1T Høst 2021

1T Høst 2021 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 5 oppgaver · 12 poeng
1	Parallell linje gjennom gitt punkt	KI
2	AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C	KI
3	Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon	KI
4	Vis at likningssystem ikke har løsning	KI
5	Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 8 oppgaver · 48 poeng
1	Skisalg med tredjegradsmodell	KI
2	Dyrebestand lineær og eksponentiell modell	KI
3	Likningssystem uten løsning bestem s	KI
4	Monica og Sissel aldersoppgave	KI
5	Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a	KI
6	Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB	KI
7	Stabling av erteboksbokser i to mønstre	KI
8	Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	KI

Oppgave 1-1 : Parallell linje gjennom gitt punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likningen for en linje $l$ er gitt ved $y=-2x+9$ . En annen linje $m$ er parallell med linjen $l$ og går gjennom punktet $(5,-6)$ .

Bestem likningen for linjen $m$ .

LøsningsforslagKI-generert

Parallelle linjer har samme stigningstall. Siden $l$ har likningen $y = -2x + 9$ , er stigningstallet $a = -2$ .

Linje $m$ har altså formen

y = -2x + b

Vi finner $b$ ved å sette inn at $m$ går gjennom punktet $(5,\,-6)$ :

-6 = -2 \cdot 5 + b

-6 = -10 + b

b = 4

Likningen for linjen $m$ er $\underline{\underline{y = -2x + 4}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Lineære funksjoner, Geometri
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar, setje opp formlar og utforske desse ved hjelp av digitale verktøy

Oppgave 1-2 : AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at

$\cos\angle A=\frac{1}{2}$
$\sin\angle C=\frac{1}{2}$
$AB=4$

Bestem $AC$ .

LøsningsforslagKI-generert

Fra $\cos\angle A = \dfrac{1}{2}$ leser vi av at $\angle A = 60°$ .

Fra $\sin\angle C = \dfrac{1}{2}$ leser vi av at $\angle C = 30°$ .

Vinkelsummen i trekanten er $180°$ , og

\angle B = 180° - 60° - 30° = 90°

Trekanten er altså rettvinklet i $B$ , med hypotenus $AC$ og katet $AB = 4$ .

For vinkel $A$ i en rettvinklet trekant er cosinus lik forholdet mellom nærliggende katet og hypotenusen:

\cos\angle A = \frac{AB}{AC}

\frac{1}{2} = \frac{4}{AC}

AC = 4 \cdot 2 = \mathbf{\underline{\underline{8}}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Rettvinklet trekant, Eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar

Oppgave 1-3 : Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

x^3+2x^2-7x+4=0

Fasit

$x = 1$ (dobbeltrot) og $\underline{\underline{x = -4}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi prøver heltall som er faktorer av konstantleddet $4$ , altså $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ .

Prøver $x = 1$ :

1^3 + 2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 4 = 1 + 2 - 7 + 4 = 0 \checkmark

Siden $x = 1$ er et nullpunkt, er $(x - 1)$ en faktor. Vi polynomdividerer:

\frac{x^3 + 2x^2 - 7x + 4}{x - 1}

\begin{array}{r} x^3 + 2x^2 - 7x + 4 : (x-1) = x^2 + 3x - 4 \\ -(x^3 - x^2) \\ \hline 3x^2 - 7x + 4 \\ -(3x^2 - 3x) \\ \hline -4x + 4 \\ -(-4x + 4) \\ \hline 0 \end{array}

Vi har nå:

x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = (x-1)(x^2 + 3x - 4)

Andregradslikningen $x^2 + 3x - 4 = 0$ løses med abc-formelen:

x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}

x = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{-3 - 5}{2} = -4

Samlet faktorisering:

x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = (x-1)^2(x+4)

Likningen har løsningene $\underline{\underline{x = 1}}$ (dobbeltrot) og $\underline{\underline{x = -4}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likninger, Polynomdivisjon, Faktorisering
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar

Oppgave 1-4 : Vis at likningssystem ikke har løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at likningssystemet ikke har løsning.

\begin{cases}x^2+2x-y=-1\\x+y=-2\end{cases}

Fasit

Systemet har ingen løsning fordi andregradslikningen man får etter innsetting har negativ diskriminant ( $D = -3 < 0$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser systemet ved innsetting. Fra likning 2 uttrykker vi $y$ :

x + y = -2 \implies y = -2 - x

Setter inn i likning 1:

x^2 + 2x - y = -1

x^2 + 2x - (-2 - x) = -1

x^2 + 2x + 2 + x = -1

x^2 + 3x + 3 = 0

Vi undersøker diskriminanten:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = \textcolor{tomato}{-3}

Siden $D < 0$ har andregradslikningen ingen reelle løsninger.

Dermed har likningssystemet ingen løsning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikninger, Argumentasjon
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 1-5 : Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tredjegradsfunksjon f med bunnpunkt (-2,-11), toppunkt (4,25) og tangent y=9x-2 i (1,7)

Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ . Grafen har bunnpunkt $(-2,-11)$ og toppunkt $(4,25)$ . Likningen for tangenten til grafen i punktet $(1,7)$ er $y=9x-2$ .

Skisser grafen til den deriverte funksjonen, $f'$ .

Fasit

$f'$ er en nedåpent parabel med nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$ , og toppunkt i $(1, 9)$ .

LøsningsforslagKI-generert

Siden $f$ er en tredjegradsfunksjon, er $f'$ en andregradsfunksjon — grafen til $f'$ er en parabel.

Vi leser av tre opplysninger fra oppgaveteksten:

Nullpunkter for $f'$ : Der $f$ har topp- eller bunnpunkt, er stigningstallet til $f$ lik null. Derfor er $f'(-2) = 0$ og $f'(4) = 0$ .

$f'$ har altså nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$ .

Fortegn for $f'$ : For en tredjegradsfunksjon som går fra bunnpunkt til toppunkt (slik grafen gjør fra $x=-2$ til $x=4$ ), er stigningstallet positivt mellom ekstremalpunktene. Dermed er $f'(x) > 0$ for $x \in \langle -2, 4 \rangle$ .

Parabelen er nedåpent (åpner nedover): $f'(x) < 0$ for $x < -2$ og for $x > 4$ .

Toppunktet for $f'$ : Tangentlikningen i punktet $(1, 7)$ er $y = 9x - 2$ , som har stigning $9$ . Derfor er $f'(1) = 9$ .

Vi kan bestemme $f'$ eksakt: siden $f'$ har nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$ , skriver vi

f'(x) = a(x+2)(x-4)

Betingelsen $f'(1) = 9$ gir

a(1+2)(1-4) = a \cdot 3 \cdot (-3) = -9a = 9 \implies a = -1

Altså er $f'(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8$ .

Toppunktet for $f'$ ligger ved $x = 1$ (midtpunkt mellom nullpunktene), med $f'(1) = 9$ .

Skissen av $f'$ er en nedåpent parabel som:

krysser $x$ -aksen i $x = -2$ og $x = 4$
har toppunkt i $(1, 9)$
er positiv mellom nullpunktene og negativ utenfor

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Oppgave 2-1 : Skisalg med tredjegradsmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022.

Anta at funksjonen $S$ gitt ved

S(x)=0{,}75x^3-59{,}5x^2+1200x,\quad x\in[0,52]

kan brukes som en modell for hvor mange par ski $S(x)$ butikken vil kunne selge per uke $x$ etter salgsstart.

Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5 000 par ski, ifølge modellen?

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $S$ når $x=30$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

18 uker (uke 6–23), pluss de to siste ukene 51–52 (totalt ca. 20 uker hvis $[50, 52]$ regnes med; selve grensepunktene gir nøyaktig 5 000).

$\underline{\underline{S'(30) = -345 \text{ par ski per uke}}}$ — salget minker med ca. 345 par ski per uke i uke 30.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen av $S$ og den horisontale linjen $y = 5000$ på intervallet $[0, 52]$ .

S(x) = 0{,}75x^3 - 59{,}5x^2 + 1200x, \quad x \in [0, 52]

Graf av S(x) med linja y = 5000 og skjæringspunktene A, B og C

Fra grafen leser vi av at $S(x) = 5000$ i tre punkter:

$A \approx (5{,}62,\ 5000)$
$B \approx (23{,}71,\ 5000)$
$C = (50,\ 5000)$

Grafen viser at $S(x) > 5000$ i to intervaller:

$\langle 5{,}62 ;\ 23{,}71 \rangle$ — fra uke 6 til og med uke 23, det vil si 18 hele uker.
$\langle 50 ;\ 52 \rangle$ — de to siste ukene av perioden, hvor $S(52) \approx 6968$ .

Ifølge modellen vil butikken selge mer enn 5 000 par ski i 18 uker (uke 6–23). I tillegg vil salget overstige 5 000 par i ukene 51 og 52.

Vi deriverer $S$ og setter inn $x = 30$ i GeoGebra CAS.

CAS: S'(x) = 9/4·x² - 119x + 1200, S'(30) = -345, S(30) = 2700

Fra CAS-utregningen ser vi:

S'(x) = \frac{9}{4}x^2 - 119x + 1200

S'(30) = \frac{9}{4} \cdot 900 - 119 \cdot 30 + 1200 = 2025 - 3570 + 1200 = \underline{\underline{-345}}

Praktisk tolkning: I uke 30 er $S(30) = 2700$ — butikken selger 2 700 par ski. Den momentane vekstfarten $S'(30) = -345$ betyr at salget på dette tidspunktet minker med ca. 345 par ski per uke.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Tredjegradsfunksjon, Modellering, Derivasjon, Momentan vekstfart
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-2 : Dyrebestand lineær og eksponentiell modell

En dyrebestand består i dag av 500 dyr. En forsker antar at bestanden vil doble seg i løpet av de ti neste årene.

Sett opp en modell $L(x)$ som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år, dersom vi antar at bestanden øker lineært.

Sett opp en modell $E(x)$ som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år, dersom vi antar at bestanden øker eksponentielt.

Tegn grafen til funksjonen $F$ gitt ved

F(x)=L(x)-E(x),\quad 0\le x\le 13

Bestem toppunktet på grafen til $F$ og skjæringspunktene mellom grafen til $F$ og hver av de rette linjene $x=12$ og $y=12$ .

Gi en praktisk tolkning av svarene du får.

Fasit

$\underline{\underline{L(x) = 500 + 50x}}$

$\underline{\underline{E(x) = 500 \cdot 1{,}0718^x}}$

Se graf nedenfor.

Toppunkt: $\underline{\underline{(5{,}29 \,;\, 43{,}0)}}$ . Skjæring med $x = 12$ : $\underline{\underline{(12 \,;\, -48{,}7)}}$ . Skjæring med $y = 12$ : $\underline{\underline{(0{,}84 \,;\, 12)}}$ og $\underline{\underline{(9{,}32 \,;\, 12)}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at bestanden starter med 500 dyr og øker med samme antall hvert år. Etter 10 år skal bestanden ha doblet seg til 1000 dyr, altså økt med 500 dyr.

Den årlige økningen er

\frac{500}{10} = 50 \text{ dyr/år}

Den lineære modellen blir dermed

\underline{\underline{L(x) = 500 + 50x}}

Vi vet at $E(0) = 500$ og $E(10) = 1000$ . Vi setter opp modellen $E(x) = 500 \cdot k^x$ og bruker betingelsen for dobling:

500 \cdot k^{10} = 1000

k^{10} = 2

k = 2^{\frac{1}{10}} \approx 1{,}0718

Den eksponentielle modellen blir

\underline{\underline{E(x) = 500 \cdot 1{,}0718^x}}

c og d

Vi definerer differansefunksjonen

F(x) = L(x) - E(x) = (500 + 50x) - 500 \cdot 1{,}0718^x, \quad 0 \le x \le 13

Vi tegner grafen til $F$ i GeoGebra, og bruker Extremum for toppunktet og Intersect for skjæringspunktene med $x = 12$ og $y = 12$ :

Graf av F(x) med toppunkt og skjæringspunkter

Fra figuren leser vi av:

Toppunkt: Toppunkt = (5.29, 43.04), altså $\underline{\underline{(5{,}29\,;\,43{,}0)}}$ .

Skjæring med $x = 12$ : SkjaeringVL = (12, -48.7), altså $\underline{\underline{(12\,;\,-48{,}7)}}$ .

Skjæring med $y = 12$ : SkjaeringHL1 = (0.84, 12) og SkjaeringHL2 = (9.32, 12), altså $\underline{\underline{(0{,}84\,;\,12)}}$ og $\underline{\underline{(9{,}32\,;\,12)}}$ .

Praktisk tolkning:

Toppunktet $(5{,}29\,;\,43{,}0)$ : Etter ca. 5,3 år er differansen mellom lineær og eksponentiell modell størst. Da anslår den lineære modellen ca. 43 dyr flere enn den eksponentielle. Det er altså omtrent på dette tidspunktet de to modellene avviker mest fra hverandre i den lineære modellens favør.
Skjæring med $x = 12$ i $(12\,;\,-48{,}7)$ : Etter 12 år gir den eksponentielle modellen ca. 49 dyr mer enn den lineære. Den lineære modellen anslår $L(12) = 1100$ dyr, mens den eksponentielle anslår $E(12) \approx 1149$ dyr. Den eksponentielle veksten har altså passert den lineære.
Skjæringene med $y = 12$ i $(0{,}84\,;\,12)$ og $(9{,}32\,;\,12)$ : I intervallet mellom ca. 0,84 og 9,32 år overestimerer den lineære modellen bestanden med mer enn 12 dyr sammenlignet med den eksponentielle. Utenfor dette intervallet er differansen under 12 dyr (eller negativ).

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-3 : Likningssystem uten løsning bestem s

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

\begin{cases}4x+2y=3\\s\cdot x+y=2\end{cases}

Hvilken verdi må $s$ ha for at likningssystemet ikke skal ha løsning?

LøsningsforslagKI-generert

Et likningssystem uten løsning betyr at linjene er parallelle — lik stigning, men ulikt konstantledd.

Vi skriver begge likningene på formen $y = ax + b$ ved hjelp av GeoGebra CAS:

CAS-utregning: stigning for begge linjer og løsning for s

Linje 1: $4x + 2y = 3 \implies y = -2x + \dfrac{3}{2}$

Linje 2: $sx + y = 2 \implies y = -sx + 2$

For at linjene skal være parallelle må stigningene være like:

-s = -2 \implies s = 2

Vi sjekker at linjene ikke er sammenfallende: konstantleddene er $\dfrac{3}{2} \neq 2$ ✓

$s = 2$ gir et likningssystem uten løsning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Lineære funksjoner, Geometri
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 2-4 : Monica og Sissel aldersoppgave

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I dag er Monica 72 år yngre enn Sissel. Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica.

Hvor mange år er Monica og Sissel i dag?

Fasit

Monica er $\underline{\underline{19 \text{ år}}}$ og Sissel er $\underline{\underline{91 \text{ år}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

La $M$ = Monicas alder i dag og $S$ = Sissels alder i dag.

Fra oppgaveteksten setter vi opp to likninger:

S = M + 72

S + 5 = 4(M + 5)

Vi løser likningssystemet i GeoGebra CAS:

CAS-utregning

CAS gir $M = 19$ og $S = 91$ .

Monica er $\underline{\underline{19 \text{ år}}}$ og Sissel er $\underline{\underline{91 \text{ år}}}$ i dag.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Modellering
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 2-5 : Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$Firkant ABCD med vinkler 30°, 120°, 75° og sider a, \sqrt 2\cdot a$

Gitt firkanten $ABCD$ .

Vis at $BD=\sqrt{3}\cdot a$ .

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

Bestem $a$ slik at arealet av firkanten blir lik $\sqrt{3}$ .

Fasit

$BD = \sqrt{3} \cdot a$

$\underline{\underline{O = \dfrac{4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot a}}$

$\underline{\underline{a = \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Diagonalen $BD$ deler firkanten i to trekanter: $\triangle ABD$ og $\triangle BCD$ .

Fra figuren: $AB = AD = a$ , $\angle DAB = 120°$ , $\angle ABD = 75°$ (vinkelen mellom $BD$ og $BC$ ), og $BC = \sqrt{2}\cdot a$ .

Vi bruker cosinussetningen i $\triangle ABD$ med $AB = a$ , $AD = a$ og $\angle DAB = 120°$ :

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)

BD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120°) = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3a^2

Dermed er $\underline{\underline{BD = \sqrt{3} \cdot a}}$ (siden $BD > 0$ ).

Se linje 1 i CAS-utklippet under.

Vi finner først alle sidelengder.

Side $AD$ : Bruker sinussetningen i $\triangle ABD$ . Vi kjenner $\angle DAB = 120°$ , $\angle ABD = ?$ og $\angle ADB = ?$ . Fra figuren er $\angle ADB = 30°$ , så $\angle ABD = 180° - 120° - 30° = 30°$ .

\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} \implies AD = a \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(30°)} = a

Se linje 2 i CAS-utklippet.

Side $CD$ : Bruker cosinussetningen i $\triangle BCD$ med $BD = \sqrt{3}\,a$ , $BC = \sqrt{2}\,a$ og $\angle DBC = 75°$ :

CD^2 = BD^2 + BC^2 - 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos(75°) = 3a^2 + 2a^2 - 2\sqrt{6}\,a^2 \cdot \cos(75°)

GeoGebra CAS forenkler dette til $CD^2 = (\sqrt{3}+2)\,a^2$ , altså:

CD = \sqrt{\sqrt{3}+2}\cdot a = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\cdot a

(Se linje 3 i CAS-utklippet — $\sqrt{\sqrt{3}+2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ .)

Omkretsen er summen av alle fire sider:

O = AB + BC + CD + DA = a + \sqrt{2}\,a + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\,a + a

CAS forenkler dette til (linje 4):

\boxed{O = \frac{4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot a}

Vi deler firkanten i $\triangle ABD$ og $\triangle BCD$ og bruker arealsetningen på begge.

Areal av $\triangle ABD$ (linje 5 i CAS):

T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2

Areal av $\triangle BCD$ (linje 6 i CAS):

T_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BC \cdot \sin(\angle DBC) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}\,a \cdot \sqrt{2}\,a \cdot \sin(75°) = \frac{(\sqrt{3}+3)}{4}\,a^2

Totalt areal (linje 7):

T = T_{ABD} + T_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 + \frac{\sqrt{3}+3}{4}\,a^2 = \frac{(2\sqrt{3}+3)}{4}\,a^2

Vi setter $T = \sqrt{3}$ og løser for $a$ (linje 8 i CAS):

\frac{(2\sqrt{3}+3)}{4}\,a^2 = \sqrt{3}

CAS gir løsningene $a = \sqrt{2} - \sqrt{6}$ eller $a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ . Siden $a > 0$ og $\sqrt{6} > \sqrt{2}$ , er den gyldige løsningen:

\underline{\underline{a = \sqrt{6} - \sqrt{2}}}

GeoGebra CAS — utregninger for oppgave 5

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Oppgave 2-6 : Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x)=1/x og tangenten i (s,f(s))

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x)=\dfrac{1}{x}$ og tangenten til grafen i punktet $(s,f(s))$ .

Vis at likningen for tangenten er

y=-\dfrac{1}{s^2}\cdot x+\dfrac{2}{s}

Tangenten skjærer koordinataksene i punktene $A$ og $B$ .

Bestem koordinatene til $A$ og $B$ uttrykt ved $s$ .

Bestem arealet av $\triangle=OAB$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$A = (2s,\, 0)$ , $B = \left(0,\, \dfrac{2}{s}\right)$

$\underline{\underline{\text{Areal} = 2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise at tangenten til $f(x) = \dfrac{1}{x}$ i punktet $(s, f(s))$ har likningen

y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}

Vi deriverer $f$ :

f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}

I punktet $x = s$ er stigningstallet til tangenten

f'(s) = -\dfrac{1}{s^2}

Vi setter opp tangentlikningen med punktet $(s,\, f(s)) = \left(s,\, \dfrac{1}{s}\right)$ :

y - \dfrac{1}{s} = -\dfrac{1}{s^2}(x - s)

y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{s}{s^2} + \dfrac{1}{s} = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s}

\underline{\underline{y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}}}

Dette er det vi skulle vise. CAS bekrefter (se utklipp):

CAS-utregning: tangent, nullpunkt og y-skjæring

Punkt A er der tangenten skjærer $x$ -aksen, dvs. $y = 0$ :

0 = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}

\dfrac{1}{s^2} \cdot x = \dfrac{2}{s} \implies x = \dfrac{2}{s} \cdot s^2 = 2s

\underline{\underline{A = (2s,\; 0)}}

Punkt B er der tangenten skjærer $y$ -aksen, dvs. $x = 0$ :

y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot 0 + \dfrac{2}{s} = \dfrac{2}{s}

\underline{\underline{B = \left(0,\; \dfrac{2}{s}\right)}}

Trekant $OAB$ har $O = (0, 0)$ som hjørne. Grunnlinjen langs $x$ -aksen fra $O$ til $A$ har lengde $|OA| = 2s$ , og høyden er $y$ -koordinaten til $B$ , som er $\dfrac{2}{s}$ .

\text{Areal av } \triangle OAB = \dfrac{1}{2} \cdot \underbrace{2s}_{\text{grunnlinje}} \cdot \underbrace{\dfrac{2}{s}}_{\text{høyde}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4s}{s} = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = \underline{\underline{2}}

Arealet er $\mathbf{2}$ uavhengig av $s$ — tangenten skjærer alltid av en trekant med samme areal, uansett hvilken punkt på grafen vi velger. Figuren nedenfor viser tilfellet $s = 1$ :

Grafen til f(x)=1/x og tangenten i (s, f(s)) med punktene A, B og O

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Tangent, Areal
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-7 : Stabling av erteboksbokser i to mønstre

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1 og figur 2 viser to ulike stablingsmønstre

Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.

Marius stabler boksene som vist i figur 1. I figur 1 har han laget et tårn med fire etasjer.

Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?

Marius har 400 bokser.

Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?

Maria vil stable boksene som vist i figur 2. I figur 2 har hun laget et tårn med tre etasjer.

Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?

Maria har 4 000 bokser.

Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?

Fasit

$\underline{\underline{210 \text{ bokser}}}$

$\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$

$\underline{\underline{1540 \text{ bokser}}}$

$\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$

LøsningsforslagKI-generert

I figur 1 har etasje $k$ (telt fra toppen) $k$ bokser: toppen har 1 boks, etasjen under har 2, osv. Med $n$ etasjer blir totalt antall bokser

S_1(n) = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne og bekrefte formelen:

GeoGebra CAS: Marius-formelen og S1(20)

CAS bekrefter at $S_1(n) = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ og gir

S_1(20) = \frac{20 \cdot 21}{2} = \mathbf{210}

Marius trenger $\underline{\underline{210 \text{ bokser}}}$ for et tårn med 20 etasjer.

Vi løser ulikheten $S_1(n) \leq 400$ , dvs. $\dfrac{n(n+1)}{2} \leq 400$ .

CAS gir den eksakte løsningen $n = \dfrac{\sqrt{3201} - 1}{2} \approx 27{,}79$ , og vi sjekker:

S_1(27) = \frac{27 \cdot 28}{2} = 378 \leq 400 \qquad S_1(28) = \frac{28 \cdot 29}{2} = 406 > 400

Det største tårnet Marius kan lage har $\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$ (bruker 378 bokser).

I figur 2 er hver etasje en fylt trekant. Etasje $k$ (telt fra toppen) inneholder trekanttallet $1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$ bokser: toppen har 1 boks, neste etasje $1+2=3$ , deretter $1+2+3=6$ , osv. Med $n$ etasjer blir totalt antall bokser summen av de $n$ første trekanttallene:

S_2(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}

Dette er tetraedertallene. Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne og bekrefte formelen:

GeoGebra CAS: Maria-formelen og S2(20)

CAS gir

S_2(20) = \frac{20 \cdot 21 \cdot 22}{6} = \mathbf{1540}

Maria trenger $\underline{\underline{1540 \text{ bokser}}}$ for et tårn med 20 etasjer.

Vi løser ulikheten $S_2(n) \leq 4000$ , dvs. $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \leq 4000$ .

CAS gir den øvre løsningen $n \approx 27{,}5$ , og vi sjekker nabotallene:

S_2(27) = \frac{27 \cdot 28 \cdot 29}{6} = 3654 \leq 4000 \qquad S_2(28) = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{6} = 4060 > 4000

Det største tårnet Maria kan lage har $\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$ (bruker 3654 bokser).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Rekker, Aritmetisk rekke, Sum av rekke, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-8 : Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Klassen til Andreas og Markus arbeider med oppgaven nedenfor.

Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant $ABC$ som på figuren. Hypotenusen $AB$ i trekanten $ABC$ har lengde $2a$ . Undersøk hvor stort areal rektangelet kan få.

Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant ABC med hypotenus AB=2a

Andreas og Markus diskuterer hvordan de skal komme i gang og vurderer ulike strategier.

Lengde rektangel	1	2	3	4	5	6	7
Areal rektangel når $a=2$
Areal rektangel når $a=3$
Areal rektangel når $a=4$

Ta utgangspunkt i og kommenter det Andreas og Markus har funnet ut og løs oppgaven klassen har fått.

Fasit

Største areal av rektangelet er $\underline{\underline{\dfrac{a^2}{2}}}$ , oppnådd når rektangelet har bredde $a$ og høyde $\dfrac{a}{2}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Strategi og geometri

Trekanten ABC er likebeint og rettvinklet med rett vinkel i C og hypotenuse $AB = 2a$ . Siden vinklene A og B er $45\degree$ , er katetetene $AC = BC = a$ . Vi plasserer trekanten med C i origo, slik at A $= (-a, 0)$ og B $= (a, 0)$ (eller med koordinatsystem som i oppgaven).

Andreas og Markus foreslår å bruke datamaskinen til å tegne trekanter og rektangler for $a = 2, 3, 4$ . La oss følge denne strategien og deretter generalisere.

Sette opp arealfunksjonen

La $x$ være halvbredden av rektangelet (avstanden fra midtpunktet til den ene siden). Da er bredden til rektangelet $2x$ .

Trine og Nora sier at linja gjennom B og C er gitt ved $y = -x + a$ . Det stemmer: linjen går gjennom $(0, a)$ og $(a, 0)$ , og har stigningstall $-1$ .

Høyden til rektangelet er $y$ -verdien på denne linja ved halvbredde $x$ :

\text{høyde} = -x + a

Arealet av rektangelet er lengde $\cdot$ bredde:

A(x) = 2x \cdot (-x + a) = 2x(a - x)

Definisjonsområdet er $0 < x < a$ (rektangelet må ligge inni trekanten).

Tabellverdier (a = 2, 3, 4)

For $a = 2$ er $A(x) = 2x(2-x)$ :

Lengde rektangel ( $2x$ )	Halvbredde $x$	Høyde $y = -x+a$	Areal
2	1	1	2

For $a = 3$ er $A(x) = 2x(3-x)$ :

Lengde rektangel ( $2x$ )	Halvbredde $x$	Høyde $y = -x+a$	Areal
2	1	2	4
4	2	1	4

For $a = 4$ er $A(x) = 2x(4-x)$ :

Lengde rektangel ( $2x$ )	Halvbredde $x$	Høyde $y = -x+a$	Areal
2	1	3	6
4	2	2	8
6	3	1	6

Vi ser et mønster: størst areal er henholdsvis $2$ , $4{,}5$ og $8$ , som svarer til $\frac{2^2}{2}$ , $\frac{3^2}{2}$ og $\frac{4^2}{2}$ .

Generelt bevis med derivasjon

Vi deriverer $A(x) = 2x(a - x) = 2ax - 2x^2$ og setter $A'(x) = 0$ .

CAS gir (se skjermbilde):

A'(x) = 2(a - x) - 2x = 2a - 4x

A'(x) = 0 \implies 2a - 4x = 0 \implies x = \frac{a}{2}

Arealfunksjonene A(x) for a=2 (blå), a=3 (grønn) og a=4 (rød) med maksimalpunkter markert

Siden $A''(x) = -4 < 0$ , er $x = \frac{a}{2}$ et toppunkt.

Størst areal oppnås altså når halvbredden er $x = \frac{a}{2}$ , det vil si rektangelet har bredde $2 \cdot \frac{a}{2} = a$ og høyde $-\frac{a}{2} + a = \frac{a}{2}$ .

Maksimalt areal er:

A\!\left(\frac{a}{2}\right) = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \left(a - \frac{a}{2}\right) = a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}

Konklusjon: Det største arealet rektangelet kan få, er $\boldsymbol{\dfrac{a^2}{2}}$ . Dette oppnås når rektangelet har bredde $a$ og høyde $\dfrac{a}{2}$ , altså når halvbredden er nøyaktig halvparten av $a$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 12
Temaer: Optimering, Andregradsfunksjon, Derivasjon, Argumentasjon, Modellering
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1 : Parallell linje gjennom gitt punkt

Oppgave 1-2 : AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C

Oppgave 1-3 : Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon

Oppgave 1-4 : Vis at likningssystem ikke har løsning

Oppgave 1-5 : Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 48 poeng

Oppgave 2-1 : Skisalg med tredjegradsmodell

Oppgave 2-2 : Dyrebestand lineær og eksponentiell modell

c og d

Oppgave 2-3 : Likningssystem uten løsning bestem s

Oppgave 2-4 : Monica og Sissel aldersoppgave

Oppgave 2-5 : Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Oppgave 2-6 : Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Oppgave 2-7 : Stabling av erteboksbokser i to mønstre

Oppgave 2-8 : Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave