Areal av firkant ABCD med trigonometri

Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor.

Firkant ABCD med AB = 8{,}0 og DC = 12{,}0

Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.

Gruppen til Isabel har fått vite at $AD = 6{,}0$ , $BC = 10{,}0$ og at diagonalen $AC = 16{,}4$ .

Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Gruppen til Anniken har fått vite at $\angle A = 62{,}5\degree$ , $\angle C = 38{,}3\degree$ , $\angle ABD = 45{,}5\degree$ og $\angle CBD = 85{,}5\degree$ .

Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Fasit

$\underline{\underline{\text{Areal} \approx 58{,}5 \, \mathrm{m}^2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Utregningene er gjort i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS-utregning for begge deloppgavene

Vi deler firkanten $ABCD$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $AC$ .

Trekant $ABC$ — finn $\angle B$ med cosinussetningen:

Vi kjenner alle tre sidene $AB = 8{,}0$ , $BC = 10{,}0$ og $AC = 16{,}4$ , og bruker cosinussetningen til å finne $\angle ABC$ :

\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{64 + 100 - 268{,}96}{160} \approx -0{,}656

\angle B \approx 131{,}0\degree

Areal av $\triangle ABC$ med arealsetningen:

T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 8{,}0 \cdot 10{,}0 \cdot \sin(131{,}0\degree) \approx 30{,}2

Trekant $ACD$ — finn $\angle D$ med cosinussetningen:

Vi kjenner $AD = 6{,}0$ , $DC = 12{,}0$ og $AC = 16{,}4$ :

\cos(\angle D) = \frac{AD^2 + DC^2 - AC^2}{2 \cdot AD \cdot DC} = \frac{36 + 144 - 268{,}96}{144} \approx -0{,}618

\angle D \approx 128{,}2\degree

Areal av $\triangle ACD$ med arealsetningen:

T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin(\angle D) = \frac{1}{2} \cdot 6{,}0 \cdot 12{,}0 \cdot \sin(128{,}2\degree) \approx 28{,}3

Totalt areal:

T_{ABCD} = T_{ABC} + T_{ACD} \approx 30{,}2 + 28{,}3 \approx \underline{\underline{58{,}5 \, \mathrm{m}^2}}

Vi deler firkanten $ABCD$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $BD$ .

Trekant $ABD$ — finn $BD$ med sinussetningen:

Vinklene i $\triangle ABD$ er $\angle A = 62{,}5\degree$ , $\angle ABD = 45{,}5\degree$ , og dermed:

\angle ADB = 180\degree - 62{,}5\degree - 45{,}5\degree = 72{,}0\degree

Vi bruker sinussetningen med den kjente siden $AB = 8{,}0$ :

\frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} \implies BD = \frac{8{,}0 \cdot \sin(62{,}5\degree)}{\sin(72{,}0\degree)} \approx 7{,}46

Areal av $\triangle ABD$ med arealsetningen:

T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \cdot 8{,}0 \cdot 7{,}46 \cdot \sin(45{,}5\degree) \approx 21{,}3

Trekant $BCD$ — finn $\angle BDC$ :

Vinklene er $\angle C = 38{,}3\degree$ , $\angle CBD = 85{,}5\degree$ , og dermed:

\angle BDC = 180\degree - 38{,}3\degree - 85{,}5\degree = 56{,}2\degree

Areal av $\triangle BCD$ med arealsetningen:

T_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC) = \frac{1}{2} \cdot 7{,}46 \cdot 12{,}0 \cdot \sin(56{,}2\degree) \approx 37{,}2

Totalt areal:

T_{ABCD} = T_{ABD} + T_{BCD} \approx 21{,}3 + 37{,}2 \approx \underline{\underline{58{,}5 \, \mathrm{m}^2}}

Sensorveiledning

En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker flere opplysninger enn gruppa til Isabel har tilgang til, får ingen uttelling.

4 poeng

En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker flere opplysninger enn gruppa til Anniken har tilgang til, får ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2024, del 2, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: trigonometri, areal, cosinussetningen, arealsetningen
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga