Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf

Figuren viser grafen til en funksjon $f$ .

Graf til f med nullpunkter (−3, 0) og (4, 0) og toppunkt (0, 24)

Bestem $f(x)$

Løs ulikheten $f(x) > 12$

Fasit

$\underline{\underline{f(x) = -2x^2 + 2x + 24}}$

$\underline{\underline{-2 < x < 3}}$

LøsningsforslagKI-generert

Fra grafen leser vi av at $f$ har nullpunkter i $x = -3$ og $x = 4$ , og at $f(0) = 24$ .

Vi skriver $f$ på nullpunktform:

f(x) = a(x + 3)(x - 4)

Vi bruker at $f(0) = 24$ for å bestemme $a$ :

f(0) = a \cdot (0 + 3)(0 - 4) = -12a = 24 \implies a = -2

Dermed er

f(x) = -2(x+3)(x-4) = \mathbf{-2x^2 + 2x + 24}

Vi løser $f(x) > 12$ :

-2x^2 + 2x + 24 > 12

-2x^2 + 2x + 12 > 0

Deler begge sider på $-2$ (snur ulikheten):

x^2 - x - 6 < 0

Faktoriserer venstresiden:

x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Produktet $(x-3)(x+2) < 0$ når de to faktorene har motsatt fortegn. Vi setter opp fortegnsskjema:

	$x < -2$	$x = -2$	$-2 < x < 3$	$x = 3$	$x > 3$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
Produkt	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Produktet er negativt for $\mathbf{-2 < x < 3}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Et delvis riktig uttrykk kan gi noe uttelling.

2 poeng

En riktig grafisk løsning som er argumentert for, kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2024, del 1, oppgave 5
Poeng: 4
Temaer: andregradslikninger, funksjoner
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing