Integraler S2 v25

Regn ut integralene

\int_{0}^{1} (2e^{x}+2x^{2}) \, \mathrm{d}x

\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-6} \, \mathrm{d}x

Fasit

$2e-\frac{4}{3}$

$\ln \left| x^{2}-x-6 \right|+C$

Løsningsforslag

\int_{0}^{1} \left( 2e^{x}+2x^{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ 2e^{x}+\frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}= \left( 2e^{1}+\frac{2}{3}1^{3} \right) -\left( 2e^{0} +\frac{2}{3}0^{3} \right) =2e+\frac{2}{3}-2=\underline{\underline{2e-\frac{4}{3}}}

Vi ser at den deriverte av uttrykket i nevneren er det samme som telleren, og det er derfor lurt å forsøke variabelskiftet $\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6}$ .

\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6} \implies \frac{du}{dx}=\textcolor{seagreen}{2x-1} \iff \frac{du}{\textcolor{seagreen}{2x-1}}=dx

Vi substituerer inn i det opprinnelige uttrykket

\int \frac{\textcolor{seagreen}{2x-1}}{\textcolor{tomato}{x^{2}-x-6}} \, \mathrm{d}x=\int \frac{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }}{\textcolor{tomato}{u}} \, \frac{\mathrm{d}u}{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }} = \int \frac{1}{\textcolor{tomato}{u}} \, \mathrm{d}u=\ln \left| \textcolor{tomato}{u} \right| +C=\underline{\underline{\ln \left| x^{2} -x -6\right| + C}}

Sensorveiledning

1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.

Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det kan tas med i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2025, del 1, oppgave 1
Delt med: S2, R2
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: integral, bestemt integral, substitusjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett