1T Vår 2026

Vi løser likningssystemet ved innsetting. Fra den andre likningen isolerer vi $y$:

Vi setter dette inn i den første likningen:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi leter etter to tall med produkt $-6$ og sum $1$: det er $3$ og $-2$.

Dette gir

Vi finner tilhørende $y$-verdier ved å bruke $y = x - 2$:

• $x = -3$: $y = -3 - 2 = -5$
• $x = 2$: $y = 2 - 2 = 0$

Løsningene er $\mathbf{\underline{\underline{x = -3,\ y = -5}}}$ og $\mathbf{\underline{\underline{x = 2,\ y = 0}}}$.

Vi tegner de to grafene i samme koordinatsystem:

• $y = -x^2 + 4$ (parabel)
• $y = x - 2$ (rett linje, omskrevet fra $x - y = 2$)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-5, 4, 400)
y_parabel = -x**2 + 4
y_linje = x - 2

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 6))
ax.plot(x, y_parabel, color='steelblue', linewidth=2.5, label=r'$y = -x^2 + 4$')
ax.plot(x, y_linje, color='tomato', linewidth=2.5, label=r'$y = x - 2$')

for p, label, xytext in [
    ((-3, -5), r'$(-3,\ -5)$', (-4.5, -3.5)),
    ((2, 0),   r'$(2,\ 0)$',   (2.3, 1.2)),
]:
    ax.plot(*p, 'ko', markersize=8, zorder=5)
    ax.annotate(label, xy=p, xytext=xytext, fontsize=11,
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black'))

ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.set_xlim(-5, 4); ax.set_ylim(-8, 6)
ax.legend(fontsize=11, loc='upper right')
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)
plt.tight_layout()
plt.savefig('_resources/1t-v26-1-2.png', dpi=150)

Grafene skjærer hverandre i punktene $\mathbf{\underline{\underline{(-3,\ {-5})}}}$ og $\mathbf{\underline{\underline{(2,\ 0)}}}$.

Mønsteret viser at tall nummer $n$ er gitt ved $(n-1) \cdot n + 1$.

Vi setter inn $n = 8$:

Tall nummer 8 i tallfølgen er $\underline{\underline{57}}$.

Fra mønsteret ser vi at tall nummer $n$ er

Dette kan også skrives som

Den likebeinte trekanten i oppgaven har toppvinkel $30°$ og de to like sidene har lengde $4$.

Vi speiler trekanten om én av de like sidene og setter de to trekantene sammen til én stor trekant. Den store trekanten har tre vinkler på $60°$ og alle tre sidene er $4$, altså er den likebeint.

Vi trekker nå høyden fra toppen ned til grunnflaten i den likesidede trekanten. Høyden deler trekanten i to like rettvinklede trekanter. Hver av disse rettvinklede trekantene har:

• Hypotenuse: $4$ (en side av den likesidede trekanten)
• Kortkatet: $\dfrac{4}{2} = 2$ (halve grunnflaten)
• Vinkel mot hypotenuse ved grunnflaten: $60°$
• Vinkel mot hypotenuse ved toppen: $30°$

I den rettvinklede trekanten kan vi nå lese av:

For å finne lengstkateten $h$ (høyden) bruker vi Pytagoras:

Dermed er:

Trekanten har to sider på $10\sqrt{3}$ og $4$ med $30°$ mellom dem. Vi bruker arealsetningen:

Vi setter inn $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$:

Arealet er $\underline{\underline{10\sqrt{3}}}$.

La $x$ være den ukjente siden (motstående $30°$-vinkelen). Vi bruker cosinussetningen:

Vi setter inn $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$:

Omkretsen er:

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon $f$ som har ingen nullpunkter og to vertikale asymptoter.

Idé: En rasjonal funksjon $\frac{p(x)}{q(x)}$ har

• nullpunkter der telleren $p(x) = 0$
• vertikale asymptoter der nevneren $q(x) = 0$ (og telleren ikke er 0)

Vi velger telleren til å være konstanten $1$, som aldri blir null. Da får vi ingen nullpunkter uansett hva som skjer i nevneren.

For å få to vertikale asymptoter trenger vi at nevneren har to ulike reelle nullpunkter. Vi velger

som har nullpunktene $x = 1$ og $x = -1$.

Vi setter

Argumentasjon:

• Ingen nullpunkter: Telleren er $1 \neq 0$ for alle $x$, så $f(x) = 0$ har ingen løsning.
• To vertikale asymptoter: Nevneren $x^2 - 1 = 0$ gir $x = 1$ og $x = -1$. I disse punktene er $f$ udefinert og $|f(x)| \to \infty$. Dermed er $\textcolor{tomato}{x = 1}$ og $\textcolor{tomato}{x = -1}$ vertikale asymptoter.

$f$ er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: $\underline{\underline{f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}}}$

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon $g$ med horisontal asymptote $y = 2$ som ikke skjærer $y$-aksen.

Horisontal asymptote: En rasjonal funksjon $\frac{p(x)}{q(x)}$ der teller og nevner har samme grad, har horisontal asymptote $y = \frac{a}{b}$, der $a$ er ledende koeffisient i telleren og $b$ er ledende koeffisient i nevneren.

Vi velger teller og nevner av grad 1:

Her er ledende koeffisient i telleren $2$, og ledende koeffisient i nevneren $1$.

Argumentasjon:

• Horisontal asymptote $y = 2$: Vi skriver om:

Når $x \to \pm\infty$ går $\frac{1}{x} \to 0$, og dermed $g(x) \to 2$. Den horisontale asymptoten er $\textcolor{seagreen}{y = 2}$.

• Skjærer ikke $y$-aksen: $g(0) = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0} = \frac{-1}{0}$ er udefinert. Dermed er $g$ ikke definert for $x = 0$, og grafen skjærer ikke $y$-aksen. ($x = 0$ er en vertikal asymptote.)

$g$ er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: $\underline{\underline{g(x) = \dfrac{2x-1}{x}}}$

Den deriverte $f'(a)$ er definert som stigningstallet til tangenten til grafen av $f$ i punktet $x = a$.

Vi er gitt at tangentens stigningstall i $x = 4$ er $5$.

Derfor er $\mathbf{f'(4) = 5}$.

Siden $f$ er en andregradsfunksjon, er $f'(x)$ en lineær funksjon (førstegradsfunksjon) på formen

Vi trenger to verdier for å bestemme $a$ og $b$.

Første verdi: bunnpunktet

I bunnpunktet er tangenten horisontal, slik at stigningstallet er $0$. Bunnpunktet har $x$-koordinat $-1$, så:

Andre verdi: fra deloppgave a)

Finn stigningstallet $a$:

Finn konstantleddet $b$:

Vi bruker $f'(-1) = 0$:

Kontroll: $f'(4) = 1 \cdot 4 + 1 = 5$ ✓

Vi setter inn $x = 50$ i uttrykket for $U(x)$:

Bilen slipper ut $176{,}5$ gram CO₂ per kilometer ved $50 \, \mathrm{km/h}$.

Vi finner minimum ved å derivere $U(x)$ og sette den deriverte lik null.

Vi setter $U'(x) = 0$:

Fra grafen ser vi at $U(x)$ har et bunnpunkt (minimum) ved $x \approx 71{,}5$, som stemmer med utregningen.

Vi regner ut utslippet ved denne farten:

Minst utslipp per kilometer er $163{,}4 \, \mathrm{g/km}$, og oppnås ved fart $\approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}$.

Vi setter inn $x = 90$ og finner utslippet per kilometer:

Fru Hansen kjører i $20$ minutter med fart $90 \, \mathrm{km/h}$. Vi finner strekningen:

Totalt CO₂-utslipp over de $30 \, \mathrm{km}$:

Bilen slipper ut omtrent $5098$ gram ($5{,}1 \, \mathrm{kg}$) CO₂ i løpet av disse $20$ minuttene.

I trekant $ABC$ kjenner vi to sider og den mellomliggende vinkelen:

• $AC = \sqrt{2}$
• $CB = 1$
• $\angle ACB = 105°$

Vi bruker derfor cosinussetningen for å finne $AB$:

Numerisk:

import math
AB_sq = 2 + 1 - 2*math.sqrt(2)*math.cos(math.radians(105))
print(AB_sq, math.sqrt(AB_sq))
# 3.7320508..., 1.9318516...

Vi får $AB^2 \approx 3{,}732$, så

(Den eksakte verdien $2+\sqrt{3}$ kommer fra $\cos 105° = -\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, som gir $AB^2 = 3 + \tfrac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} = 3 + \tfrac{\sqrt{12}-2}{2} = 2 + \sqrt{3}$.)

$\underline{\underline{AB \approx 1{,}93}}$

Vi deler trekant $ABD$ i de to deltrekanene $ABC$ og $ACD$, og beregner arealet av hver.

Areal av trekant $ABC$:

Finn $CD$ ved sinussetningen i trekant $ACD$:

Siden $\angle ACB = 105°$ er $\angle ACD = 180° - 105° = 75°$ (supplementvinkler). I trekant $ACD$ er $\angle D = 60°$, $\angle ACD = 75°$, og dermed $\angle CAD = 180° - 60° - 75° = 45°$.

Sinussetningen i trekant $ACD$ gir

Areal av trekant $ACD$:

Vi bruker $\sin 75° = \sin(45°+30°) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$:

Totalt areal:

Felles nevner 12:

$\underline{\underline{T_{ABD} = \dfrac{5\sqrt{3}+9}{12} \approx 1{,}47}}$

Vi bruker de to datapunktene $(0, 9000)$ og $(9, 2500)$.

En lineær modell har formen $f(x) = ax + b$.

Siden $x = 0$ svarer til år 2013 og bestanden da var 9000, får vi direkte

Stigningstallet finner vi ved

Den lineære modellen er

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen synker bestanden med omtrent $\mathbf{722}$ par per år. Modellen predikerer at bestanden faller til null rundt $x \approx 12{,}5$, dvs. rundt år 2025–2026.

En eksponentiell modell har formen $g(x) = 9000 \cdot b^x$ (startverdi 9000 ved $x = 0$).

Vi bruker punktet $(9, 2500)$:

Den eksponentielle modellen er

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen avtar bestanden med ca. $\mathbf{13{,}3\,\%}$ per år (siden $b \approx 0{,}867$ betyr $1 - 0{,}867 = 0{,}133 = 13{,}3\,\%$ nedgang). Bestanden nærmer seg null, men når aldri null.

Egils antakelse: Egil antar at bestanden ikke vil falle til null, men stabilisere seg på 2000 par. Modell $q$ har derfor en horisontal asymptote ved $y = 2000$.

Konstruksjon av $p$:

Egil lager først modellen $p$ ved å trekke fra 2000 fra alle bestandsverdier – han ser på den «overskytende» bestanden utover 2000 par:

• Ved $x = 0$: $9000 - 2000 = 7000$
• Ved $x = 9$: $2500 - 2000 = 500$

Modellen $p$ er eksponentiell med startverdi 7000:

Vi finner $c$ fra punktet $(9, 500)$: