Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart

Funksjonen $P$ gitt ved

P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600

er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4,\ P(4))$ og $(14,\ P(14))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Bestem den momentane vekstfarten når $x = 10$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.

Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?

Fasit

$\underline{\underline{P(0) = 4200}}$ abonnenter i 2010.

Stigningstallet er $\underline{\underline{\approx -150{,}93}}$ . I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden 2014–2024.

$\underline{\underline{P'(10) \approx -115{,}18}}$ . I 2020 falt antall papirabonnenter med ca. 115 per år momentant.

$\underline{\underline{2022}}$ var første år da digitale abonnenter oversteg papirabonnenter.

LøsningsforslagKI-generert

Graf som viser P(x) (blå), D(x) (grønn) og sekantlinjen (oransje)

Vi skal finne antall abonnenter på papirutgaven i 2010, som tilsvarer $x = 0$ .

Metode 1 – direkte innsetting:

P(0) = 3600 \cdot 0{,}85^0 + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = \mathbf{\underline{\underline{4200}}}

Metode 2 – tolke modellen:

I uttrykket $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ er leddet $3600 \cdot 0{,}85^x$ en eksponentialfunksjon som starter i $3600$ når $x = 0$ . Konstanten $600$ er horisontal asymptote. Startverdien er dermed $3600 + 600 = 4200$ .

I 2010 abonnerte $\underline{\underline{4200}}$ personer på papirutgaven.

Stigningstallet til sekanten gjennom $(4,\ P(4))$ og $(14,\ P(14))$ er den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[4, 14]$ .

Vi beregner funksjonsverdiene:

P(4) = 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 \approx 2479{,}22

P(14) = 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 \approx 969{,}97

Stigningstallet (gjennomsnittlig vekstfart):

a = \frac{P(14) - P(4)}{14 - 4} = \frac{969{,}97 - 2479{,}22}{10} \approx \mathbf{\underline{\underline{-150{,}93}}}

Sekantlinjen er $\textcolor{tomato}{sek(x) = -150{,}93x + 3082{,}92}$ (vist i oransje på grafen, med punktene $A = (4,\ 2479{,}22)$ og $B = (14,\ 969{,}97)$ ).

Praktisk tolkning: Fra 2014 til 2024 mistet papirutgaven i gjennomsnitt ca. 151 abonnenter per år.

Den momentane vekstfarten er den deriverte $P'(x)$ .

Siden $P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600$ er en eksponentialfunksjon, bruker vi at $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$ :

P'(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x \cdot \ln(0{,}85)

CAS bekrefter (se utklipp fra GeoGebra CAS):

CAS-utregning av den deriverte

Ved $x = 10$ :

P'(10) = 3600 \cdot 0{,}85^{10} \cdot \ln(0{,}85) \approx \mathbf{\underline{\underline{-115{,}18}}}

Praktisk tolkning: I 2020 ( $x = 10$ ) falt antall papirabonnenter med ca. 115 per år momentant.

Vi setter opp modellen for digitale abonnenter. I 2019 ( $x = 9$ ) var det 1000 digitale abonnenter, og antallet økte med 5,5 % per år:

D(x) = 1000 \cdot 1{,}055^{x-9}

Vi sjekker heltallsverdiene rundt der de to grafene krysser hverandre (synlig på grafen ca. ved $x \approx 11{,}7$ ):

$x$	År	$P(x)$	$D(x)$	$D > P$ ?
11	2021	$\approx 1202$	$\approx 1113$	Nei
12	2022	$\approx 1112$	$\approx 1174$	Ja

I 2021 var det fortsatt flere papirabonnenter enn digitale. I 2022 oversteg digitale abonnenter papirabonnenter for første gang.

$\underline{\underline{2022}}$ var første år da flere abonnerte digitalt enn på papir.

Sensorveiledning

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver framgangsmåte som fører fram til riktig svar.

4 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet.

For å få uttelling for praktisk tolkning av stigningstallet, må det gå tydelig fram at det er gjennomsnittlig nedgang i abonnenter per år.

4 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig momentan vekstfart og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning.

En kandidat som regner med 1000 abonnenter i 2010, kan få 1 poeng.

En kandidat som regner ut verdier år for år og konkluderer riktig, får full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2024, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: eksponentialfunksjoner, stigningstall, gjennomsnittlig vekstfart, derivasjon, geometrisk vekst
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar