S2 Vår 2025

S2 Vår 2025 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler
1-1	Integraler S2 v25	✔︎
1-2	Bestem f ut fra den deriverte	✔︎
1-3	Sannsynlighetsfordeling til brettspill	✔︎
1-4	Ukjente programmer S2 v25	✔︎
1-5	Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25	✔︎
1-6	Hypotesetest bensin	✔︎
Del 2 3 timer med hjelpemidler
2-1	Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	✔︎
2-2	Normalfordelt hoppkonkurranse	✔︎
2-3	Logistisk salg av brannvarslingssystemer	✔︎
2-4	Noras sparing og lån	✔︎
2-5	Vis at rekke blir ln 2	✔︎

Oppgave 1-1 : Integraler S2 v25

Regn ut integralene

a)

\int_{0}^{1} (2e^{x}+2x^{2}) \, \mathrm{d}x

b)

\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-6} \, \mathrm{d}x

Fasit

$2e-\frac{4}{3}$

$\ln \left| x^{2}-x-6 \right|+C$

Løsningsforslag

\int_{0}^{1} \left( 2e^{x}+2x^{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ 2e^{x}+\frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}= \left( 2e^{1}+\frac{2}{3}1^{3} \right) -\left( 2e^{0} +\frac{2}{3}0^{3} \right) =2e+\frac{2}{3}-2=\underline{\underline{2e-\frac{4}{3}}}

Vi ser at den deriverte av uttrykket i nevneren er det samme som telleren, og det er derfor lurt å forsøke variabelskiftet $\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6}$ .

\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6} \implies \frac{du}{dx}=\textcolor{seagreen}{2x-1} \iff \frac{du}{\textcolor{seagreen}{2x-1}}=dx

Vi substituerer inn i det opprinnelige uttrykket

\int \frac{\textcolor{seagreen}{2x-1}}{\textcolor{tomato}{x^{2}-x-6}} \, \mathrm{d}x=\int \frac{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }}{\textcolor{tomato}{u}} \, \frac{\mathrm{d}u}{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }} = \int \frac{1}{\textcolor{tomato}{u}} \, \mathrm{d}u=\ln \left| \textcolor{tomato}{u} \right| +C=\underline{\underline{\ln \left| x^{2} -x -6\right| + C}}

Sensorveiledning

1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.

Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det kan tas med i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: integral, bestemt integral, substitusjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Oppgave 1-2 : Bestem f ut fra den deriverte

Bestem et uttrykk for funksjonen $f$ når du får vite at

$f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}$
Arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x=1$ og $x=2$ er $\frac{11}{14}$ . Dette arealet ligger over $x$ -aksen.

Fasit

$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{7}$

Løsningsforslag

Vi vet at $f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}$ vil ha uendelig mange antideriverte med ulike konstantledd

\int -\frac{2}{x^{3}} \, \mathrm{d}x =\int -2x^{-3} \, \mathrm{d}x = \frac{-2}{-2}x^{-2}+C=\frac{1}{x^{2}}+C

Her er $C$ et hvilket som helst tall. Siden vi har fått vite at arealet av området som avgrenses av grafen til $f$ , $x=1$ , $x=2$ og $x$ -aksen er lik $\frac{11}{14}$ , samt at hele arealet ligger over $x$ -aksen, kan vi bruke et bestemt integral for å finne verdien av $C$ .

\begin{aligned} \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x^{2}} +C \right)\, \mathrm{d}x &=\frac{11}{14} \\ \int_{1}^{2} \left( x ^{ -2}+C \right)\, \mathrm{d}x &=\frac{11}{14} \\ \left[ -\frac{1}{x}+Cx \right]_{1}^{2} &=\frac{11}{14} \\ \textcolor{orange}{\left( -\frac{1}{2}+C \cdot 2 \right)}-\textcolor{seagreen}{\left( -\frac{1}{1}+C\cdot 1 \right)} &=\frac{11}{14} \\ \textcolor{orange}{-\frac{1}{2}+2C} + \textcolor{seagreen}{\frac{1}{1}-C} &=\frac{11}{14} \\ C&=\frac{11}{14}-\frac{1}{2}=\frac{2}{7} \end{aligned}

Vår antideriverte til $f'(x)$ har altså $C=\frac{2}{7}$ , derfor har vi for alle $x\neq 0$ :

\underline{\underline{f(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{7}}}

Sensorveiledning

1 poeng for riktig integrasjon av $f'(x)$ og 1 poeng for å finne konstanten.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: integral, tolkning av integraler, areal under graf, bestemt integral
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Oppgave 1-3 : Sannsynlighetsfordeling til brettspill

Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. Vi kaster terningen én gang. La $X$ være antall øyne terningen viser.

Tabell 1:

$k$	1	2	3	6
$P(X=k)$	$\frac{1}{6}$

Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at $E(X)=4$ .

Bestem $\text{Var}(X)$ .

Fasit

–

13/3

Løsningsforslag

Tabell 2:

$k$	$\textcolor{orange}{1}$	$\textcolor{seagreen}{2}$	$\textcolor{steelblue}{3}$	$\textcolor{tomato}{6}$	Sum
$P(X=k)$	$\textcolor{orange}{\frac{1}{6}}$	$\textcolor{seagreen}{\frac{1}{6}}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{1}{6}}$	$\textcolor{tomato}{\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}$	$1$
$k \cdot P(X=k)$	$\textcolor{orange}{\frac{1}{6}}$	$\textcolor{seagreen}{\frac{2}{6}}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{3}{6}}$	$\textcolor{tomato}{\frac{18}{6}}$	$\frac{24}{6}=4$
$(k-\mu)^{2}\cdot P(X=k)$	$\textcolor{orange}{3^{2} \cdot \frac{1}{6}=\frac{9}{6}}$	$\textcolor{seagreen}{2^{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{6}}$	$\textcolor{steelblue}{1^{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}}$	$\textcolor{tomato}{2^{2}\cdot \frac{3}{6}=\frac{12}{6}}$	$\frac{26}{6}=\frac{13}{3}$

Vi finner forventningsverdien ved å finne summen av rad 3 siden $E(X)=\sum k \cdot P(X=k)$

E(X)=\textcolor{orange}{\frac{1}{6}}+ \textcolor{seagreen}{\frac{2}{6}}+ \textcolor{steelblue}{\frac{3}{6}}+ \textcolor{tomato}{\frac{18}{6}}=\frac{24}{6}=4

Forventningsverdien $\mathrm{E}(X)=\underline{\underline{4}}$

Vi finner variansen ved å summere rad 4 i tabellen siden $\text{Var}(X)=\sum (k-\mu)^{2}\cdot P(X=k)$

\text{Var}(X)=\textcolor{orange}{\frac{9}{6}}+ \textcolor{seagreen}{\frac{4}{6}}+ \textcolor{steelblue}{\frac{1}{6}}+ \textcolor{tomato}{\frac{12}{6}}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}

Variansen er $\mathrm{Var}(X)=\underline{\underline{\frac{13}{3}}}$

Sensorveiledning

1 poeng for å fylle ut tabellen og 1 poeng for å finne $E(X)$ .

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: diskrete sannsynlighetsfordelinger, varians, forventningsverdi
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

Oppgave 1-4 : Ukjente programmer S2 v25

En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
    print(a)
    a = a + (i + 2)

Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med.
Hva blir resultatet når koden kjøres?

Eleven har også skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + a
    a = a + (i + 2)
print(S)

Hva ønsker eleven nå å finne ut?
Hva blir resultatet når koden kjøres?

Fasit

2, 5, 9, 14, 20

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første leddene. Summen blir 50.

Løsningsforslag

Her setter vi opp en oversikt for å se hvordan variablene i programmet utvikler seg.

`i`	`a`	Beregning av neste `a`
1	2	$2+1+2=\underline{5}$
2	5	$5+2+2=\underline{9}$
3	9	$9+3+2=\underline{14}$
4	14	$14+4+2=\underline{20}$
5	20

Vi ser en tallfølge hvor differansene mellom leddene starter på 3, og deretter øker med 1 for hvert ledd. Matematisk kan dette uttrykkes med den rekursive sammenhengen

a_{n+1}=a_{n}+n+2

Koden skriver ut leddene i tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20.

Eleven har lagt til en variabel S. S gir en løpende sum av verdiene til a, derfor vil S være delsummen til rekka etter n ledd.

Eleven ønsker å finne delsummen til rekka etter 5 ledd, altså $2+5+9+14+20=\underline{\underline{50}}$

Sensorveiledning

1 poeng for å beskrive mønsteret og 1 poeng for riktig resultat av kjøringen.

1 poeng for å beskrive hva eleven ønsker å finne ut og 1 poeng for riktig resultat av kjøringen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: programmering, rekker, rekursiv sammenheng
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-5 : Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25

Figuren viser grafen til en kostnadsfunksjon $K$ og to rette linjer.
Linjen $y=138x-9920$ tangerer grafen $K$ i punktet $\left( 180, \,14\,920 \right)$ .

Kostnadsfunksjon med to rette linjer

Bruk figuren til å finne enhetskostnaden og grensekostnaden når det blir produsert 180 enheter. Husk å begrunne svarene.

Vi setter prisen per enhet til $p$ kroner, slik at inntekten $I(x)$ kroner er gitt ved $I(x)=p \cdot x$ .

Bestem prisen $p$ slik at overskuddet vil bli størst mulig ved produksjon og salg av 180 enheter

Fasit

Enhetskostnaden er 82,89 kr/enhet og grensekostnaden er 138 kr/enhet.

138 kr

Løsningsforslag

Enhetskostnaden når det produseres 180 enheter er gitt ved

E(180)=\frac{K(180)}{180}=\frac{14\,920}{180}=82{,}89

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, og grensekostnaden ved 180 enheter er derfor lik stigningstallet til tangenten til $K$ ved $x=180$ . Jeg leser av stigningstallet til tangenten og finner at grensekostnaden er 138.

Enhetskostnaden ved 180 enheter er 82,89 kr/enhet og grensekostnaden er 138 kr/enhet.

For at vi skal ha størst overskudd må $I'(x)=K'(x)$ . Vi bestemmer grenseinntekten.

I(x)=p \cdot x \implies I'(x)=p

For å finne prisen som gir størst overskudd ved produksjon og salg av 180 enheter så setter vi opp $I'(180)=K'(180)$ .

I'(180)=K'(180) \iff p = 138

Prisen 138 kr gir oss størst overskudd ved produksjon og salg av 180 enheter.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne enhetskostnad og 1 poeng for å finne grensekostnaden.

Kandidater som setter opp at størst overskudd gis ved $I'(x)=K'(x)$ kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: tolke grafer, enhetskostnad, grenseinntekt og grensekostnad, overskudd
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Oppgave 1-6 : Hypotesetest bensin

Benz A/S har utviklet en ny type bensin som de mener øker kjørelengden per liter. Den gamle bensinen gir en gjennomsnittlig kjørelengde på $20 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$ , med et standardavvik på $2{,}5 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$ .

Benz A/S ønsker å teste om den nye bensinen øker kjørelengden, og planlegger å gjennomføre en hypotesetest med 25 biler.

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese for testen.

Det viser seg at de 25 bilene kjører i gjennomsnitt $21 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$ . Gå ut fra at kjørelengden er normalfordelt med standardavvik $2{,}5 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$ .

Gjennomfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om Benz A/S kan si at den nye bensinen øker kjørelengden. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$H_{0}: \, \mu=20, \quad H_{A}: \, \mu > 20$

Vi kan forkaste $H_{0}$ med $p$ -verdien 0,0228

Løsningsforslag

Vi ønsker å teste om den nye bensinen gir bedre drivstofføkonomi enn den gamle. La $\mu$ være forventningsverdien for kjørelengde per L for den nye bensinen. Da er hypotesene våre:

\begin{aligned} H_{0}: \quad \mu=20\\ H_{A}: \quad \mu > 20 \end{aligned}

Denne hypotesetesten er av et gjennomsnitt. La $\bar{X}$ være gjennomsnittsverdien for drivstofføkonomien for et utvalg av biler. Etter sentralgrensesetningen er $\bar{X}$ normalfordelt med:

\begin{aligned} E(\bar{X}) &= \mu = 20 \\ \text{SD}(\bar{X})&=\frac{\text{SD}(X)}{\sqrt{ n }} = \frac{2{,}5}{\sqrt{ 25 }}=\frac{2{,}5}{5}=\frac{1}{2} \end{aligned}

Observasjonen vår er $\bar{X}=21$ . Vi gjør om til standard normalfordeling:

z=\frac{\bar{X}-\mu}{\text{SD}(\bar{X})}=\frac{21-20}{0{,}5}=2

Sannsynligheten for at $\bar{X}$ skal ligge mer enn 2 standardavvik over forventningsverdien er kan vi finne ved hjelp av den vedlagte normalfordelingstabellen.

P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228

p-verdien er 0,0228, som er mindre enn signifikansnivået vårt. Vi kan dermed forkaste nullhypotesen om at den nye bensinen er like god som den gamle.

Sensorveiledning

Kandidater som setter opp både nullhypotese og alternativ hypotese med tekst kan få full uttelling.

Kandidater som utfører testen, men med feil standardavvik kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: hypotesetest, standard normalfordeling, normalfordeling, sentralgrenseteoremet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet

Oppgave 2-1 : Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per uke. Tabellen nedenfor viser kostnaden ved ulike produksjonsmengder.

Produksjon (enheter per uke)	10	20	40	50
Kostnad (kroner)	400	850	2070	2890

En modell for kostnaden $K(x)$ kroner kan skrives på formen

K(x)=a x^2+b x+c

Vis at $K^{\prime}(x)=1,23 x+25$

Inntekten $I(x)$ kroner per uke er gitt ved

I(x)=3000 \cdot \ln (5 x)

Bestem $I^{\prime}(35)$ og $K^{\prime}(35)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Bestem $\int_{20}^{30} K^{\prime}(x) d x$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

$I'(35)=85{,}71 \text{ og } K'(35)=68{,}19$

558,5 kr. Dette er differansen mellom produksjonskostnader for 20 enheter og 30 enheter.

Løsningsforslag

Regresjon i GeoGebra

Vi finner en andregradsmodell for kostnadene ved hjelp av regresjon i GeoGebra. Se utklippet over.

K(x)=0{,}617 x^{2}+25x+93{,}33

Grenseinntekten $K'(x)=2 \cdot 0{,}617x+25=\underline{\underline{1{,}23x+25}}$ .

Grenseinntekt og grensekostnad i GeoGebra

Se linje 3 og 4 i CAS.

\underline{\underline{I'(35)=85{,}71 \text{ og } K'(35)=68{,}19 }}

Her øker grenseinntekten mer enn grensekostnaden, altså vil vi tjene mer penger ( $85{,}71 \text{ kr}$ ) på å produsere en mer enhet, enn hva vi må betale i produksjonskostnader for å produsere en mer enhet ( $68{,}19 \text{ kr}$ ). Vi tjener altså omtrent $85{,}71-68{,}19=17{,}5$ kr på å produsere og selge 36 enheter framfor 35 enheter.

Se linje 5 i CAS.

\underline{\underline{\int_{20}^{30} K'(x) \, dx =558{,}5}}

Dette er det bestemte integralet av grensekostnaden $K'(x)$ , altså vil svaret vårt tilsvare

\int_{20}^{30} K'(x) \, dx = K(30)-K(20)

558,5 kr er altså differansen i produksjonskostnader mellom å produsere 20 enheter og 30 enheter.

Sensorveiledning

Riktig regresjon for å finne $K(x)$ kan gi 1 poeng.

1 poeng for å finne verdiene, 1 poeng for tolkningene.

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for praktisk tolkning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: regresjon, tolkning av integraler, samlet mengde, grenseinntekt og grensekostnad, derivasjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Oppgave 2-2 : Normalfordelt hoppkonkurranse

Tre skihoppere skal delta i en hoppkonkurranse. Tabellen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for lengden på et hopp for hver av de tre hopperne. Vi antar at lengden på hoppene er uavhengig og normalfordelt.

	Forventningsverdi	Standardavvik
Birger	70 meter	20 meter
Maren	80 meter	5 meter
Espen	75 meter	10 meter

Gjør beregninger for hver skihopper, og bestem sannsynligheten for at skihopperen hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp.

I første omgang hoppet Maren 83 meter.

Bestem sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i denne omgangen.

I andre omgang gjør alle et nytt hopp.

Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen.

Fasit

0,1587, 0,0228 og 0,0668

0,5849

Omtrent 47,4 %

Løsningsforslag

La $B, M \text{ og } E$ være lengdene av hoppene til henholdsvis Birger, Maren og Espen.

Vi bestemmer sannsynligheten for at hver av dem hopper 90 meter eller lengre ved hjelp av sannsynlighetsvinduet i GeoGebra, se skjermbildet under. (Kun Birgers utklipp er vist).

Sannsynligheten for at Birger hopper 90 meter eller lengre

\textcolor{orange}{P(B>90)}=0{,}1587 ,\quad \textcolor{seagreen}{P(M>90)}=0{,}0228, \quad \textcolor{steelblue}{P(E>90)}=0{,}0668

Sannsynlighetene for at Birger, Maren og Espen hopper lengre enn 90 meter er i ett tilfeldig hopp er henholdsvis 0,1587, 0,0228 og 0,0668.

Hvis Maren skal hoppe lengst med et hopp på 83 meter så må både $B<83$ og $E < 83$ . Vi kan bruke multiplikasjonsprinsippet for å finne sannsynligheten for at begge disse utfallene skjer samtidig. Igjen bestemmer vi sannsynligheten ved hjelp av sannsynlighetsvinduet i GeoGebra.

Sannsynligheten for at Birger hopper kortere enn 83 meter

\begin{aligned} P(\text{Maren vinner med 83 m}) &= \textcolor{orange}{P(B<83)}\cdot \textcolor{steelblue}{P(E<83)}\\ &= \textcolor{orange}{0{,}7422} \cdot \textcolor{steelblue}{0{,}7881} = \underline{\underline{0{,}5849}} \end{aligned}

Sannsynligheten for at Maren vinner med et hopp på 83 meter er 0,5849.

Vi lager en simulering i Python hvor vi trekker hopplengder ut fra normalfordelingene til $B$ , $M$ og $E$ . Deretter sjekker vi om Marens hopp er det lengste hoppet.

from random import gauss
N = 100_000
antall_gunstige = 0

for i in range(N):
    # Trekker hopplengder fra normalfordelingene
    B = gauss(70, 20)
    M = gauss(80, 5)
    E = gauss(75, 10)

    # Sjekker om Marens hopp er lengre enn både Espens og Birgers
    if (M > B and M > E):
        antall_gunstige += 1

ssh = antall_gunstige / N

print(f"Det er omtrent {ssh * 100:.2f} % sannsynlighet for at Maren hopper lengst i andre omgang")

Etter å ha kjørt programmet flere ganger ser jeg at sannsynligheten er stabil på omtrent 47,4 %.

Det er omtrent 47,4 % sannsynlighet for at Maren hopper lengst i andre omgang.

Sensorveiledning

Riktig sannsynlighet for 1 skihopper kan gi 1 poeng.

Riktig strategi kan gi 1 poeng.

Simulering med en god strategi, men feil svar, kan få 1 poeng. Simulering med riktig strategi, men med små feil som fører til feil svar, kan få 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: normalfordeling, simulering, programmering, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter

Oppgave 2-3 : Logistisk salg av brannvarslingssystemer

Sikkerhetsselskapet SaifY skal lansere et nytt brannvarslingssystem i en by med 2 millioner husstander. SaifY regner med at antallet husstander som har brannvarslingssystemet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $B$ gitt ved

B(t)=\frac{1700000}{1+500 e^{-0,07 t}}

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet, ifølge modellen?

Bestem $B^{\prime}(52)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten UnSaif planlegger å lansere et brannvarslingssystem med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til SaifY.

Etter å ha hørt om planene til UnSaif antar SaifY at

de totalt vil få solgt brannvarslingssystemet sitt til en million husstander
fire tusen husstander har brannvarslingssystemet når det lanseres
flest nye husstander kjøper brannvarslingssystemet i uke 65

Bruk antakelsene ovenfor til å lage en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har brannvarslingssystemet etter $t$ uker.

Fasit

94 uker

7827,7

$F(t)=\frac{1000000}{1+249e^{-0{,}0849t}}$

Løsningsforslag

Logistisk modell for brannalarmer i by

Jeg la inn modellen i GeoGebra og la inn linja $y=1\,000\,000$ for å sjekke når halvparten hadde fått systemet. Jeg fant skjæringen med $B$ i punktet $A=(93{,}88, 1000000)$ .

Det tar 94 uker før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet ifølge modellen.

Se nederst i GeoGebra-utklippet.

\underline{\underline{B'(52)=7827{,}7}}

Etter 52 uker (ett år) så selges brannvarslingssystemet til omtrent 7828 husstander per uke.

En logistisk modell er gitt ved

f(x)=\frac{N}{1+a \cdot e ^{-kx}}

$N$ er «bæreevnen» eller maksimalverdien for funksjonen
$\frac{N}{1+a}$ vil være funksjonsverdien når $x=0$
Vi har raskest vekst i vendepunktet som vi finner i $\left( \frac{\ln a}{k} , \frac{N}{2}\right)$

Med bakgrunn i opplysningene i oppgaveteksten kan vi bestemme $\textcolor{orange}{N=1\,000\,000}$ siden dette er antallet husstander de totalt selger til.

Videre vet vi at det er 4000 husstander som har systemet ved $x=0$ , derfor må

\frac{\textcolor{orange}{N}}{1+a}=4000 \iff \frac{1000\cancel{ 000 }}{1+a}=4\cancel{ 000 } \iff \frac{1000}{4} = 1+a \iff \textcolor{seagreen}{a=250-1=249}

Til sist vet vi at vendepunktet (den raskeste veksten) er i uke 65, altså må

\frac{\ln \textcolor{seagreen}{a}}{k} =65 \iff \frac{\ln \textcolor{seagreen}{249}}{k}=65 \iff 5{,}517=65k \iff \textcolor{steelblue}{k=\frac{5{,}517}{65}=0{,}0849}

En logistisk modell som passer til dataene vil være

\underline{\underline{F(t)=\frac{1 \, 000 \, 000}{1+249e^{-0{,}0849t}}}}

Sensorveiledning

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for tolkning av verdien.

Kandidater som systematiserer og finner sammenhenger uten å komme fram til riktig modell kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: logistisk funksjon, modellering, derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 2-4 : Noras sparing og lån

Nora blir 37 år i 2026 og vil begynne å spare til egen pensjon.

Hun vil sette et fast beløp inn på en konto i banken 1. januar hvert år. Hun vil begynne sparingen 1. januar 2026 og holde på til og med januar 2055.

Målet hennes er å ha 3 750 000 kroner i banken etter at rentene for 2055 er lagt til. Nora venter at den årlige rentesatsen på kontoen vil være 2,5 %.

Hvor stort beløp må Nora sette i banken hvert år for å nå målet?

Nora har et huslån. Lånet har årlige terminer, og Nora betaler terminbeløpet i januar hvert år. I januar 2026 vil lånet være på 3 000 000 kroner.

Nora vil betale ned lånet før det året hun fyller 70. Hun har regnet seg fram til at hun da må betale 150 000 kroner hver termin fra og med januar 2026 til og med januar 2058.

Hvor høy har Nora regnet med at den årlige rentesatsen på lånet vil være?

Nora ønsker å hjelpe datteren med egenkapital til bolig. Nora oppretter derfor en ekstra sparekonto og setter opp en spareplan med ett årlig innskudd i 10 år. Det første innskuddet skal være 10000 kroner, deretter skal beløpene hun setter inn, øke med 6 % per år. Nora venter at rentesatsen vil være 2,5 % per år.

Målet er å ha 150 000 kroner på sparekontoen ett år etter at hun har satt inn det siste beløpet.

Vil Nora nå målet sitt?

Fasit

83 333 kr

3,528 %

Nei, 149 581 kr

Løsningsforslag

CAS-løsning av 2-4

Vi kaller det ukjente beløpet $B$ . Nora skal sette inn $B$ på konto 30 ganger. Det siste beløpet skal ha fått renter i 1 år, mens det første beløpet skal ha fått renter i 30 år.

For å ha 3 750 000 kr på konto etter 30 år så kan vi altså sette opp en likning med ei rekke. Likningen er løst i linje 1 i GeoGebra.

\underbrace{ \textcolor{tomato}{B\cdot 1{,}025^{1}} }_{ \text{År 2055} }+\underbrace{ \textcolor{seagreen}{B\cdot 1{,}025^{2}} }_{ \text{År 2054} }+\dots+ \underbrace{ \textcolor{maroon}{B\cdot 1{,}025^{30}} }_{ \text{År 2026} }=3\,750\,000

Nora må sette inn 83 333 kr hvert år for å nå målet.

Vi kaller den ukjente vekstfaktoren til renta $v$ . Nora skal betale inn lånet over 33 terminer med første termin 1. januar 2026. Nåverdien (NV) til terminbeløpene vil være:

\underbrace{ \textcolor{orange}{\frac{150\,000}{v^{0}}} }_{ \text{NV til 2026-beløpet} }+\underbrace{ \textcolor{seagreen}{\frac{150\,000}{v^{1}}} }_{ \text{NV til 2027-beløpet} }+\dots+\underbrace{ \textcolor{tomato}{\frac{150\,000}{v^{32}}} }_{ \text{NV til 2058-beløpet} }=3\,000\,000

Likningen er løst i linje 2 i GeoGebra.

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen er 3,528 %.

Sparebeløpene til Nora kan sees på som en rekke der det første beløpet er 10000 kr og får renter i 10 år, mens det siste beløpet er $10000\cdot 1{,}06^{9}$ og får renter i ett år.

\underbrace{ \textcolor{tomato}{10000 \cdot 1{,}06^{0}\cdot 1{,}025^{10}} }_{ \text{Beløp år 0} } + \underbrace{ \textcolor{seagreen}{10000 \cdot 1{,}06^{1}\cdot 1{,}025^{9}} }_{ \text{Beløp år 1} } + \dots + \underbrace{ \textcolor{maroon}{10000 \cdot 1{,}06^{9}\cdot 1{,}025^{1}} }_{ \text{ Beløp år 9 } }

Beløpet er beregnet i linje 3 i GeoGebra.

Nora vil ikke nå målet på 150 000 kr. Hun vil ha 149 581 kr på kontoen etter 10 år.

Alternativ løsning med målsøking i Excel

I regnearket nedenfor har jeg satt opp de tre deloppgavene i Excel for å løse med målsøking.

Oppgave a er løst ved å beregne innskuddet på kontoen i starten og slutten av hvert år. Noras sparebeløp er satt i celle C5. Ved å bruke målsøking og sette at celle C37 skal bli 3 750 000 kr ved å endre på C5 fikk jeg svaret 83 333 kr.

Oppgave b er løst ved å skrive inn restlånet 1. januar 2026, og beregne restlånene etter innbetaling hvert år. Restlånet etter innbetaling beregnes ved å sette avdraget lik $\frac{T}{v^{32-i}}$ , der $v$ er vekstfaktoren til renta og $i$ er antall år siden 1. januar 2026. Renta ble funnet ved å gjøre målsøking der restlånet etter innbetaling skal være 0 kr i 2058.

Oppgave c. I denne oppgaven øker sparebeløpet med 6 % per år i kolonne O, samtidig som vi beregner renter i kolonner Q. I slutten av 2035 vil Nora ha 149 581 kr på konto.

Regneark for løsning av Noras sparing og lån

Formler for regneark med målsøking

Sensorveiledning

En god strategi kan gi 1 poeng.

Kandidater med en god strategi, men som får feil svar kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten ha med økningen.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: lån, sparing, excel, cas, rekker, annuitetslån
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 2-5 : Vis at rekke blir ln 2

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$

Det kan vises at

\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots= \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x

Bruk denne sammenhengen til å vise at

\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2

I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.

Fasit

Oppgaven er et bevis. Se løsningsforslag.

Løsningsforslag

Vi har fått oppgitt at

\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots= \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x

(1)

Vi gjennomfører resonnementet vårt i flere steg.

Integrasjon av høyre side

Vi ser først på høyre side av likning (1). Vi ser at vi kan integrere denne siden ved å gjøre variabelskiftet $u=1-x \implies \frac{du}{dx}=-1 \iff dx =-1 \cdot du$ .

Integralet blir (sett bort fra integrasjonskonstantene)

\int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{u} \cdot (-1)\, \mathrm{d}u = -\int \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u = -\ln \left| 1-x \right|

Integrasjon av venstre side

Vi gjennomfører så integrasjonene på venstre side av likning (1) og får

\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots =\textcolor{orange}{x}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2}x^{2}}+\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3}x^{3}}+ \textcolor{tomato}{\frac{1}{4}x^{4}} + \dots

Ved å integrere begge sidene av likning (1) har vi altså foreløpig vist at:

x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{4} + \dots = -\ln \left| 1-x \right|

Vise at rekka er lik $\ln 2$

Vi skal vise at

\textcolor{orange}{\frac{1}{2^{1}}}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}} +\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}}} +\textcolor{tomato}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}}} + \dots = \ln 2

(2)

Vi sammenligner venstre side i likning (2) med svaret vi fikk da vi integrerte venstre side i likning (1).

\textcolor{orange}{x}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2}x^{2}}+\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3}x^{3}}+ \textcolor{tomato}{\frac{1}{4}x^{4}} + \dots=\textcolor{orange}{\frac{1}{2^{1}}}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}} +\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}}} +\textcolor{tomato}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}}} + \dots

(3)

Ved sammenligning av leddene ser vi at $x=\frac{1}{2}$ er en løsning av likning (3).

Siden $x=\frac{1}{2}$ , så sjekker vi hva $-\ln \left| 1-x \right|$ gir oss når $x=\frac{1}{2}$

-\ln \left| 1-x \right| = - \ln \left| 1-\frac{1}{2} \right| =-\ln \underbrace{ \left| \frac{1}{2} \right| }_{ \left| \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} } = \underbrace{ {- \ln \left( \frac{1}{2} \right) =-\left( \cancelto{ 0 }{ \ln 1 } - \ln 2 \right)}}_{\text{Regel:} \ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln a - \ln b} =\ln 2

Vi har altså vist at

x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{4} + \dots = -\ln \left| 1-x \right|

Og for $x=\frac{1}{2}$ gjelder derfor:

\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2 \qquad \blacksquare

Sensorveiledning

Kandidater som integrerer riktig, kan få 1 poeng. Kandidater som viser sammenhengen ved bruk av en annen metode, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: bevis, utforskning, integral, uendelig rekke, rekker, substitusjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 1-1 : Integraler S2 v25

Oppgave 1-2 : Bestem f ut fra den deriverte

Oppgave 1-3 : Sannsynlighetsfordeling til brettspill

Oppgave 1-4 : Ukjente programmer S2 v25

Oppgave 1-5 : Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25

Oppgave 1-6 : Hypotesetest bensin

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

Oppgave 2-2 : Normalfordelt hoppkonkurranse

Oppgave 2-3 : Logistisk salg av brannvarslingssystemer

Oppgave 2-4 : Noras sparing og lån

Oppgave 2-5 : Vis at rekke blir ln 2

Integrasjon av høyre side

Integrasjon av venstre side

Vise at rekka er lik $\ln 2$

S2 Vår 2025

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 1-1 : Integraler S2 v25

Oppgave 1-2 : Bestem f ut fra den deriverte

Oppgave 1-3 : Sannsynlighetsfordeling til brettspill

Oppgave 1-4 : Ukjente programmer S2 v25

Oppgave 1-5 : Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25

Oppgave 1-6 : Hypotesetest bensin

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

Oppgave 2-2 : Normalfordelt hoppkonkurranse

Oppgave 2-3 : Logistisk salg av brannvarslingssystemer

Oppgave 2-4 : Noras sparing og lån

Oppgave 2-5 : Vis at rekke blir ln 2

Integrasjon av høyre side

Integrasjon av venstre side

Vise at rekka er lik ln⁡2\ln 2ln2

Vise at rekka er lik $\ln 2$