S2 Vår 2019

S2 Vår 2019 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler
1-1	Derivasjon av tre typer funksjoner	KI
1-2	Polynom med faktorisering	—
1-3	Fjerdegradspolynom med faktorer	KI
1-4	Aritmetisk rekke med formel	KI
1-5	Sprettball og uendelig rekke	KI
1-6	Tredjegradsfunksjon med transformasjon	KI
1-7	Terningspill med to terninger	KI
1-8	Normalfordeling med ukjente parametere	KI
Del 2 2 timer med hjelpemidler
2-1	Sjørøverskatt med mynter	KI
2-2	Harer på øy	KI
2-3	Etterspørsel og grensekostnad vare	KI
2-4	Annuitetslån og serielån Pia	KI
2-5	Hypotesetest om russetid	✔︎

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre typer funksjoner

Deriver funksjonene

$f(x) = 5x^4 - 10 + e^x$

$g(x) = 2x \cdot \ln x$

$h(x) = \dfrac{8}{1 + e^{-2x}}$

Fasit

$f'(x) = 20x^3 + e^x$

$g'(x) = 2\ln x + 2$

$h'(x) = \dfrac{16e^{-2x}}{(1 + e^{-2x})^2}$

LøsningsforslagKI-generert

f(x) = 5x^4 - 10 + e^x

Vi deriverer ledd for ledd:

\underline{\underline{f'(x) = 20x^3 + e^x}}

g(x) = 2x \cdot \ln x

Vi bruker produktregelen $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ med $u = 2x$ og $v = \ln x$ :

g'(x) = 2 \cdot \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = \underline{\underline{2\ln x + 2}}

h(x) = \frac{8}{1 + e^{-2x}} = 8 \cdot (1 + e^{-2x})^{-1}

Vi bruker kjerneregelen med $u = 1 + e^{-2x}$ :

h'(x) = 8 \cdot (-1) \cdot (1 + e^{-2x})^{-2} \cdot (-2) \cdot e^{-2x} = \underline{\underline{\frac{16e^{-2x}}{(1 + e^{-2x})^2}}}

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: derivasjon, eksponentialfunksjoner, logaritmer
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-2 : Polynom med faktorisering

Et polynom $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4

Begrunn at $P(x)$ er delelig med $(x - 1)$ .

Faktoriser $P(x)$ i førstegradsfaktorer.

Fasit

$P(1)=0$ , altså må $(x-1)$ være en faktor i $P(x)$ .

$P(x)=(x-1)^{2}(x-4)$

Løsningsforslag

$P(x)$ vil være delelig med $(x-1)$ dersom vi kan faktorisere $P(x)$ på denne måten $P(x)=(x-1) \cdot a(x-x_{1})(x-x_{2})$ . For å kunne gjennomføre denne faktorisering så må $x=1$ være et nullpunkt til $P$ .

P(1)=1^{3}-6\cdot 1^{2}+9\cdot 1 - 4=1-6+9-4=0

$(x-1)$ må være en faktor i $P$ og $P$ må derfor være delelig på $(x-1)$ .

$(x-1)$ er en faktor. Vi gjennomfører polynomdivisjon for å kunne finne de de andre faktorene.

\begin{aligned} &\phantom{0}(x^3 - 6x^2 + 9x - 4) : (x - 1) = x^2 - 5x + 4 \\ &\underline{-(x^3 - x^2)} \\ &\phantom{0000} -5x^2 + 9x \\ &\phantom{000} \underline{-(-5x^2 + 5x)} \\ &\phantom{000000000000} 4x - 4 \\ &\phantom{0000000000} \underline{-(4x - 4)} \\ &\phantom{00000000000000000} 0 \end{aligned}

Dette gir oss at $P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 4)$ .

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^2 - 5x + 4$ ved hjelp av heltallsmetoden. Vi ser etter to tall som har sum $-5$ og produkt $4$ . Tallene er $-1$ og $-4$ :

x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-3 : Fjerdegradspolynom med faktorer

Et polynom $Q$ er gitt ved

Q(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 12

Du får oppgitt at $(x + 1)$ , $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q(x)$ .

Vis at dette gir likningssystemet

a - b + c = -11

a + b + c = 11

8a + 4b + 2c = -4

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se løsningsforslag

$a = -8$ , $b = 11$ , $c = 8$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $(x + 1)$ , $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q(x)$ , vet vi at $Q(-1) = 0$ , $Q(1) = 0$ og $Q(2) = 0$ .

$Q(-1) = 0$ :

(-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) - 12 = 0

1 - a + b - c - 12 = 0

a - b + c = -11

$Q(1) = 0$ :

1 + a + b + c - 12 = 0

a + b + c = 11

$Q(2) = 0$ :

16 + 8a + 4b + 2c - 12 = 0

8a + 4b + 2c = -4

Fra likning 1 og 2:

(a + b + c) - (a - b + c) = 11 - (-11)

2b = 22 \implies b = 11

Setter $b = 11$ inn i likning 1: $a + c = -11 + 11 = 0$ , altså $c = -a$ .

Setter $b = 11$ og $c = -a$ inn i likning 3:

8a + 44 - 2a = -4 \implies 6a = -48 \implies a = -8

Da er $c = -(-8) = 8$ .

\underline{\underline{a = -8, \quad b = 11, \quad c = 8}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: polynomdivisjon, likningssystem
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-4 : Aritmetisk rekke med formel

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme

1 + 7 + 13 + 19 + \cdots + 295

For en annen aritmetisk rekke gjelder

a_5 - a_2 = 12

a_1 + a_2 + a_3 = 18

Bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$ .

Fasit

$7400$

$a_n = 4n - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har en aritmetisk rekke med $a_1 = 1$ og $d = 6$ .

Finner antall ledd: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ gir

295 = 1 + (n-1) \cdot 6 \implies n - 1 = \frac{294}{6} = 49 \implies n = 50

Summen av rekken er

s_{50} = \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{1 + 295}{2} \cdot 50 = 148 \cdot 50 = \underline{\underline{7400}}

Fra $a_5 - a_2 = 12$ får vi

\bigl(a_1 + 4d\bigr) - \bigl(a_1 + d\bigr) = 12 \implies 3d = 12 \implies d = 4

Fra $a_1 + a_2 + a_3 = 18$ får vi

a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 18 \implies 3a_1 + 3d = 18

3a_1 + 12 = 18 \implies a_1 = 2

Formelen for $a_n$ blir

\underline{\underline{a_n = 2 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 2}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-5 : Sprettball og uendelig rekke

En ball slippes fra en høyde på 10,0 m. Første gang ballen treffer bakken, spretter den 6,0 m loddrett opp. Hver gang den så treffer bakken igjen, spretter den loddrett opp til en høyde som er 60 % av høyden den fikk ved forrige sprett.

Bestem den totale distansen ballen har tilbakelagt fra den slippes, til den faller til ro.

Fasit

$40{,}0 \text{ m}$

LøsningsforslagKI-generert

Ballen faller først $10{,}0$ m ned. Deretter spretter den $6{,}0$ m opp og $6{,}0$ m ned, så $6{,}0 \cdot 0{,}6 = 3{,}6$ m opp og ned, osv.

Etter det første fallet beveger ballen seg opp og ned for hver sprett, så vi ganger med 2. Sprettene danner en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 6{,}0$ og $k = 0{,}6$ :

\text{Total distanse} = 10{,}0 + 2 \cdot \frac{a_1}{1 - k} = 10{,}0 + 2 \cdot \frac{6{,}0}{1 - 0{,}6} = 10{,}0 + 2 \cdot 15{,}0 = \underline{\underline{40{,}0 \text{ m}}}

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: uendelig rekke, rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 4)

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = -2 \cdot f(x) + 3

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

Toppunkt $(1, 0)$ , bunnpunkt $(3, -4)$

Vendepunkt $(2, -2)$

Se løsningsforslag

Toppunkt $(3, 11)$ , bunnpunkt $(1, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider $f(x)$ :

f(x) = (x-1)^2(x-4) = (x^2 - 2x + 1)(x - 4) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4

Deriverer:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

Setter $f'(x) = 0$ : $x = 1$ eller $x = 3$ .

Fortegnslinje for $f'(x)$ :

$x$	$x < 1$	$x = 1$	$1 < x < 3$	$x = 3$	$x > 3$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	stiger		synker		stiger

$f(1) = 0$ : Toppunkt $\underline{\underline{(1, 0)}}$
$f(3) = (3-1)^2(3-4) = 4 \cdot (-1) = -4$ : Bunnpunkt $\underline{\underline{(3, -4)}}$

f''(x) = 6x - 12 = 0 \implies x = 2

$f''$ skifter fortegn i $x = 2$ (fra negativ til positiv), så dette er et vendepunkt.

f(2) = (2-1)^2(2-4) = 1 \cdot (-2) = -2

Vendepunkt $\underline{\underline{(2, -2)}}$

Grafen krysser $x$ -aksen i $x = 1$ (dobbeltrot) og $x = 4$ . Vi har toppunkt $(1, 0)$ , bunnpunkt $(3, -4)$ og vendepunkt $(2, -2)$ .

Siden $g(x) = -2 \cdot f(x) + 3$ , er grafen til $g$ en speiling av $f$ om $x$ -aksen, strukket med faktor 2, og flyttet 3 opp. De stasjonære punktene har samme $x$ -verdier:

$f$ har toppunkt i $x = 1 \implies g$ har bunnpunkt: $g(1) = -2 \cdot 0 + 3 = 3$ . Bunnpunkt $\underline{\underline{(1, 3)}}$
$f$ har bunnpunkt i $x = 3 \implies g$ har toppunkt: $g(3) = -2 \cdot (-4) + 3 = 11$ . Toppunkt $\underline{\underline{(3, 11)}}$

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: funksjonsdrøfting, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-7 : Terningspill med to terninger

Vi har to terninger som begge har seks sider. Den ene er en vanlig terning, mens den andre har fire sider som viser ett øye, én side som viser to øyne, og én side som viser tre øyne.

Vi lar $X$ være summen av antall øyne vi får når vi kaster de to terningene.

Skriv av tabellen, og fyll ut sannsynlighetsfordelingen.

$k$	2	3	4	5	6	7	8	9
$P(X = k)$	$\dfrac{4}{36}$	$\dfrac{5}{36}$	$\dfrac{6}{36}$	$\dfrac{6}{36}$		$\dfrac{6}{36}$		$\dfrac{1}{36}$
b) Vis at $\text{E}(X) = 5$ .

De to terningene brukes i et pengespill.

Dersom summen av antall øyne blir 5 eller mindre i ett kast, gis det ingen gevinst.
Dersom summen av antall øyne blir 6, 7 eller 8 i ett kast, gis det 72 kroner i gevinst.
Dersom summen av antall øyne blir 9 i ett kast, gis det 360 kroner i gevinst.

Vi lar $Y$ være gevinsten du får når du kaster terningene én gang.

Anslå om du kan forvente å gå i overskudd i det lange løp dersom det koster 40 kroner for hver gang du kaster terningene.

Fasit

$P(X = 6) = \dfrac{6}{36}$ , $P(X = 8) = \dfrac{2}{36}$

Se løsningsforslag

$\text{E}(Y) = 38 \text{ kr}$ . Nei, du kan ikke forvente å gå i overskudd.

LøsningsforslagKI-generert

Den vanlige terningen viser 1–6 med lik sannsynlighet $\frac{1}{6}$ . Den spesielle terningen har $P(1) = \frac{4}{6}$ , $P(2) = \frac{1}{6}$ og $P(3) = \frac{1}{6}$ .

$P(X = 6)$ : Vi trenger kombinasjonene (vanlig, spesiell) som gir sum 6:

$(3, 3)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
$(4, 2)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
$(5, 1)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{36}$

P(X = 6) = \frac{1 + 1 + 4}{36} = \underline{\underline{\frac{6}{36}}}

$P(X = 8)$ : Kombinasjoner som gir sum 8:

$(5, 3)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
$(6, 2)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

P(X = 8) = \frac{1 + 1}{36} = \underline{\underline{\frac{2}{36}}}

\text{E}(X) = \sum_{k=2}^{9} k \cdot P(X = k)

= 2 \cdot \frac{4}{36} + 3 \cdot \frac{5}{36} + 4 \cdot \frac{6}{36} + 5 \cdot \frac{6}{36} + 6 \cdot \frac{6}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{2}{36} + 9 \cdot \frac{1}{36}

= \frac{8 + 15 + 24 + 30 + 36 + 42 + 16 + 9}{36} = \frac{180}{36} = \underline{\underline{5}}

Vi finner forventet gevinst $\text{E}(Y)$ :

P(X \in \{6, 7, 8\}) = \frac{6 + 6 + 2}{36} = \frac{14}{36}

P(X = 9) = \frac{1}{36}

\text{E}(Y) = 72 \cdot \frac{14}{36} + 360 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1008 + 360}{36} = \frac{1368}{36} = 38 \text{ kr}

Siden det koster 40 kr per kast og forventet gevinst er 38 kr, er forventet nettoresultat $38 - 40 = -2$ kr per kast.

Du kan ikke forvente å gå i overskudd i det lange løp.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: sannsynlighet, forventningsverdi
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

Oppgave 1-8 : Normalfordeling med ukjente parametere

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

La $X$ være normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 1$ og varians $\sigma^2 = 4$ .

Bestem $P(2 < X < 3)$ .

Om en annen normalfordelt stokastisk variabel $Y$ får du vite at $P(Y \leq 0{,}92) = 0{,}0228$ og $P(Y \geq 1{,}41) = 0{,}0668$ .

Bestem $\mu$ og $\sigma$ .

Fasit

$P(2 < X < 3) \approx 0{,}15$

$\mu = 1{,}20$ og $\sigma = 0{,}14$

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er normalfordelt med $\mu = 1$ og $\sigma^2 = 4$ , altså $\sigma = 2$ .

Vi standardiserer:

z_1 = \frac{2 - 1}{2} = 0{,}5 \qquad z_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1{,}0

P(2 < X < 3) = \Phi(1{,}0) - \Phi(0{,}5) = 0{,}8413 - 0{,}6915 = \underline{\underline{0{,}1498 \approx 0{,}15}}

Vi slår opp i tabellen og finner $z$ -verdiene:

P(Y \leq 0{,}92) = 0{,}0228 \implies \frac{0{,}92 - \mu}{\sigma} = -2{,}00

P(Y \geq 1{,}41) = 0{,}0668 \implies P(Y \leq 1{,}41) = 0{,}9332 \implies \frac{1{,}41 - \mu}{\sigma} = 1{,}50

Vi har likningssystemet:

0{,}92 - \mu = -2\sigma \quad \text{(I)}

1{,}41 - \mu = 1{,}5\sigma \quad \text{(II)}

Trekker (I) fra (II):

1{,}41 - 0{,}92 = 1{,}5\sigma + 2\sigma \implies 0{,}49 = 3{,}5\sigma \implies \sigma = 0{,}14

Setter inn i (I):

\mu = 0{,}92 + 2 \cdot 0{,}14 = 1{,}20

\underline{\underline{\mu = 1{,}20 \quad \text{og} \quad \sigma = 0{,}14}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: normalfordeling, standard normalfordeling
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen

Oppgave 2-1 : Sjørøverskatt med mynter

En sjørøverskatt har mynter med verdiene 1, 5 og 10 skilling. Myntene veier henholdsvis 5 g, 8 g og 12 g. Du får vite at

skatten inneholder 85 mynter
den samlede verdien er på 356 skilling
den samlede vekten er 633 g

Bruk opplysningene til å sette opp tre likninger med tre ukjente.

Bruk CAS til å løse likningssystemet du satte opp i oppgave a).

Fasit

Se løsningsforslag

41 mynter med verdi 1, 25 mynter med verdi 5, 19 mynter med verdi 10

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ , $y$ og $z$ være antall mynter med verdiene 1, 5 og 10 skilling.

Antall mynter: $x + y + z = 85$

Samlet verdi: $x + 5y + 10z = 356$

Samlet vekt: $5x + 8y + 12z = 633$

Vi skriver inn i CAS:

CAS: Sjørøverskatt

Vi får $\underline{\underline{x = 41, \; y = 25, \; z = 19}}$ .

Skatten inneholder 41 mynter med verdi 1 skilling, 25 mynter med verdi 5 skilling og 19 mynter med verdi 10 skilling.

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: likningssystem

Oppgave 2-2 : Harer på øy

På en øy ble det satt ut 50 harer. Tabellen nedenfor viser hvor mange harer det var på øya etter 0, 10, 20 og 30 uker.

Antall uker etter utsettingen	0	10	20	30
Antall harer	50	104	156	184

Antall harer på øya $t$ uker etter at harene ble satt ut, kan ifølge en forsker modelleres med en funksjon $g$ på formen

g(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}

Bruk regresjon til å bestemme $N$ , $a$ og $k$ .

Hvilken informasjon gir tallet $N$ i denne situasjonen?

Fasit

$N \approx 200$ , $a \approx 3{,}00$ , $k \approx 0{,}118$

$N = 200$ er den øvre grensen for antall harer på øya (bæreevnen).

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logistisk regresjon i CAS med datapunktene $(0, 50)$ , $(10, 104)$ , $(20, 156)$ og $(30, 184)$ .

Regresjonen gir

\underline{\underline{N \approx 200, \quad a \approx 3{,}00, \quad k \approx 0{,}118}}

slik at modellen blir

g(t) = \frac{200}{1 + 3{,}00 \cdot e^{-0{,}118t}}

Tallet $N = 200$ er den øvre grensen (bæreevnen) for antall harer på øya. Når $t \to \infty$ , nærmer $g(t)$ seg $N = 200$ . Det betyr at bestanden aldri vil overstige omtrent 200 harer.

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: logistisk funksjon, regresjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Oppgave 2-3 : Etterspørsel og grensekostnad vare

En ny vare blir lansert i et område. Vi antar at funksjonen $q$ gitt ved

q(t) = 230 \cdot e^{0{,}015t}, \quad t \in [0, 52]

er en god modell for etterspørselen etter varen per uke, $t$ uker etter lanseringen.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $q$ .

Enhetsprisen for varen settes lik 50 kroner det første året.

Bestem inntekten i uke 40 etter lanseringen.

Bestem den samlede inntekten de første 52 ukene etter lanseringen.

Etter at varen har vært i markedet i ett år, vil enhetsprisen $p$ kroner være en funksjon av den ukentlige etterspørselen $x$ . Vi går ut fra at $p$ er gitt ved

p(x) = -0{,}01x + 60, \quad x \in [500, 2000]

Grensekostnaden ved produksjon av $x$ enheter er

K'(x) = 0{,}02x + 25, \quad x \in [500, 2000]

Hva må enhetsprisen være for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

Se løsningsforslag

$\approx 20\,955 \text{ kr}$

$\approx 905\,795 \text{ kr}$

$51{,}25 \text{ kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $q(t) = 230 \cdot e^{0{,}015t}$ for $t \in [0, 52]$ i GeoGebra.

Graf: Etterspørsel

Inntekten i uke 40 er antall solgte enheter ganger enhetspris:

I_{40} = q(40) \cdot 50 = 230 \cdot e^{0{,}015 \cdot 40} \cdot 50

Vi regner ut i CAS og får

I_{40} \approx \underline{\underline{20\,955 \text{ kr}}}

Den samlede inntekten er

I = 50 \cdot \int_0^{52} 230 \cdot e^{0{,}015t} \, \mathrm{d}t

Vi bruker CAS til å definere $q$ , beregne integralet og løse optimeringen:

CAS: Etterspørsel og grensekostnad

Fra linje 2 i CAS leser vi av at den samlede inntekten er $\approx \underline{\underline{905\,795 \text{ kr}}}$ .

Inntektsfunksjonen er $I(x) = x \cdot p(x) = x(-0{,}01x + 60) = -0{,}01x^2 + 60x$ .

Grenseinntekten er $I'(x) = -0{,}02x + 60$ .

Overskuddet er størst når grenseinntekt er lik grensekostnad. Fra linje 4 i CAS ser vi at $x = 875$ .

Enhetsprisen blir

p(875) = -0{,}01 \cdot 875 + 60 = \underline{\underline{51{,}25 \text{ kr}}}

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: etterspørsel, eksponentialfunksjoner, grenseinntekt og grensekostnad, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Oppgave 2-4 : Annuitetslån og serielån Pia

Pia vurderer å låne 800 000 kroner. En bank tilbyr henne et annuitetslån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Første innbetaling er om ett år.

Sett opp en geometrisk rekke som kan brukes til å bestemme terminbeløpet. Bruk CAS til å bestemme terminbeløpet.

Banken tilbyr henne også et serielån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Tabellen nedenfor viser avdrag, renter, terminbeløp og restlån for de tre første terminene.

Termin	Avdrag	Renter	Terminbeløp	Restlån
1	40 000	24 000	64 000	760 000
2	40 000	22 800	62 800	720 000
3	40 000	21 600	61 600	680 000

Forklar at terminbeløpene danner en aritmetisk følge. Bestem summen av de 20 terminbeløpene for dette serielånet.

En annen bank tilbyr henne et serielån på 800 000 kroner. Dette lånet har en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats per år. Summen av alle terminbeløpene for dette lånet blir 1 000 000 kroner.

Bestem den faste rentesatsen per år for dette lånet.

Fasit

$T \approx 53\,773 \text{ kr}$

Summen er $1\,052\,000 \text{ kr}$

$r \approx 2{,}38 \, \%$

LøsningsforslagKI-generert

Nåverdien av alle terminbeløpene $T$ skal være lik lånebeløpet. Med vekstfaktor $1{,}03$ per år:

800\,000 = \frac{T}{1{,}03} + \frac{T}{1{,}03^2} + \cdots + \frac{T}{1{,}03^{20}}

Dette er en geometrisk rekke med $a_1 = \frac{T}{1{,}03}$ og $k = \frac{1}{1{,}03}$ :

800\,000 = \frac{T}{1{,}03} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{1{,}03}\right)^{20}}{1 - \frac{1}{1{,}03}}

Vi løser i CAS:

CAS: Annuitetslån

Fra linje 2 leser vi av $\underline{\underline{T \approx 53\,773 \text{ kr}}}$ .

Avdraget er konstant: $\frac{800\,000}{20} = 40\,000 \text{ kr}$ .

Renten i termin $n$ er $0{,}03 \cdot (800\,000 - (n-1) \cdot 40\,000)$ . Renten avtar med $0{,}03 \cdot 40\,000 = 1\,200 \text{ kr}$ per termin.

Terminbeløpene er $64\,000, \; 62\,800, \; 61\,600, \ldots$ som er en aritmetisk følge med $a_1 = 64\,000$ og $d = -1\,200$ .

Siste terminbeløp: $a_{20} = 64\,000 + 19 \cdot (-1\,200) = 41\,200$

s_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{64\,000 + 41\,200}{2} \cdot 20 = \underline{\underline{1\,052\,000 \text{ kr}}}

For et serielån med avdrag $40\,000$ og rentesats $r$ per år:

Terminbeløp i termin $n$ : $40\,000 + r \cdot (800\,000 - (n-1) \cdot 40\,000)$

Summen av alle terminbeløpene:

\sum_{n=1}^{20} \left(40\,000 + r \cdot (800\,000 - (n-1) \cdot 40\,000)\right) = 1\,000\,000

20 \cdot 40\,000 + r \cdot \sum_{n=1}^{20}(800\,000 - (n-1) \cdot 40\,000) = 1\,000\,000

800\,000 + r \cdot \frac{800\,000 + 420\,000}{2} \cdot 20 = 1\,000\,000

800\,000 + r \cdot 8\,400\,000 = 1\,000\,000

r = \frac{200\,000}{8\,400\,000} \approx \underline{\underline{0{,}0238 = 2{,}38 \, \%}}

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: lån, rekker, økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 2-5 : Hypotesetest om russetid

Tidligere statistikk fra en skole viser at 32 % av elevene i Vg3 hadde én eller flere timer fravær i russetiden.

Vi trekker tilfeldig ut 27 elever i Vg3. Vi antar at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har fravær, er $p=0{,}32$ og er uavhengig av de andre elevenes fravær.

Bestem sannsynligheten for at minst 20 av disse elevene ikke har fravær i russetiden.

Ledelsen ved skolen hadde en mistanke om at det nye fraværsreglementet som ble innført i august 2016, ville føre til mindre fravær. Før russetiden startet, satte de derfor opp to hypoteser som de ønsket å teste.

\begin{aligned} H_{0}&: \quad p=0{,}32 \\ H_{1}&: \quad p<0{,}32 \end{aligned}

De ønsket å bruke et signifikansnivå på 5 %.

Det var 120 elever i Vg3 på skolen dette skoleåret.

Hva er det høyeste antall elever som kan ha fravær i russetiden, for at $H_{0}$ skal forkastes?

Fasit

$P(X \leq 7) \approx 0{,}33$

Høyst 29 elever med fravær

Løsningsforslag

La $X$ = antall elever av de 27 som har fravær. $X$ er binomisk fordelt med $n = 27$ og $p = 0{,}32$ .

«Minst 20 ikke har fravær» betyr at høyst $27 - 20 = 7$ elever har fravær, altså $X \leq 7$ .

P(X \leq 7) \approx \underline{\underline{0{,}33}}

Sannsynligheten for at minst 20 av 27 elever ikke har fravær er $\underline{\underline{0{,}33}}$ .

La $X$ = antall elever med fravær blant de 120. Under $H_0$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 120$ og $p = 0{,}32$ . Vi legger inn i GeoGebra og justerer på grensen helt fram til vi finner en sannsynlighet som ligger under signifikansnivået $\alpha$ .

P(X \leq 29) \approx 0{,}038 < 0{,}05 \quad \checkmark

P(X \leq 30) \approx 0{,}059 > 0{,}05 \quad \times

Det høyeste antallet elever som kan ha fravær for at $H_0$ forkastes, er $\underline{\underline{29}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: binomisk, normalfordeling, hypotesetest
Kompetansemål: Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre typer funksjoner

Oppgave 1-2 : Polynom med faktorisering

Oppgave 1-3 : Fjerdegradspolynom med faktorer

Oppgave 1-4 : Aritmetisk rekke med formel

Oppgave 1-5 : Sprettball og uendelig rekke

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Oppgave 1-7 : Terningspill med to terninger

Oppgave 1-8 : Normalfordeling med ukjente parametere

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Sjørøverskatt med mynter

Oppgave 2-2 : Harer på øy

Oppgave 2-3 : Etterspørsel og grensekostnad vare

Oppgave 2-4 : Annuitetslån og serielån Pia

Oppgave 2-5 : Hypotesetest om russetid