S2 Vår 2019

Oppgave 1-1Derivasjon av tre typer funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 5 x^{4} - 10 + e^{x}

g (x) = 2 x \cdot \ln x

h (x) = \frac{8}{1 + e^{- 2 x}}

Fasit

$f^{'} (x) = 20 x^{3} + e^{x}$

$g^{'} (x) = 2 \ln x + 2$

$h^{'} (x) = \frac{16 e^{- 2 x}}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

f (x) = 5 x^{4} - 10 + e^{x}

Vi deriverer ledd for ledd:

f^{'} (x) = 20 x^{3} + e^{x}

g (x) = 2 x \cdot \ln x

Vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ med $u = 2 x$ og $v = \ln x$ :

g^{'} (x) = 2 \cdot \ln x + 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2

h (x) = \frac{8}{1 + e^{- 2 x}} = 8 \cdot {(1 + e^{- 2 x})}^{- 1}

Vi bruker kjerneregelen med $u = 1 + e^{- 2 x}$ :

h^{'} (x) = 8 \cdot (- 1) \cdot {(1 + e^{- 2 x})}^{- 2} \cdot (- 2) \cdot e^{- 2 x} = \frac{16 e^{- 2 x}}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Polynom med faktorisering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et polynom $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4

Begrunn at $P (x)$ er delelig med $(x - 1)$ .

Faktoriser $P (x)$ i førstegradsfaktorer.

Fasit

$P (1) = 0$ , altså må $(x - 1)$ være en faktor i $P (x)$ .

$P (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4)$

Løsningsforslag

$P (x)$ vil være delelig med $(x - 1)$ dersom vi kan faktorisere $P (x)$ på denne måten $P (x) = (x - 1) \cdot a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . For å kunne gjennomføre denne faktorisering så må $x = 1$ være et nullpunkt til $P$ .

P (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1 - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0

$(x - 1)$ må være en faktor i $P$ og $P$ må derfor være delelig på $(x - 1)$ .

$(x - 1)$ er en faktor. Vi gjennomfører polynomdivisjon for å kunne finne de de andre faktorene.

\begin{matrix} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4 & ) : (x - 1) = x^{2} - 5 x + 4 \\ x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 5 x^{2} + 9 x - 4 \\ - 5 x^{2} + 5 x + 0 \\ 4 x - 4 \\ 4 x - 4 \\ 0 \end{matrix}

Dette gir oss at $P (x) = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 4)$ .

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^{2} - 5 x + 4$ ved hjelp av heltallsmetoden. Vi ser etter to tall som har sum $- 5$ og produkt $4$ . Tallene er $- 1$ og $- 4$ :

x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Fjerdegradspolynom med faktorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et polynom $Q$ er gitt ved

Q (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x - 12

Du får oppgitt at $(x + 1)$ , $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q (x)$ .

Vis at dette gir likningssystemet

a - b + c = - 11

a + b + c = 11

8 a + 4 b + 2 c = - 4

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se løsningsforslag

$a = - 8$ , $b = 11$ , $c = 8$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $(x + 1)$ , $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q (x)$ , vet vi at $Q (- 1) = 0$ , $Q (1) = 0$ og $Q (2) = 0$ .

$Q (- 1) = 0$ :

{(- 1)}^{4} + a {(- 1)}^{3} + b {(- 1)}^{2} + c (- 1) - 12 = 0

1 - a + b - c - 12 = 0

a - b + c = - 11

$Q (1) = 0$ :

1 + a + b + c - 12 = 0

a + b + c = 11

$Q (2) = 0$ :

16 + 8 a + 4 b + 2 c - 12 = 0

8 a + 4 b + 2 c = - 4

Fra likning 1 og 2:

(a + b + c) - (a - b + c) = 11 - (- 11)

2 b = 22 ⟹ b = 11

Setter $b = 11$ inn i likning 1: $a + c = - 11 + 11 = 0$ , altså $c = - a$ .

Setter $b = 11$ og $c = - a$ inn i likning 3:

8 a + 44 - 2 a = - 4 ⟹ 6 a = - 48 ⟹ a = - 8

Da er $c = - (- 8) = 8$ .

a = - 8, b = 11, c = 8

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Likningssystem
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Aritmetisk rekke med formel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme

1 + 7 + 13 + 19 + \dots + 295

For en annen aritmetisk rekke gjelder

a_{5} - a_{2} = 12

a_{1} + a_{2} + a_{3} = 18

Bestem en formel for $a_{n}$ uttrykt ved $n$ .

Fasit

$7400$

$a_{n} = 4 n - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har en aritmetisk rekke med $a_{1} = 1$ og $d = 6$ .

Finner antall ledd: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ gir

295 = 1 + (n - 1) \cdot 6 ⟹ n - 1 = \frac{294}{6} = 49 ⟹ n = 50

Summen av rekken er

s_{50} = \frac{a_{1} + a_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{1 + 295}{2} \cdot 50 = 148 \cdot 50 = 7400

Fra $a_{5} - a_{2} = 12$ får vi

(a_{1} + 4 d) - (a_{1} + d) = 12 ⟹ 3 d = 12 ⟹ d = 4

Fra $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 18$ får vi

a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) = 18 ⟹ 3 a_{1} + 3 d = 18

3 a_{1} + 12 = 18 ⟹ a_{1} = 2

Formelen for $a_{n}$ blir

a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n - 2

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Sprettball og uendelig rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En ball slippes fra en høyde på 10,0 m. Første gang ballen treffer bakken, spretter den 6,0 m loddrett opp. Hver gang den så treffer bakken igjen, spretter den loddrett opp til en høyde som er 60 % av høyden den fikk ved forrige sprett.

Bestem den totale distansen ballen har tilbakelagt fra den slippes, til den faller til ro.

Fasit

$40,0 m$

LøsningsforslagKI-generert

Ballen faller først $10,0$ m ned. Deretter spretter den $6,0$ m opp og $6,0$ m ned, så $6,0 \cdot 0,6 = 3,6$ m opp og ned, osv.

Etter det første fallet beveger ballen seg opp og ned for hver sprett, så vi ganger med 2. Sprettene danner en uendelig geometrisk rekke med $a_{1} = 6,0$ og $k = 0,6$ :

Total distanse = 10,0 + 2 \cdot \frac{a_{1}}{1 - k} = 10,0 + 2 \cdot \frac{6,0}{1 - 0,6} = 10,0 + 2 \cdot 15,0 = 40,0 m

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Uendelig rekke, Rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = {(x - 1)}^{2} \cdot (x - 4)

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = - 2 \cdot f (x) + 3

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

Toppunkt $(1, 0)$ , bunnpunkt $(3, - 4)$

Vendepunkt $(2, - 2)$

Se løsningsforslag

Toppunkt $(3, 11)$ , bunnpunkt $(1, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider $f (x)$ :

f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4) = (x^{2} - 2 x + 1) (x - 4) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4

Deriverer:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)

Setter $f^{'} (x) = 0$ : $x = 1$ eller $x = 3$ .

Fortegnslinje for $f^{'} (x)$ :

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

$f (1) = 0$ : Toppunkt $(1, 0)$
$f (3) = {(3 - 1)}^{2} (3 - 4) = 4 \cdot (- 1) = - 4$ : Bunnpunkt $(3, - 4)$

f^{''} (x) = 6 x - 12 = 0 ⟹ x = 2

$f^{''}$ skifter fortegn i $x = 2$ (fra negativ til positiv), så dette er et vendepunkt.

f (2) = {(2 - 1)}^{2} (2 - 4) = 1 \cdot (- 2) = - 2

Vendepunkt $(2, - 2)$

Grafen krysser $x$ -aksen i $x = 1$ (dobbeltrot) og $x = 4$ . Vi har toppunkt $(1, 0)$ , bunnpunkt $(3, - 4)$ og vendepunkt $(2, - 2)$ .

Siden $g (x) = - 2 \cdot f (x) + 3$ , er grafen til $g$ en speiling av $f$ om $x$ -aksen, strukket med faktor 2, og flyttet 3 opp. De stasjonære punktene har samme $x$ -verdier:

$f$ har toppunkt i $x = 1 ⟹ g$ har bunnpunkt: $g (1) = - 2 \cdot 0 + 3 = 3$ . Bunnpunkt $(1, 3)$
$f$ har bunnpunkt i $x = 3 ⟹ g$ har toppunkt: $g (3) = - 2 \cdot (- 4) + 3 = 11$ . Toppunkt $(3, 11)$

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Terningspill med to terninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har to terninger som begge har seks sider. Den ene er en vanlig terning, mens den andre har fire sider som viser ett øye, én side som viser to øyne, og én side som viser tre øyne.

Vi lar $X$ være summen av antall øyne vi får når vi kaster de to terningene.

Skriv av tabellen, og fyll ut sannsynlighetsfordelingen.

$k$	2	3	4	5	6	7	8	9
$P (X = k)$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{6}{36}$		$\frac{6}{36}$		$\frac{1}{36}$
b) Vis at $E (X) = 5$ .

De to terningene brukes i et pengespill.

Dersom summen av antall øyne blir 5 eller mindre i ett kast, gis det ingen gevinst.
Dersom summen av antall øyne blir 6, 7 eller 8 i ett kast, gis det 72 kroner i gevinst.
Dersom summen av antall øyne blir 9 i ett kast, gis det 360 kroner i gevinst.

Vi lar $Y$ være gevinsten du får når du kaster terningene én gang.

Anslå om du kan forvente å gå i overskudd i det lange løp dersom det koster 40 kroner for hver gang du kaster terningene.

Fasit

$P (X = 6) = \frac{6}{36}$ , $P (X = 8) = \frac{2}{36}$

Se løsningsforslag

$E (Y) = 38 kr$ . Nei, du kan ikke forvente å gå i overskudd.

LøsningsforslagKI-generert

Den vanlige terningen viser 1–6 med lik sannsynlighet $\frac{1}{6}$ . Den spesielle terningen har $P (1) = \frac{4}{6}$ , $P (2) = \frac{1}{6}$ og $P (3) = \frac{1}{6}$ .

$P (X = 6)$ : Vi trenger kombinasjonene (vanlig, spesiell) som gir sum 6:

$(3, 3)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
$(4, 2)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
$(5, 1)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{36}$

P (X = 6) = \frac{1 + 1 + 4}{36} = \frac{6}{36}

$P (X = 8)$ : Kombinasjoner som gir sum 8:

$(5, 3)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
$(6, 2)$ : $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

P (X = 8) = \frac{1 + 1}{36} = \frac{2}{36}

E (X) = \sum_{k = 2}^{9} k \cdot P (X = k)

= 2 \cdot \frac{4}{36} + 3 \cdot \frac{5}{36} + 4 \cdot \frac{6}{36} + 5 \cdot \frac{6}{36} + 6 \cdot \frac{6}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{2}{36} + 9 \cdot \frac{1}{36}

= \frac{8 + 15 + 24 + 30 + 36 + 42 + 16 + 9}{36} = \frac{180}{36} = 5

Vi finner forventet gevinst $E (Y)$ :

P (X \in {6, 7, 8}) = \frac{6 + 6 + 2}{36} = \frac{14}{36}

P (X = 9) = \frac{1}{36}

E (Y) = 72 \cdot \frac{14}{36} + 360 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1008 + 360}{36} = \frac{1368}{36} = 38 kr

Siden det koster 40 kr per kast og forventet gevinst er 38 kr, er forventet nettoresultat $38 - 40 = - 2$ kr per kast.

Du kan ikke forvente å gå i overskudd i det lange løp.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Forventningsverdi
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Normalfordeling med ukjente parametere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

La $X$ være normalfordelt med forventningsverdi $μ = 1$ og varians $σ^{2} = 4$ .

Bestem $P (2 < X < 3)$ .

Om en annen normalfordelt stokastisk variabel $Y$ får du vite at $P (Y \leq 0,92) = 0,0228$ og $P (Y \geq 1,41) = 0,0668$ .

Bestem $μ$ og $σ$ .

Fasit

$P (2 < X < 3) \approx 0,15$

$μ = 1,20$ og $σ = 0,14$

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er normalfordelt med $μ = 1$ og $σ^{2} = 4$ , altså $σ = 2$ .

Vi standardiserer:

z_{1} = \frac{2 - 1}{2} = 0,5 z_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1,0

P (2 < X < 3) = Φ (1,0) - Φ (0,5) = 0,8413 - 0,6915 = 0,1498 \approx 0,15

Vi slår opp i tabellen og finner $z$ -verdiene:

P (Y \leq 0,92) = 0,0228 ⟹ \frac{0,92 - μ}{σ} = - 2,00

P (Y \geq 1,41) = 0,0668 ⟹ P (Y \leq 1,41) = 0,9332 ⟹ \frac{1,41 - μ}{σ} = 1,50

Vi har likningssystemet:

0,92 - μ = - 2 σ (I)

1,41 - μ = 1,5 σ (II)

Trekker (I) fra (II):

1,41 - 0,92 = 1,5 σ + 2 σ ⟹ 0,49 = 3,5 σ ⟹ σ = 0,14

Setter inn i (I):

μ = 0,92 + 2 \cdot 0,14 = 1,20

μ = 1,20 og σ = 0,14

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Standard normalfordeling
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Sjørøverskatt med mynter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sjørøverskatt har mynter med verdiene 1, 5 og 10 skilling. Myntene veier henholdsvis 5 g, 8 g og 12 g. Du får vite at

skatten inneholder 85 mynter
den samlede verdien er på 356 skilling
den samlede vekten er 633 g

For hånd

Bruk opplysningene til å sette opp tre likninger med tre ukjente.

Kalkulator

Bruk CAS til å løse likningssystemet du satte opp i oppgave a).

Fasit

Se løsningsforslag

41 mynter med verdi 1, 25 mynter med verdi 5, 19 mynter med verdi 10

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ , $y$ og $z$ være antall mynter med verdiene 1, 5 og 10 skilling.

Antall mynter: $x + y + z = 85$

Samlet verdi: $x + 5 y + 10 z = 356$

Samlet vekt: $5 x + 8 y + 12 z = 633$

Vi skriver inn i CAS:

CAS: Sjørøverskatt

Vi får $x = 41, y = 25, z = 19$ .

Skatten inneholder 41 mynter med verdi 1 skilling, 25 mynter med verdi 5 skilling og 19 mynter med verdi 10 skilling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Harer på øy

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en øy ble det satt ut 50 harer. Tabellen nedenfor viser hvor mange harer det var på øya etter 0, 10, 20 og 30 uker.

Antall uker etter utsettingen	0	10	20	30
Antall harer	50	104	156	184

Antall harer på øya $t$ uker etter at harene ble satt ut, kan ifølge en forsker modelleres med en funksjon $g$ på formen

g (t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{- k t}}

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme $N$ , $a$ og $k$ .

For hånd

Hvilken informasjon gir tallet $N$ i denne situasjonen?

Fasit

$N \approx 200$ , $a \approx 3,00$ , $k \approx 0,118$

$N = 200$ er den øvre grensen for antall harer på øya (bæreevnen).

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logistisk regresjon i CAS med datapunktene $(0, 50)$ , $(10, 104)$ , $(20, 156)$ og $(30, 184)$ .

Regresjonen gir

N \approx 200, a \approx 3,00, k \approx 0,118

slik at modellen blir

g (t) = \frac{200}{1 + 3,00 \cdot e^{- 0,118 t}}

Tallet $N = 200$ er den øvre grensen (bæreevnen) for antall harer på øya. Når $t \to \infty$ , nærmer $g (t)$ seg $N = 200$ . Det betyr at bestanden aldri vil overstige omtrent 200 harer.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Logistisk funksjon, Regresjon, Modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Etterspørsel og grensekostnad vare

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En ny vare blir lansert i et område. Vi antar at funksjonen $q$ gitt ved

q (t) = 230 \cdot e^{0,015 t}, t \in [0, 52]

er en god modell for etterspørselen etter varen per uke, $t$ uker etter lanseringen.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $q$ .

Enhetsprisen for varen settes lik 50 kroner det første året.

Kalkulator

Bestem inntekten i uke 40 etter lanseringen.

Kalkulator

Bestem den samlede inntekten de første 52 ukene etter lanseringen.

Etter at varen har vært i markedet i ett år, vil enhetsprisen $p$ kroner være en funksjon av den ukentlige etterspørselen $x$ . Vi går ut fra at $p$ er gitt ved

p (x) = - 0,01 x + 60, x \in [500, 2000]

Grensekostnaden ved produksjon av $x$ enheter er

K^{'} (x) = 0,02 x + 25, x \in [500, 2000]

Kalkulator

Hva må enhetsprisen være for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

Se løsningsforslag

$\approx 20 955 kr$

$\approx 905 795 kr$

$51,25 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $q (t) = 230 \cdot e^{0,015 t}$ for $t \in [0, 52]$ i GeoGebra.

Graf: Etterspørsel

Inntekten i uke 40 er antall solgte enheter ganger enhetspris:

I_{40} = q (40) \cdot 50 = 230 \cdot e^{0,015 \cdot 40} \cdot 50

Vi regner ut i CAS og får

I_{40} \approx 20 955 kr

Den samlede inntekten er

I = 50 \cdot \int_{0}^{52} 230 \cdot e^{0,015 t} d t

Vi bruker CAS til å definere $q$ , beregne integralet og løse optimeringen:

CAS: Etterspørsel og grensekostnad

Fra linje 2 i CAS leser vi av at den samlede inntekten er $\approx 905 795 kr$ .

Inntektsfunksjonen er $I (x) = x \cdot p (x) = x (- 0,01 x + 60) = - 0,01 x^{2} + 60 x$ .

Grenseinntekten er $I^{'} (x) = - 0,02 x + 60$ .

Overskuddet er størst når grenseinntekt er lik grensekostnad. Fra linje 4 i CAS ser vi at $x = 875$ .

Enhetsprisen blir

p (875) = - 0,01 \cdot 875 + 60 = 51,25 kr

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Etterspørsel, Eksponentialfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Annuitetslån og serielån Pia

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Pia vurderer å låne 800 000 kroner. En bank tilbyr henne et annuitetslån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Første innbetaling er om ett år.

Kalkulator

Sett opp en geometrisk rekke som kan brukes til å bestemme terminbeløpet. Bruk CAS til å bestemme terminbeløpet.

Banken tilbyr henne også et serielån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Tabellen nedenfor viser avdrag, renter, terminbeløp og restlån for de tre første terminene.

Termin	Avdrag	Renter	Terminbeløp	Restlån
1	40 000	24 000	64 000	760 000
2	40 000	22 800	62 800	720 000
3	40 000	21 600	61 600	680 000

Kalkulator

Forklar at terminbeløpene danner en aritmetisk følge. Bestem summen av de 20 terminbeløpene for dette serielånet.

En annen bank tilbyr henne et serielån på 800 000 kroner. Dette lånet har en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats per år. Summen av alle terminbeløpene for dette lånet blir 1 000 000 kroner.

Kalkulator

Bestem den faste rentesatsen per år for dette lånet.

Fasit

$T \approx 53 773 kr$

Summen er $1 052 000 kr$

$r \approx 2,38 %$

LøsningsforslagKI-generert

Nåverdien av alle terminbeløpene $T$ skal være lik lånebeløpet. Med vekstfaktor $1,03$ per år:

800 000 = \frac{T}{1,03} + \frac{T}{{1,03}^{2}} + \dots + \frac{T}{{1,03}^{20}}

Dette er en geometrisk rekke med $a_{1} = \frac{T}{1,03}$ og $k = \frac{1}{1,03}$ :

800 000 = \frac{T}{1,03} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{1,03})}^{20}}{1 - \frac{1}{1,03}}

Vi løser i CAS:

CAS: Annuitetslån

Fra linje 2 leser vi av $T \approx 53 773 kr$ .

Avdraget er konstant: $\frac{800 000}{20} = 40 000 kr$ .

Renten i termin $n$ er $0,03 \cdot (800 000 - (n - 1) \cdot 40 000)$ . Renten avtar med $0,03 \cdot 40 000 = 1 200 kr$ per termin.

Terminbeløpene er $64 000, 62 800, 61 600, \dots$ som er en aritmetisk følge med $a_{1} = 64 000$ og $d = - 1 200$ .

Siste terminbeløp: $a_{20} = 64 000 + 19 \cdot (- 1 200) = 41 200$

s_{20} = \frac{a_{1} + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{64 000 + 41 200}{2} \cdot 20 = 1 052 000 kr

For et serielån med avdrag $40 000$ og rentesats $r$ per år:

Terminbeløp i termin $n$ : $40 000 + r \cdot (800 000 - (n - 1) \cdot 40 000)$

Summen av alle terminbeløpene:

\sum_{n = 1}^{20} (40 000 + r \cdot (800 000 - (n - 1) \cdot 40 000)) = 1 000 000

20 \cdot 40 000 + r \cdot \sum_{n = 1}^{20} (800 000 - (n - 1) \cdot 40 000) = 1 000 000

800 000 + r \cdot \frac{800 000 + 420 000}{2} \cdot 20 = 1 000 000

800 000 + r \cdot 8 400 000 = 1 000 000

r = \frac{200 000}{8 400 000} \approx 0,0238 = 2,38 %

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Lån, Rekker, Økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Hypotesetest om russetid

Tidligere statistikk fra en skole viser at 32 % av elevene i Vg3 hadde én eller flere timer fravær i russetiden.

Vi trekker tilfeldig ut 27 elever i Vg3. Vi antar at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har fravær, er $p = 0,32$ og er uavhengig av de andre elevenes fravær.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at minst 20 av disse elevene ikke har fravær i russetiden.

Ledelsen ved skolen hadde en mistanke om at det nye fraværsreglementet som ble innført i august 2016, ville føre til mindre fravær. Før russetiden startet, satte de derfor opp to hypoteser som de ønsket å teste.

\begin{matrix} H_{0} & : p = 0,32 \\ H_{1} & : p < 0,32 \end{matrix}

De ønsket å bruke et signifikansnivå på 5 %.

Det var 120 elever i Vg3 på skolen dette skoleåret.

Kalkulator

Hva er det høyeste antall elever som kan ha fravær i russetiden, for at $H_{0}$ skal forkastes?

Fasit

$P (X \leq 7) \approx 0,33$

Høyst 29 elever med fravær

Løsningsforslag

La $X$ = antall elever av de 27 som har fravær. $X$ er binomisk fordelt med $n = 27$ og $p = 0,32$ .

«Minst 20 ikke har fravær» betyr at høyst $27 - 20 = 7$ elever har fravær, altså $X \leq 7$ .

P (X \leq 7) \approx 0,33

Sannsynligheten for at minst 20 av 27 elever ikke har fravær er $0,33$ .

La $X$ = antall elever med fravær blant de 120. Under $H_{0}$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 120$ og $p = 0,32$ . Vi legger inn i GeoGebra og justerer på grensen helt fram til vi finner en sannsynlighet som ligger under signifikansnivået $α$ .

Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra med binomisk fordeling, n = 120 og p = 0.32. Den viser P(X ≤ 29) = 0.0384.

P (X \leq 29) \approx 0,038 < 0,05 ✓

P (X \leq 30) \approx 0,059 > 0,05 \times

Det høyeste antallet elever som kan ha fravær for at $H_{0}$ forkastes, er $29$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Binomisk fordeling, Normalfordeling, Hypotesetest
Kompetansemål: Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av tre typer funksjoner

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Polynom med faktorisering

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Fjerdegradspolynom med faktorer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Aritmetisk rekke med formel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Sprettball og uendelig rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Terningspill med to terninger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Normalfordeling med ukjente parametere

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 2-1Sjørøverskatt med mynter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Harer på øy

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Etterspørsel og grensekostnad vare

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Annuitetslån og serielån Pia

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Hypotesetest om russetid

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av tre typer funksjoner

Oppgave 1-2·Polynom med faktorisering

Oppgave 1-3·Fjerdegradspolynom med faktorer

Oppgave 1-4·Aritmetisk rekke med formel

Oppgave 1-5·Sprettball og uendelig rekke

Oppgave 1-6·Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Oppgave 1-7·Terningspill med to terninger

Oppgave 1-8·Normalfordeling med ukjente parametere

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 2-1·Sjørøverskatt med mynter

Oppgave 2-2·Harer på øy

Oppgave 2-3·Etterspørsel og grensekostnad vare

Oppgave 2-4·Annuitetslån og serielån Pia

Oppgave 2-5·Hypotesetest om russetid

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av tre typer funksjoner

Oppgave 1-2Polynom med faktorisering

Oppgave 1-3Fjerdegradspolynom med faktorer

Oppgave 1-4Aritmetisk rekke med formel

Oppgave 1-5Sprettball og uendelig rekke

Oppgave 1-6Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Oppgave 1-7Terningspill med to terninger

Oppgave 1-8Normalfordeling med ukjente parametere

Oppgave 2-1Sjørøverskatt med mynter

Oppgave 2-2Harer på øy

Oppgave 2-3Etterspørsel og grensekostnad vare

Oppgave 2-4Annuitetslån og serielån Pia

Oppgave 2-5Hypotesetest om russetid