Vi leser av egenskapene til grafene og setter opp funksjonsuttrykk som passer.

Funksjonen $f$

Grafen til $f$ har følgende egenskaper:

• To vertikale asymptoter ved $x = -1$ og $x = 1$
• Horisontal asymptote $y = 0$
• Positiv $y$-skjæring ($f(0) > 0$)
• Nullpunkt mellom $0$ og $1$ (ca. $x = 0{,}4$)

Siden $f$ har vertikale asymptoter ved $x = -1$ og $x = 1$, må nevneren ha nullpunkter nettopp der. En naturlig nevner er

$$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$$

Telleren må gi nullpunkt nær $x = 0{,}4$. Et lineært uttrykk $5x - 2$ har nullpunkt i $x = \tfrac{2}{5}$, som passer godt. Da blir

$$f(x) = \frac{5x - 2}{x^2 - 1}$$

Vi verifiserer:

• Vertikale asymptoter: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ ✓
• Nullpunkt: $5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{5}$ ✓
• $y$-skjæring: $f(0) = \dfrac{-2}{-1} = 2 > 0$ ✓
• Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5x - 2}{x^2 - 1} = 0$ ✓

Funksjonen $g$

Grafen til $g$ har følgende egenskaper:

• Ingen vertikale asymptoter
• Horisontal asymptote $y = 0$
• Negativ $y$-skjæring og samme type teller som $f$ (lik nullpunkt og y-skjæring i tallverdi før fortegn)
• Lokalt minimum like til venstre for $y$-aksen, lokalt maksimum til høyre

Siden $g$ ikke har vertikale asymptoter, må nevneren aldri bli null. Vi beholder samme teller som i $f$ og bytter nevner til $x^2 + 1$ (alltid positiv):

$$g(x) = \frac{5x - 2}{x^2 + 1}$$

Vi verifiserer:

• Ingen vertikale asymptoter: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ for alle $x$ ✓
• Nullpunkt: $5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{5}$ ✓
• $y$-skjæring: $g(0) = \dfrac{-2}{1} = -2$ ✓
• Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5x - 2}{x^2 + 1} = 0$ ✓

Grafene er tegnet i GeoGebra (blå = $f$, rød = $g$) og samsvarer med originalfigurene: