Skisalg med tredjegradsmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022.

Anta at funksjonen $S$ gitt ved

S(x)=0{,}75x^3-59{,}5x^2+1200x,\quad x\in[0,52]

kan brukes som en modell for hvor mange par ski $S(x)$ butikken vil kunne selge per uke $x$ etter salgsstart.

Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5 000 par ski, ifølge modellen?

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $S$ når $x=30$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

18 uker (uke 6–23), pluss de to siste ukene 51–52 (totalt ca. 20 uker hvis $[50, 52]$ regnes med; selve grensepunktene gir nøyaktig 5 000).

$\underline{\underline{S'(30) = -345 \text{ par ski per uke}}}$ — salget minker med ca. 345 par ski per uke i uke 30.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen av $S$ og den horisontale linjen $y = 5000$ på intervallet $[0, 52]$ .

S(x) = 0{,}75x^3 - 59{,}5x^2 + 1200x, \quad x \in [0, 52]

Graf av S(x) med linja y = 5000 og skjæringspunktene A, B og C

Fra grafen leser vi av at $S(x) = 5000$ i tre punkter:

$A \approx (5{,}62,\ 5000)$
$B \approx (23{,}71,\ 5000)$
$C = (50,\ 5000)$

Grafen viser at $S(x) > 5000$ i to intervaller:

$\langle 5{,}62 ;\ 23{,}71 \rangle$ — fra uke 6 til og med uke 23, det vil si 18 hele uker.
$\langle 50 ;\ 52 \rangle$ — de to siste ukene av perioden, hvor $S(52) \approx 6968$ .

Ifølge modellen vil butikken selge mer enn 5 000 par ski i 18 uker (uke 6–23). I tillegg vil salget overstige 5 000 par i ukene 51 og 52.

Vi deriverer $S$ og setter inn $x = 30$ i GeoGebra CAS.

CAS: S'(x) = 9/4·x² - 119x + 1200, S'(30) = -345, S(30) = 2700

Fra CAS-utregningen ser vi:

S'(x) = \frac{9}{4}x^2 - 119x + 1200

S'(30) = \frac{9}{4} \cdot 900 - 119 \cdot 30 + 1200 = 2025 - 3570 + 1200 = \underline{\underline{-345}}

Praktisk tolkning: I uke 30 er $S(30) = 2700$ — butikken selger 2 700 par ski. Den momentane vekstfarten $S'(30) = -345$ betyr at salget på dette tidspunktet minker med ca. 345 par ski per uke.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2021, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Tredjegradsfunksjon, Modellering, Derivasjon, Momentan vekstfart
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Skisalg med tredjegradsmodell

Sync på tvers av enheter

Skisalg med tredjegradsmodell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave