Sylinderboks med minst overflate

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

et volum $V$ på $450 \mathrm{~cm^3}$
minst mulig overflate $O$

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen

V = \pi \cdot r^2 \cdot h

Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4			450
6			450
8			450

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.

Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?

Fasit

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

$O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}$

$\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}$ , $\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Isabel har gitt at $V = 450 \, \mathrm{cm}^3$ . Hun løser volumformelen for $h$ :

h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{450}{\pi r^2}

Deretter settes $h$ inn i overflateformelen:

O = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r}

Vi beregner $h$ og $O$ for hver radiusverdi i GeoGebra CAS (se utklipp):

GeoGebra CAS: tabellverdier for h og O

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

Vi setter $h = \dfrac{450}{\pi r^2}$ inn i formelen for overflaten:

O(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r}

Grafen under viser $O(r)$ for $r > 0$ med bunnpunktet markert:

Graf av O(r) med markert minimum

Vi finner minimumet ved å derivere $O(r)$ og sette $O'(r) = 0$ :

O'(r) = 2\pi r - \frac{900}{r^2}

Vi setter $O'(r) = 0$ :

2\pi r = \frac{900}{r^2} \implies r^3 = \frac{450}{\pi}

GeoGebra CAS gir $r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}$ (se utklipp over).

Høyden blir da:

h = \frac{450}{\pi \cdot 5{,}23^2} \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}

Vi merker oss at $h = r$ ved minimumet — boksen er like høy som den er bred.

Minste overflate:

O(5{,}23) = \pi \cdot 5{,}23^2 + \frac{900}{5{,}23} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2

Isabel bør velge radius $\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}$ . Da blir overflaten minst mulig, $\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som ikke viser hvordan svarene framkommer, får høyst 1 poeng.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og 1 poeng for en riktig grafisk framstilling som kommuniserer godt. Funksjonsuttrykk og grafiske framstillinger som ikke er riktige, gir ingen uttelling.

I utgangspunktet gis ett poeng for hvert riktig svar som er gjort rede for. Følgefeil kan gi uttelling, dersom svarene som framkommer er rimelige ut fra situasjonen i oppgaven og tabellen i oppgave a).

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2025, del 2, oppgave 5
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Volum, Funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Sylinderboks med minst overflate

Sync på tvers av enheter

Sylinderboks med minst overflate

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave