Hypotesetest bensin

Benz A/S har utviklet en ny type bensin som de mener øker kjørelengden per liter. Den gamle bensinen gir en gjennomsnittlig kjørelengde på $20 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$ , med et standardavvik på $2{,}5 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$ .

Benz A/S ønsker å teste om den nye bensinen øker kjørelengden, og planlegger å gjennomføre en hypotesetest med 25 biler.

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese for testen.

Det viser seg at de 25 bilene kjører i gjennomsnitt $21 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$ . Gå ut fra at kjørelengden er normalfordelt med standardavvik $2{,}5 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$ .

Gjennomfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om Benz A/S kan si at den nye bensinen øker kjørelengden. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$H_{0}: \, \mu=20, \quad H_{A}: \, \mu > 20$

Vi kan forkaste $H_{0}$ med $p$ -verdien 0,0228

Løsningsforslag

Vi ønsker å teste om den nye bensinen gir bedre drivstofføkonomi enn den gamle. La $\mu$ være forventningsverdien for kjørelengde per L for den nye bensinen. Da er hypotesene våre:

\begin{aligned} H_{0}: \quad \mu=20\\ H_{A}: \quad \mu > 20 \end{aligned}

Denne hypotesetesten er av et gjennomsnitt. La $\bar{X}$ være gjennomsnittsverdien for drivstofføkonomien for et utvalg av biler. Etter sentralgrensesetningen er $\bar{X}$ normalfordelt med:

\begin{aligned} E(\bar{X}) &= \mu = 20 \\ \text{SD}(\bar{X})&=\frac{\text{SD}(X)}{\sqrt{ n }} = \frac{2{,}5}{\sqrt{ 25 }}=\frac{2{,}5}{5}=\frac{1}{2} \end{aligned}

Observasjonen vår er $\bar{X}=21$ . Vi gjør om til standard normalfordeling:

z=\frac{\bar{X}-\mu}{\text{SD}(\bar{X})}=\frac{21-20}{0{,}5}=2

Sannsynligheten for at $\bar{X}$ skal ligge mer enn 2 standardavvik over forventningsverdien er kan vi finne ved hjelp av den vedlagte normalfordelingstabellen.

P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228

p-verdien er 0,0228, som er mindre enn signifikansnivået vårt. Vi kan dermed forkaste nullhypotesen om at den nye bensinen er like god som den gamle.

Sensorveiledning

Kandidater som setter opp både nullhypotese og alternativ hypotese med tekst kan få full uttelling.

Kandidater som utfører testen, men med feil standardavvik kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2025, del 1, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: hypotesetest, standard normalfordeling, normalfordeling, sentralgrenseteoremet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet