Fjerdegradspolynom med faktorer

Et polynom $Q$ er gitt ved

Q(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 12

Du får oppgitt at $(x + 1)$ , $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q(x)$ .

Vis at dette gir likningssystemet

a - b + c = -11

a + b + c = 11

8a + 4b + 2c = -4

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se løsningsforslag

$a = -8$ , $b = 11$ , $c = 8$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $(x + 1)$ , $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q(x)$ , vet vi at $Q(-1) = 0$ , $Q(1) = 0$ og $Q(2) = 0$ .

$Q(-1) = 0$ :

(-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) - 12 = 0

1 - a + b - c - 12 = 0

a - b + c = -11

$Q(1) = 0$ :

1 + a + b + c - 12 = 0

a + b + c = 11

$Q(2) = 0$ :

16 + 8a + 4b + 2c - 12 = 0

8a + 4b + 2c = -4

Fra likning 1 og 2:

(a + b + c) - (a - b + c) = 11 - (-11)

2b = 22 \implies b = 11

Setter $b = 11$ inn i likning 1: $a + c = -11 + 11 = 0$ , altså $c = -a$ .

Setter $b = 11$ og $c = -a$ inn i likning 3:

8a + 44 - 2a = -4 \implies 6a = -48 \implies a = -8

Da er $c = -(-8) = 8$ .

\underline{\underline{a = -8, \quad b = 11, \quad c = 8}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2019, del 1, oppgave 3
Poeng: 4
Temaer: polynomdivisjon, likningssystem
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon