1T Høst 2021

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

1T Høst 2021 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler
1-1	Parallell linje gjennom gitt punkt	—
1-2	AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C	—
1-3	Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon	—
1-4	Vis at likningssystem ikke har løsning	—
1-5	Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler
2-1	Skisalg med tredjegradsmodell	—
2-2	Dyrebestand lineær og eksponentiell modell	—
2-3	Likningssystem uten løsning bestem s	—
2-4	Monica og Sissel aldersoppgave	—
2-5	Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a	—
2-6	Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB	—
2-7	Stabling av erteboksbokser i to mønstre	—
2-8	Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time

Oppgave 1-1 : Parallell linje gjennom gitt punkt

Likningen for en linje $l$ er gitt ved $y=-2x+9$ . En annen linje $m$ er parallell med linjen $l$ og går gjennom punktet $(5,-6)$ .

Bestem likningen for linjen $m$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: lineær funksjon, parallellitet
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar, setje opp formlar og utforske desse ved hjelp av digitale verktøy

Oppgave 1-2 : AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C

Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at

$\cos\angle A=\dfrac{1}{2}$
$\sin\angle C=\dfrac{1}{2}$
$AB=4$

Bestem $AC$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: trigonometri, rettvinklet trekant, eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar

Oppgave 1-3 : Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon

Løs likningen

x^3+2x^2-7x+4=0

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: tredjegradslikning, polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar

Oppgave 1-4 : Vis at likningssystem ikke har løsning

Vis at likningssystemet ikke har løsning.

\begin{cases}x^2+2x-y=-1\\x+y=-2\end{cases}

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: likningssystem, andregradslikning, argumentasjon
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 1-5 : Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon

Tredjegradsfunksjon f med bunnpunkt (-2,-11), toppunkt (4,25) og tangent y=9x-2 i (1,7)

Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ . Grafen har bunnpunkt $(-2,-11)$ og toppunkt $(4,25)$ . Likningen for tangenten til grafen i punktet $(1,7)$ er $y=9x-2$ .

Skisser grafen til den deriverte funksjonen, $f'$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: derivasjon, tredjegradsfunksjon, grafisk framstilling
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer

Oppgave 2-1 : Skisalg med tredjegradsmodell

En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022.

Anta at funksjonen $S$ gitt ved

S(x)=0{,}75x^3-59{,}5x^2+1200x,\quad x\in[0,52]

kan brukes som en modell for hvor mange par ski $S(x)$ butikken vil kunne selge per uke $x$ etter salgsstart.

Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5 000 par ski, ifølge modellen?

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $S$ når $x=30$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: tredjegradsfunksjon, modellering, derivasjon, momentan vekstfart
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-2 : Dyrebestand lineær og eksponentiell modell

En dyrebestand består i dag av 500 dyr. En forsker antar at bestanden vil doble seg i løpet av de ti neste årene.

Sett opp en modell $L(x)$ som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år, dersom vi antar at bestanden øker lineært.

Sett opp en modell $E(x)$ som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år, dersom vi antar at bestanden øker eksponentielt.

Tegn grafen til funksjonen $F$ gitt ved

F(x)=L(x)-E(x),\quad 0\le x\le 13

Bestem toppunktet på grafen til $F$ og skjæringspunktene mellom grafen til $F$ og hver av de rette linjene $x=12$ og $y=12$ .

Gi en praktisk tolkning av svarene du får.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: lineær funksjon, eksponentialfunksjoner, modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-3 : Likningssystem uten løsning bestem s

\begin{cases}4x+2y=3\\s\cdot x+y=2\end{cases}

Hvilken verdi må $s$ ha for at likningssystemet ikke skal ha løsning?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: likningssystem, lineær funksjon, parallellitet
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 2-4 : Monica og Sissel aldersoppgave

I dag er Monica 72 år yngre enn Sissel. Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica.

Hvor mange år er Monica og Sissel i dag?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: likningssystem, modellering
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 2-5 : Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

$Firkant ABCD med vinkler 30°, 120°, 75° og sider a, \sqrt 2\cdot a$

Gitt firkanten $ABCD$ .

Vis at $BD=\sqrt{3}\cdot a$ .

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

Bestem $a$ slik at arealet av firkanten blir lik $\sqrt{3}$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: trigonometri, cosinussetningen, arealsetningen, eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Oppgave 2-6 : Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Grafen til f(x)=1/x og tangenten i (s,f(s))

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x)=\dfrac{1}{x}$ og tangenten til grafen i punktet $(s,f(s))$ .

Vis at likningen for tangenten er

y=-\dfrac{1}{s^2}\cdot x+\dfrac{2}{s}

Tangenten skjærer koordinataksene i punktene $A$ og $B$ .

Bestem koordinatene til $A$ og $B$ uttrykt ved $s$ .

Bestem arealet av $\triangle=OAB$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: derivasjon, rasjonale funksjoner, tangent, areal
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-7 : Stabling av erteboksbokser i to mønstre

Figur 1 og figur 2 viser to ulike stablingsmønstre

Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.

Marius stabler boksene som vist i figur 1. I figur 1 har han laget et tårn med fire etasjer.

Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?

Marius har 400 bokser.

Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?

Maria vil stable boksene som vist i figur 2. I figur 2 har hun laget et tårn med tre etasjer.

Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?

Maria har 4 000 bokser.

Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: rekker, aritmetisk rekke, sumformel, modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-8 : Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant

Klassen til Andreas og Markus arbeider med oppgaven nedenfor.

Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant $ABC$ som på figuren. Hypotenusen $AB$ i trekanten $ABC$ har lengde $2a$ . Undersøk hvor stort areal rektangelet kan få.

Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant ABC med hypotenus AB=2a

Andreas og Markus diskuterer hvordan de skal komme i gang og vurderer ulike strategier.

Lengde rektangel	1	2	3	4	5	6	7
Areal rektangel når $a=2$
Areal rektangel når $a=3$
Areal rektangel når $a=4$

Ta utgangspunkt i og kommenter det Andreas og Markus har funnet ut og løs oppgaven klassen har fått.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 12
Temaer: optimering, andregradsfunksjon, derivasjon, argumentasjon, modellering
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige