1T Høst 2024

I enhetssirkelen er $\cos v$ lik $x$-koordinaten og $\sin v$ lik $y$-koordinaten til punktet på sirkelen. Tangensen er definert som

For $v = 50\degree$ gir punktet $P(0{,}64,\ 0{,}77)$ at

Siden $y$-koordinaten $0{,}77$ er større enn $x$-koordinaten $0{,}64$, blir forholdet større enn $1$.

Ja, $\tan 50\degree > 1$.

Vinkelen $130\degree$ ligger i andre kvadrant. Her er $x$-koordinaten negativ og $y$-koordinaten positiv. Vi kan bruke symmetri i enhetssirkelen: $130\degree = 180\degree - 50\degree$, og punktet på sirkelen ved $130\degree$ har koordinater $(-0{,}64,\ 0{,}77)$.

Fordi $x$-koordinaten er negativ og $y$-koordinaten er positiv, er forholdet $y/x$ negativt.

Nei, $\tan 130\degree < 0$.

Vi skal finne antall abonnenter på papirutgaven i 2010, som tilsvarer $x = 0$.

Metode 1 – direkte innsetting:

Metode 2 – tolke modellen:

I uttrykket $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ er leddet $3600 \cdot 0{,}85^x$ en eksponentialfunksjon som starter i $3600$ når $x = 0$. Konstanten $600$ er horisontal asymptote. Startverdien er dermed $3600 + 600 = 4200$.

I 2010 abonnerte $\underline{\underline{4200}}$ personer på papirutgaven.

Stigningstallet til sekanten gjennom $(4,\ P(4))$ og $(14,\ P(14))$ er den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[4, 14]$.

Vi beregner funksjonsverdiene:

Stigningstallet (gjennomsnittlig vekstfart):

Sekantlinjen er $\textcolor{tomato}{sek(x) = -150{,}93x + 3082{,}92}$ (vist i oransje på grafen, med punktene $A = (4,\ 2479{,}22)$ og $B = (14,\ 969{,}97)$).

Praktisk tolkning: Fra 2014 til 2024 mistet papirutgaven i gjennomsnitt ca. 151 abonnenter per år.

Den momentane vekstfarten er den deriverte $P'(x)$.

Siden $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ er en eksponentialfunksjon, bruker vi at $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$:

CAS bekrefter (se utklipp fra GeoGebra CAS):

Ved $x = 10$:

Praktisk tolkning: I 2020 ($x = 10$) falt antall papir­abonnenter med ca. 115 per år momentant.

Vi setter opp modellen for digitale abonnenter. I 2019 ($x = 9$) var det 1000 digitale abonnenter, og antallet økte med 5,5 % per år:

Vi sjekker heltallsverdiene rundt der de to grafene krysser hverandre (synlig på grafen ca. ved $x \approx 11{,}7$):

I 2021 var det fortsatt flere papir­abonnenter enn digitale. I 2022 oversteg digitale abonnenter papir­abonnenter for første gang.

$\underline{\underline{2022}}$ var første år da flere abonnerte digitalt enn på papir.

Vi lager en funksjon fakultet(n) som starter med $f = 1$ og multipliserer med hvert tall fra 1 til og med $n$ i en løkke:

def fakultet(n):
    f = 1
    for i in range(1, n + 1):
        f = f * i
    return f

print(fakultet(5))   # 120
print(fakultet(10))  # 3628800
print(fakultet(15))  # 1307674368000

Programmet gir

En sluttende null oppstår fordi $10 = 2 \cdot 5$. Antall sluttende nuller i $100!$ er derfor lik antall ganger vi kan skrive $10$ som en faktor i produktet $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100$, det vil si $\min(\text{antall faktorer 2},\ \text{antall faktorer 5})$.

Faktorer 2 forekommer langt oftere enn faktorer 5 (hvert partall bidrar med minst én faktor 2), så det avgjørende er antall faktorer 5.

Vi teller faktorer 5 i $100!$ ved å se hvilke tall som bidrar:

• Multipler av $5$ (gir minst én faktor 5 hver): $\left\lfloor \dfrac{100}{5} \right\rfloor = 20$ stykker.
• Multipler av $25 = 5^2$ (gir én ekstra faktor 5 hver): $\left\lfloor \dfrac{100}{25} \right\rfloor = 4$ stykker.
• Multipler av $125 = 5^3$: $\left\lfloor \dfrac{100}{125} \right\rfloor = 0$ stykker.

Totalt antall faktorer 5:

Siden det er minst 24 faktorer 2 (faktisk mange flere), kan vi danne nøyaktig $24$ par $(2 \cdot 5) = 10$.

$100!$ har derfor $\underline{\underline{24}}$ sluttende nuller.

Vi deler firkanten $ABCD$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $AC$.

Trekant $ABC$ — finn $\angle B$ med cosinussetningen:

Vi kjenner alle tre sidene $AB = 8{,}0$, $BC = 10{,}0$ og $AC = 16{,}4$, og bruker cosinussetningen til å finne $\angle ABC$:

Areal av $\triangle ABC$ med arealsetningen:

Trekant $ACD$ — finn $\angle D$ med cosinussetningen:

Vi kjenner $AD = 6{,}0$, $DC = 12{,}0$ og $AC = 16{,}4$:

Areal av $\triangle ACD$ med arealsetningen:

Totalt areal:

Vi deler firkanten $ABCD$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $BD$.

Trekant $ABD$ — finn $BD$ med sinussetningen:

Vinklene i $\triangle ABD$ er $\angle A = 62{,}5\degree$, $\angle ABD = 45{,}5\degree$, og dermed:

Vi bruker sinussetningen med den kjente siden $AB = 8{,}0$:

Areal av $\triangle ABD$ med arealsetningen:

Trekant $BCD$ — finn $\angle BDC$:

Vinklene er $\angle C = 38{,}3\degree$, $\angle CBD = 85{,}5\degree$, og dermed:

Areal av $\triangle BCD$ med arealsetningen:

Totalt areal:

Vi setter $x = 8$:

Arealet av rektangelet:

Arealet av to likebeinte rettvinklede trekanter med kateter $x$:

Totalt areal:

Vi beregner $A(x) = 50x - x^2(1+\sqrt{2})$ for ulike verdier av $x$:

Av tabellen ser vi at arealet er størst rundt $x \approx 10$ m.

En likebeint rettvinklet trekant med kateter $x$ har areal $\frac{x^2}{2}$. To slike trekanter gir samlet areal $x^2$.

Med bibetingelsen $y = 50 - 2x - x\sqrt{2}$ blir det totale arealet:

Vi bruker CAS til å finne $A'(x)$ og løse $A'(x) = 0$:

CAS gir:

(rasjonalisert ved å gange med $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}$)

Maksimalt areal:

Siden $A'(x) > 0$ for $x < 25(\sqrt{2}-1)$ og $A'(x) < 0$ for $x > 25(\sqrt{2}-1)$, er dette et maksimum.

Grafen bekrefter resultatet:

Katetlengden $x = 25(\sqrt{2}-1) \approx 10{,}36 \, \mathrm{m}$ gir størst areal på $625(\sqrt{2}-1) \approx 258{,}9 \, \mathrm{m}^2$.

For at modellen skal gi mening må både $x > 0$ og $y > 0$:

Gyldighetsområdet er: