Vi har fått oppgitt at

Vi gjennomfører resonnementet vårt i flere steg.

Integrasjon av høyre side

Vi ser først på høyre side av likning (1). Vi ser at vi kan integrere denne siden ved å gjøre variabelskiftet $u=1-x \implies \frac{du}{dx}=-1 \iff dx =-1 \cdot du$.

Integralet blir (sett bort fra integrasjonskonstantene)

$$\int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{u} \cdot (-1)\, \mathrm{d}u = -\int \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u = -\ln \left| 1-x \right|$$

Integrasjon av venstre side

Vi gjennomfører så integrasjonene på venstre side av likning (1) og får

$$\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots =\textcolor{orange}{x}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2}x^{2}}+\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3}x^{3}}+ \textcolor{tomato}{\frac{1}{4}x^{4}} + \dots$$

Ved å integrere begge sidene av likning (1) har vi altså foreløpig vist at:

$$x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{4} + \dots = -\ln \left| 1-x \right|$$

Vise at rekka er lik $\ln 2$

Vi skal vise at

Vi sammenligner venstre side i likning (2) med svaret vi fikk da vi integrerte venstre side i likning (1).

Ved sammenligning av leddene ser vi at $x=\frac{1}{2}$ er en løsning av likning (3).

Siden $x=\frac{1}{2}$, så sjekker vi hva $-\ln \left| 1-x \right|$ gir oss når $x=\frac{1}{2}$

$$-\ln \left| 1-x \right| = - \ln \left| 1-\frac{1}{2} \right| =-\ln \underbrace{ \left| \frac{1}{2} \right| }_{ \left| \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} } = \underbrace{ {- \ln \left( \frac{1}{2} \right) =-\left( \cancelto{ 0 }{ \ln 1 } - \ln 2 \right)}}_{\text{Regel:} \ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln a - \ln b} =\ln 2$$

Vi har altså vist at

$$x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{4} + \dots = -\ln \left| 1-x \right|$$

Og for $x=\frac{1}{2}$ gjelder derfor:

$$\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2 \qquad \blacksquare$$