Guri påstår at $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)(x - 2)$.

For å kontrollere dette kan hun dele på én av faktorene og sjekke at resten blir $0$ og kvotienten er den andre faktoren. To naturlige valg er:

• Divisjon 1: dele på den enkle faktoren $(x - 2)$
• Divisjon 2: dele på den kvadratiske faktoren $(2x^2 + 7x + 3)$

Divisjon 1: $(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (x - 2)$

\begin{array}{r} 2x^2 + 7x + 3 \\[-2pt] \hline x - 2 \;\right)\; 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ \underline{-(2x^3 - 4x^2)} \\ 7x^2 - 11x - 6 \\ \underline{-(7x^2 - 14x)} \\ 3x - 6 \\ \underline{-(3x - 6)} \\ 0 \end{array}

Steg for steg:

• $2x^3 : x = 2x^2$, og $2x^2 \cdot (x - 2) = 2x^3 - 4x^2$. Rest: $7x^2 - 11x - 6$
• $7x^2 : x = 7x$, og $7x \cdot (x - 2) = 7x^2 - 14x$. Rest: $3x - 6$
• $3x : x = 3$, og $3 \cdot (x - 2) = 3x - 6$. Rest: $0$

Kvotienten er $2x^2 + 7x + 3$ og resten er $0$.

Siden resten er $0$, er $(x - 2)$ en faktor i $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$, og vi får

$$2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (x - 2)(2x^2 + 7x + 3)$$

Dette viser at faktoriseringen er riktig.

Divisjon 2: $(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (2x^2 + 7x + 3)$

\begin{array}{r} x - 2 \\[-2pt] \hline 2x^2 + 7x + 3 \;\right)\; 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ \underline{-(2x^3 + 7x^2 + 3x)} \\ -4x^2 - 14x - 6 \\ \underline{-(-4x^2 - 14x - 6)} \\ 0 \end{array}

Steg for steg:

• $2x^3 : 2x^2 = x$, og $x \cdot (2x^2 + 7x + 3) = 2x^3 + 7x^2 + 3x$. Rest: $-4x^2 - 14x - 6$
• $-4x^2 : 2x^2 = -2$, og $-2 \cdot (2x^2 + 7x + 3) = -4x^2 - 14x - 6$. Rest: $0$

Kvotienten er $x - 2$ og resten er $0$.

Siden resten er $0$, er $(2x^2 + 7x + 3)$ en faktor i $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$, og vi får

$$2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)(x - 2)$$

Dette viser at faktoriseringen er riktig.