Polynom med faktorisering

Et polynom $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4

Begrunn at $P(x)$ er delelig med $(x - 1)$ .

Faktoriser $P(x)$ i førstegradsfaktorer.

Fasit

$P(1)=0$ , altså må $(x-1)$ være en faktor i $P(x)$ .

$P(x)=(x-1)^{2}(x-4)$

Løsningsforslag

$P(x)$ vil være delelig med $(x-1)$ dersom vi kan faktorisere $P(x)$ på denne måten $P(x)=(x-1) \cdot a(x-x_{1})(x-x_{2})$ . For å kunne gjennomføre denne faktorisering så må $x=1$ være et nullpunkt til $P$ .

P(1)=1^{3}-6\cdot 1^{2}+9\cdot 1 - 4=1-6+9-4=0

$(x-1)$ må være en faktor i $P$ og $P$ må derfor være delelig på $(x-1)$ .

$(x-1)$ er en faktor. Vi gjennomfører polynomdivisjon for å kunne finne de de andre faktorene.

\begin{aligned} &\phantom{0}(x^3 - 6x^2 + 9x - 4) : (x - 1) = x^2 - 5x + 4 \\ &\underline{-(x^3 - x^2)} \\ &\phantom{0000} -5x^2 + 9x \\ &\phantom{000} \underline{-(-5x^2 + 5x)} \\ &\phantom{000000000000} 4x - 4 \\ &\phantom{0000000000} \underline{-(4x - 4)} \\ &\phantom{00000000000000000} 0 \end{aligned}

Dette gir oss at $P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 4)$ .

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^2 - 5x + 4$ ved hjelp av heltallsmetoden. Vi ser etter to tall som har sum $-5$ og produkt $4$ . Tallene er $-1$ og $-4$ :

x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2019, del 1, oppgave 2
Poeng: 3
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon