Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25

Figuren viser grafen til en kostnadsfunksjon $K$ og to rette linjer.
Linjen $y=138x-9920$ tangerer grafen $K$ i punktet $\left( 180, \,14\,920 \right)$ .

Kostnadsfunksjon med to rette linjer

Bruk figuren til å finne enhetskostnaden og grensekostnaden når det blir produsert 180 enheter. Husk å begrunne svarene.

Vi setter prisen per enhet til $p$ kroner, slik at inntekten $I(x)$ kroner er gitt ved $I(x)=p \cdot x$ .

Bestem prisen $p$ slik at overskuddet vil bli størst mulig ved produksjon og salg av 180 enheter

Fasit

Enhetskostnaden er 82,89 kr/enhet og grensekostnaden er 138 kr/enhet.

138 kr

Løsningsforslag

Enhetskostnaden når det produseres 180 enheter er gitt ved

E(180)=\frac{K(180)}{180}=\frac{14\,920}{180}=82{,}89

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, og grensekostnaden ved 180 enheter er derfor lik stigningstallet til tangenten til $K$ ved $x=180$ . Jeg leser av stigningstallet til tangenten og finner at grensekostnaden er 138.

Enhetskostnaden ved 180 enheter er 82,89 kr/enhet og grensekostnaden er 138 kr/enhet.

For at vi skal ha størst overskudd må $I'(x)=K'(x)$ . Vi bestemmer grenseinntekten.

I(x)=p \cdot x \implies I'(x)=p

For å finne prisen som gir størst overskudd ved produksjon og salg av 180 enheter så setter vi opp $I'(180)=K'(180)$ .

I'(180)=K'(180) \iff p = 138

Prisen 138 kr gir oss størst overskudd ved produksjon og salg av 180 enheter.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne enhetskostnad og 1 poeng for å finne grensekostnaden.

Kandidater som setter opp at størst overskudd gis ved $I'(x)=K'(x)$ kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2025, del 1, oppgave 5
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: tolke grafer, enhetskostnad, grenseinntekt og grensekostnad, overskudd
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene