Vinkel i sirkel og trigonometri

I en sirkel er radius lik 3.

Figuren nedenfor viser en vinkel $v$ der toppunktet er plassert i sentrum av sirkelen og buelengden er 4.

Vinkel v i sirkel

Hvor stor er vinkelen $v$ gitt i

radianer?
grader?

Om en annen vinkel $u$ får du vite at $u \in \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ og $\tan u = 2$ .

Bestem de eksakte verdiene til $\sin u$ og $\cos u$ .

Fasit

4/3 radianer og omtrent 75º

$\sin u = \frac{2}{\sqrt{ 3 }}$ og $\cos u =\frac{1}{\sqrt{ 3 }}$

Løsningsforslag

Radius $r=3$ og buelengden $b=4$ .

v=\frac{b}{r}=\frac{4}{3}

Det går $360\degree$ på $2\pi$ radianer.

v_{\text{grader}}=\frac{4}{3} \cdot \frac{360}{2\pi}=\frac{4}{2} \cdot \frac{360}{3\pi}=2 \cdot \frac{120}{\pi}=\frac{240}{\pi} \approx 75 \degree

Vinkelen er $\underline{\underline{ \frac{4}{3} }}$ radianer og omtrent $\underline{\underline{ 75 \degree }}$ .

Hvis $\tan u =2$ så er $\frac{mk}{hk}=2$ . Hvis vi gir hosliggende katet lengden 1, så blir motstående katet 2. Da blir hypotenusen

h=\sqrt{ 1^{2}+ 2^{2}}=\sqrt{ 5 }

Vi kan dermed sette opp eksakte verdier for $\sin u$ og $\cos u$ .

\sin u = \frac{mk}{h}=\underline{\underline{ \frac{2}{\sqrt{ 5 }} }} \quad \text{og} \quad \cos u = \frac{hk}{h}=\underline{\underline{ \frac{1}{\sqrt{ 5 }} = \frac{\sqrt{ 5 }}{5} }}

Sensorveiledning

1 poeng for å finne vinkelen i radianer og 1 poeng for å finne vinkelen i grader. Kandidater som setter $\pi \approx 3$ for å regne ut vinkelen i grader kan få full uttelling.

4 poeng

1 poeng for å finne sinusverdi og 1 poeng for å finne cosinusverdi. En god strategi som ikke fører helt fram kan også gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2025, del 1, oppgave 7
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: trigonometri, enhetssirkel
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer