• Ett nullpunkt → grafen «toucher» akkurat $x$-aksen og diskriminanten $b^{2}-4ac$ må være 0.
• Grafen skal skjære i $(0,9)$ → $a$ må være positiv og $f(0)=9$

Vi setter opp det generelle uttrykket.

$$f(x)=ax^{2}+bx+c$$

Siden diskriminanten må være null kan vi utnytte at $b^{2}=4ac$ og forenkle. Vi er kun ute etter en mulig løsning her, så jeg bruker kvadratroten slik at $b=\sqrt{ 4ac }$

$$f(x)=ax^{2}+\sqrt{ 4ac }x+c$$

Vi utnytter at $f(0)=9$ som gir oss

$$a \cdot 0^{2}+ \sqrt{ 4ac } \cdot 0+c=9 \implies \underline{c=9}$$

Vi har altså

$$f(x)=ax^{2}+\sqrt{ 4a \cdot9 }x +9=ax^{2}+\sqrt{ 36a }x+9=ax^{2}+6\sqrt{ a }x+9$$

Den enkleste løsningen her vil være $a=1$ slik at funksjonen vår blir:

$$\underline{\underline{ f(x)=x^{2}+6x+9 }}$$