Oppgave 1-5 : Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Logistisk vekstmodell

Oppgave 2-2 : Stykkevis funksjon og deriverbarhet

Oppgave 2-3 : Luktintensitet og logaritmisk modell

Oppgave 2-4 : Parameterframstilling og møtepunkt

Oppgave 2-5 : Vektorer, lengde og ortogonalitet

Oppgave 2-6 : Grafer og dobbeltderivert