Største areal i rektangel med omkrets 64

Gjerde rundt et rektangulært område. — Kilde: UDIR

Per og Solveig har nok materialer til å lage et gjerde som er $64\mathrm{~m}$ langt. De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal.

Per påstår at arealet blir størst mulig dersom alle sidekantene er like lange.

Vis at Per sin påstand kan være riktig, ved å lage en oversikt som viser arealet av ulike rektangler med omkrets $64\mathrm{~m}$ .

Solveig lurer på om de kan tegne en graf som viser at Per har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Sett opp funksjonsuttrykket for Solveig. Tegn grafen, og vis at Per sin påstand er riktig.

Fasit

Oversikten viser at arealet er størst når alle sider er like lange ( $16 \, \mathrm{m}$ ).

$A(x) = x(32 - x)$ . Toppunktet er $\underline{\underline{A(16) = 256 \, \mathrm{m}^2}}$ , som bekrefter at Per har rett.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være bredden i rektangelet (i meter). Siden omkretsen er $64 \, \mathrm{m}$ , blir

2(x + y) = 64 \implies y = 32 - x

der $y$ er lengden. Vi setter opp en oversikt over ulike verdier:

Bredde $x$ (m)	Lengde $y$ (m)	Areal $A = x \cdot y$ (m²)
4	28	112
8	24	192
12	20	240
14	18	252
16	16	256
18	14	252
20	12	240
24	8	192
28	4	112

Oversikten viser at arealet er størst når $x = 16 \, \mathrm{m}$ og $y = 16 \, \mathrm{m}$ , altså når rektangelet er et kvadrat. Dette støtter Pers påstand.

Vi bruker at $y = 32 - x$ og setter opp arealet som funksjon av $x$ :

A(x) = x \cdot (32 - x), \quad x \in \langle 0, 32 \rangle

Vi finner toppunktet med GeoGebra CAS:

A'(x) = -2x + 32 = 0 \implies x = 16

GeoGebra-graf av A(x) = x(32-x) med toppunkt markert

Grafen viser $A(x) = x(32 - x)$ med toppunktet $A = (16, 256)$ .

Siden toppunktet er i $x = 16$ , blir lengden $y = 32 - 16 = 16 \, \mathrm{m}$ .

Rektangelet er altså et kvadrat med sidelengde $16 \, \mathrm{m}$ , og det største arealet er

\mathbf{A(16) = 16 \cdot 16 = \underline{\underline{256 \, \mathrm{m}^2}}}

Dette bekrefter Pers påstand.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2022, del 2, oppgave 6
Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Optimering, Andregradsfunksjon, Derivasjon, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Største areal i rektangel med omkrets 64

Sync på tvers av enheter

Største areal i rektangel med omkrets 64

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave