R2 Vår 2026

R2 Vår 2026 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler
1-1	Bestemt og ubestemt integral R2 V26	KI
1-2	Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26	✔︎
1-3	Trigonometriske verdier og likning R2 V26	KI
1-4	Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26	KI
1-5	Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26	KI
1-6	Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26	✔︎
1-8	Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26	KI
Del 2 2 timer med hjelpemidler
2-1	Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	KI
2-2	Rekursiv rekke og konvergens S2 V26	✔︎
2-3	Propellfly med vektorfunksjon R2 V26	KI
2-4	Vase som omdreiningslegeme R2 V26	KI

Oppgave 1-1 : Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Bestem integralene

$\displaystyle \int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) dx$

$\displaystyle \int \frac{\sin(\ln x)}{x}\, dx$

Fasit

$\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(e^4 + 3)}}$

$\underline{\underline{-\cos(\ln x) + C}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\int e^{ax} \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{a} e^{ax} + C$ og $\int x \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}x^2 + C$ :

\int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^2

= \left( \frac{1}{2}e^{4} + \frac{1}{2} \cdot 4 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{0} + 0 \right)

= \frac{1}{2}e^{4} + 2 - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}e^{4} + \frac{3}{2} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(e^4+3)}}}

Vi bruker substitusjon. La $u = \ln x$ , da er $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{x}$ , altså $\mathrm{d}u = \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ .

\int \frac{\sin(\ln x)}{x} \, \mathrm{d}x = \int \sin(u) \, \mathrm{d}u

= -\cos(u) + C

Vi substituerer tilbake $u = \ln x$ :

= \mathbf{\underline{\underline{-\cos(\ln x) + C}}}

Sensorveiledning

Kandidaten kan få 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.

4 poeng

Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det tas med i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: integrasjon, bestemt integral, substitusjon
Kompetansemål: Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet

Oppgave 1-2 : Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26

Du får vite dette om en funksjon $f$

Funksjonen er definert for $x>0$
$f'(x) = \dfrac{2}{x^2}$
Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 2)$

Bestem $f(x)$ .

To andre funksjoner, $g$ og $h$ , er gitt ved $g(x) = x$ og $h(x) = -\dfrac{3}{x} + 4$ for $x>0$ .

Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til $g$ og $h$ .

Fasit

$f(x)=-\frac{2}{x}+3$

$4-3 \ln 3$

Løsningsforslag

Vi kan finne antideriverte til $f'(x)$ ved å integrere.

f(x)=\int \frac{2}{x^{2}} \, \mathrm{d}x =2 \int x^{-2} \, \mathrm{d}x =2 \cdot \frac{1}{-1} x^{-1} +C = -\frac{2}{x} + C

Funksjonen vår må også gå gjennom $(2,2)$ , derfor kan vi sette opp en likning for å bestemme $C$ :

\begin{aligned} f(2)&=-\frac{2}{2}+C \\ 2&=-1 + C \\ 2 + 1 &= C \\ C&=3 \end{aligned}

\underline{\underline{ f(x)=-\frac{2}{x}+3 }}

Vi skal finne arealet mellom $g$ og $h$ . Vi finner først skjæringspunktet mellom grafene ved å sette dem lik hverandre og løse.

\begin{aligned} g&=h \\ x &= -\frac{3}{x}+4 \\ x^{2} &= -3 +4x \\ x^{2}-4x+3 &= 0 \\ \underbrace{ (x-1)(x-3) }_{ \text{Heltallsmetode} } &= 0 \\ x =1 &\vee x =3 \end{aligned}

Det avgrensede arealet ligger altså mellom $x=1$ og $x=3$ .

Vi setter opp integralet:

\begin{aligned} \int_{1}^{3} \left( h(x) - g(x)\right) \, \mathrm{d}x \\ \int_{1}^{3} \left( \left( -\frac{3}{x}+4 \right) - (x) \right) \, \mathrm{d}x \\ \int_{1}^{3} \left( -\frac{3}{x} -x +4 \right) \, \mathrm{d}x \\ \left[-3 \ln |x| - \frac{1}{2}x^{2} + 4x \right]_{1}^{3} \\ \left( - 3 \ln 3 - \frac{1}{2} 3^{2} + 4 \cdot 3\right) - \left(- 3 \ln 1 - \frac{1}{2} 1^{2} + 4 \cdot 1\right) \\ \left(- 3 \ln 3 - \frac{1}{2} 9 +12 \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} + 4 \right) \\ -3 \ln 3 -\frac{9}{2} +12 +\frac{1}{2}-4 \\ -3 \ln 3 - \frac{8}{2} +8\\ -3 \ln 3 -4 + 8 \\ - 3 \ln 3 +4 \\ 4 - 3 \ln 3 \end{aligned}

Arealet er $\underline{\underline{ 4 - 3 \ln 3 }}$ .

Sensorveiledning

Kandidaten kan få 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å bruke initialbetingelsene riktig.

4 poeng

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng. Kandidater som gjør en liten regnefeil kan få full uttelling.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: integrasjon, antiderivasjon, areal mellom grafer
Kompetansemål: Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Oppgave 1-3 : Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Bestem $\sin v$ og $\tan v$ når $\cos v = \dfrac{2}{3}$ og $v$ er en vinkel i 4. kvadrant.

Løs likningen

2\cos\left( \frac{\pi}{3} x \right) = \sqrt{3}, \qquad x \in \langle 0, 10 \rangle

Fasit

$\underline{\underline{\sin v = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}$ , $\quad\underline{\underline{\tan v = -\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}$

$\underline{\underline{x \in \left\{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{11}{2},\ \dfrac{13}{2}\right\}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker den trigonometriske grunnidentiteten

\sin^2 v + \cos^2 v = 1

og setter inn $\cos v = \dfrac{2}{3}$ :

\sin^2 v = 1 - \cos^2 v = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Dermed er $\sin v = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ .

Siden $v$ er en vinkel i 4. kvadrant, er $\sin v < 0$ , så

\textcolor{seagreen}{\sin v = -\frac{\sqrt{5}}{3}}

Vi finner tangens ved

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}

$\sin v = \underline{\underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}$ og $\tan v = \underline{\underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}$

Vi løser likningen

2\cos\!\left(\frac{\pi}{3}x\right) = \sqrt{3}, \qquad x \in \langle 0,\, 10 \rangle

Deler begge sider på 2:

\cos\!\left(\frac{\pi}{3}x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vi kjenner at $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ når $\theta = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ eller $\theta = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Tilfelle 1: $\dfrac{\pi}{3}x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$

x = \frac{3}{\pi}\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) = \frac{1}{2} + 6k

Tilfelle 2: $\dfrac{\pi}{3}x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$

x = \frac{3}{\pi}\left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) = -\frac{1}{2} + 6k

Vi finner alle løsninger i intervallet $\langle 0, 10 \rangle$ :

Fra tilfelle 1 ( $x = \tfrac{1}{2} + 6k$ ):

$k$	$x$	I intervallet?
$0$	$\tfrac{1}{2}$	Ja
$1$	$\tfrac{13}{2}$	Ja
$2$	$\tfrac{25}{2}$	Nei

Fra tilfelle 2 ( $x = -\tfrac{1}{2} + 6k$ ):

$k$	$x$	I intervallet?
$0$	$-\tfrac{1}{2}$	Nei
$1$	$\tfrac{11}{2}$	Ja
$2$	$\tfrac{23}{2}$	Nei

Løsningene er $x \in \left\{\underline{\underline{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{11}{2},\ \dfrac{13}{2}}}\right\}$

Sensorveiledning

Kandidater som får feil, men fornuftig sinusverdi, og finner tangensverdien på riktig måte, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten begrunne negativ sinusverdi. Kandidater som ikke finner en sinusverdi, men bare setter opp formelen for tangensverdien, får ingen uttelling.

4 poeng

Kandidater som viser kompetanse innen trigonometriske likninger, men ikke kommer fram til tre løsninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: trigonometri, enhetssirkel, likninger
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Oppgave 1-4 : Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ .

Graf til f

Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$ .

Fasit

$\underline{\underline{f(x) = 2\sin(2x - \tfrac{\pi}{2}) - 1}}$

(Ekvivalent: $f(x) = -2\cos(2x) - 1$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker standardformen $f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d$ og bestemmer konstantene fra grafen.

Amplitude $A$ :

Grafen svinger mellom en maksimalverdi og en minimalverdi. Vi avleser

\text{maks} = 1, \qquad \text{min} = -3

Amplituden er halvparten av svingningsbredden:

A = \frac{\text{maks} - \text{min}}{2} = \frac{1 - (-3)}{2} = \frac{4}{2} = \textcolor{seagreen}{2}

Likevektslinje $d$ :

Likevektslinjen ligger midt mellom topp og bunn:

d = \frac{\text{maks} + \text{min}}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = \textcolor{steelblue}{-1}

Periode $T$ og $c$ :

Fra grafen avleser vi at én full svingning har lengde $T = \pi$ . Da er

c = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = \textcolor{tomato}{2}

Faseforskyvning $\varphi$ :

Vi avleser at $x = 0$ er et bunnpunkt, dvs. $f(0) = -3$ . Vi setter dette inn i uttrykket med verdiene vi allerede har funnet:

f(0) = 2\sin(\varphi) - 1 = -3

\begin{aligned} 2\sin(\varphi) &= -2 \\ \sin(\varphi) &= -1 \\ \varphi &= -\frac{\pi}{2} \end{aligned}

Funksjonsuttrykk:

\boxed{f(x) = 2\sin\!\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) - 1}

Merk: siden $\sin\!\left(\theta - \tfrac{\pi}{2}\right) = -\cos(\theta)$ , er dette ekvivalent med

f(x) = -2\cos(2x) - 1

Svar: $\underline{\underline{f(x) = 2\sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right) - 1}}$

Sensorveiledning

Kandidater som har tre av fire riktige parameterverdier til sinusfunksjonen eller cosinusfunksjonen kan få 1 poeng. (For cosinusfunksjonen vil null være en parameterverdi).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: trigonometri, tolke grafer, funksjoner
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Oppgave 1-5 : Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26

Graf til f

I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 2x - 1

Et omdreiningslegeme framkommer ved at grafen til $f$ fra $x=1$ til $x=3$ dreies $360\degree$ rundt førsteaksen.

Regn ut volumet til omdreiningslegemet.

Fasit

$\underline{\underline{V = \dfrac{62\pi}{3}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av et omdreiningslegeme dannet ved å dreie grafen til $f$ fra $x = a$ til $x = b$ rundt $x$ -aksen er gitt ved

V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x

Vi setter inn $f(x) = 2x - 1$ , $a = 1$ og $b = 3$ :

V = \pi \int_{1}^{3} (2x - 1)^2 \, \mathrm{d}x

Vi ekspanderer kvadratet:

(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1

Dermed blir integralet:

\begin{aligned} V &= \pi \int_{1}^{3} \left(4x^2 - 4x + 1\right) \mathrm{d}x \\[6pt] &= \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{1}^{3} \end{aligned}

Vi beregner antiderivativet i grensene:

\begin{aligned} \left[ \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{1}^{3} &= \left(\frac{4 \cdot 27}{3} - 2 \cdot 9 + 3\right) - \left(\frac{4}{3} - 2 + 1\right) \\[6pt] &= \left(36 - 18 + 3\right) - \left(\frac{4}{3} - 1\right) \\[6pt] &= 21 - \frac{1}{3} \\[6pt] &= \frac{63}{3} - \frac{1}{3} \\[6pt] &= \frac{62}{3} \end{aligned}

Dermed er

\mathbf{V = \pi \cdot \frac{62}{3} = \underline{\underline{\frac{62\pi}{3}}}}

Sensorveiledning

Kandidater som har riktig strategi, men som får feil volum kan få 1 poeng. Kandidater som finner riktig volum ved å se på differansen mellom to kjegler får full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: omdreiningslegeme, volum, integrasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Oppgave 1-6 : Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde $5 \mathrm{~m}$ .

Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $0{,}1 \mathrm{~m}$ kortere enn sidelengden til treplaten under.

Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?

Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal $19 \mathrm{~m}^2$ .

Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $10\,\%$ kortere enn sidelengden til treplaten under.

Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?

Fasit

50

100

Løsningsforslag

Vi ser at første ledd er $a_{1}=5$ og differansen $d=-0{,}1$ .

Ledd nummer $n$ i rekka er gitt ved

a_{n}=5+(n-1) \cdot \left(-0{,}1\right)=5-0{,}1n+0{,}1=5{,}1-0{,}1n

Leddene i rekka blir altså:

5, \, 4{,}9, \,4{,}8, \, 4{,}7, \, \dots , 0{,}1

Det siste leddet må være $0{,}1$ siden en treplate ikke kan ha sidelengde 0 (da er det jo ikke noe treplate).

Vi kan finne ut hvor mange ledd det er ved hjelp av uttrykket for ledd $n$ :

\begin{aligned} a_{n}&=5{,}1-0{,}1n \\ 0{,}1 &= 5{,}1 - 0{,}1n \\ 0{,}1n &=5{,}1 - 0{,}1 \\ 0{,}1 n &= 5 \\ n &= 50 \end{aligned}

Rekka $5 + \, 4{,}9 + \,4{,}8 + \, 4{,}7 + \, \dots + 0{,}1$ beskriver summen av sidelengdene i tårnet. Tårnet kan maksimalt bestå av 50 plater.

Sette opp mønsteret

Det kan være lurt å først undersøke hvordan arealet utvikler for de første platene. Det er absolutt ikke nødvendig for å løse oppgaven, men det kan være vanskelig å finne ut hvordan man skal sette opp rekka.

Vi undersøker først mønsteret ved å sette opp en oversiktlig tabell. La $s$ være sidelengden og $A$ være arealet av plate $n$ .

$n$	$s$	$A$
$1$	$\sqrt{ 19 }$	$19$
$2$	$\sqrt{ 19 }\cdot 0{,}9$	$19 \cdot 0{,}9^{2}$
$3$	$\sqrt{ 19 } \cdot 0{,}9^{2}$	$19 \cdot 0{,}9^{4}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n$	$\sqrt{ 19 } \cdot 0{,}9^{n-1}$	$19 \cdot 0{,}9^{2 \cdot(n-1)}$

Hvis sidelengden minker med 10 % så kan vi sette opp sammenhengen

(\text{sidelengde plate 2}) = 0{,}9 \cdot \left( \text{sidelengde plate 1} \right)

Arealet for plate 1, $A_{1}$ , er 19. Da må arealet for plate 2 bli:

\begin{aligned} A_{2}&=(\text{sidelengde plate 2})^{2} = \left(0{,}9 \cdot \left( \text{sidelengde plate 1} \right)\right)^{2} \\ &= 0{,}9^{2} \cdot A_{1} = 0{,}9^{2} \cdot 19=0{,}81 \cdot 19 \end{aligned}

Arealene danner altså en geometrisk rekke med kvotient $k=0{,}81$ og $A_{1}=19$ . Summen av rekka er gitt ved

S=\frac{a_{1}}{1-k}=\frac{19}{1-0{,}81}=\frac{19}{0{,}19}=100

Det samlede arealet kunne blitt $\underline{\underline{ 100 \mathrm{~m^{2}} }}$ hvis Vilfred kunne brukt uendelig mange plater. I praksis vil det samlede arealet bli veldig nærme 100 m² dersom han bruker mange plater.

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å sette opp rekken og 1 poeng for å finne riktig antall plater. Kandidater som angir rekken ved formelen for det $n$ -te leddet eller ved å sette opp de første leddene får uttelling. Både rekker som viser summen av omkretsene og rekker som viser summen av en side per plate gir poeng.

2 poeng

Kandidater som har satt opp den geometriske rekken feil, men som har regnet riktig ut fra egen geometrisk rekke, kan få 1 poeng. Tilsvarende kan kandidater som har satt opp den geometriske rekken riktig, men regnet noe feil få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: aritmetisk rekke, geometrisk rekke, sumformel
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-8 : Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26

En elev prøver å bevise påstanden ovenfor.

Forklar hvorfor dette ikke er et gyldig matematisk bevis for påstanden.

Bevis påstanden ved hjelp av vektorregning.

Fasit

Elevens bevis tester kun ett spesialtilfelle – et eksempel kan ikke bevise en generell påstand.

$|\vec{p} + \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2$ følger av at $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$ når $\vec{p} \perp \vec{q}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Elevens bevis sjekker påstanden kun for de to konkrete vektorene $\vec{p} = [4, 0, 0]$ og $\vec{q} = [0, 0, 3]$ . Et enkelt eksempel kan aldri bevise at en påstand gjelder for alle ortogonale vektorer. Et eksempel kan motbevise en generell påstand, men aldri bevise den.

For at beviset skal holde, må det vises at påstanden gjelder for vilkårlige ortogonale vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ .

Vi antar at $\vec{p}$ og $\vec{q}$ er to vilkårlige ortogonale vektorer, dvs. $\vec{p} \perp \vec{q}$ .

Fordi vektorene er ortogonale, er skalarproduktet mellom dem lik null:

\vec{p} \cdot \vec{q} = 0

For en vilkårlig vektor $\vec{a}$ gjelder at $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ . Vi beregner $|\vec{p} + \vec{q}|^2$ :

\begin{aligned} |\vec{p} + \vec{q}|^2 &= (\vec{p} + \vec{q}) \cdot (\vec{p} + \vec{q}) \\ &= \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{p} + \vec{q} \cdot \vec{q} \\ &= |\vec{p}|^2 + 0 + 0 + |\vec{q}|^2 \\ &= |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 \end{aligned}

Dermed er $|\vec{p} + \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2$ bevist for alle ortogonale vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ .

Sensorveiledning

Forklaringen må inneholde at ett riktig eksempel ikke er nok for et bevis.

3 poeng

Beviset må kommuniseres godt for å få full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: vektorer, bevis, argumentasjon
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Oppgave 2-1 : Datatrafikk og sinusmodell R2 V26

Selskapet IntCom er en internettleverandør. Selskapet sørger for overføring av data mellom kundene og internett. Datatrafikken varierer gjennom døgnet.

Tabellen nedenfor viser datatrafikken (gigabit per time) et døgn i mai.

Tidspunkt (klokkeslett)	00:00	02:00	06:00	08:00	12:00	16:00	20:00	22:00
Datatrafikk (gigabit per time)	58 280	39 400	22 550	32 200	67 450	86 110	102 007	87 810

Lag en god modell for datatrafikken $S(t)$ gigabit per time, $t$ timer etter midnatt dette døgnet.

Videre i oppgaven skal du bruke modellen

D(t) = 63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24 t - 3{,}0)

for datatrafikken $D(t)$ , $t$ timer etter midnatt dette døgnet.

Når var datatrafikken ut fra selskapet mer enn $90\,000$ gigabit per time ifølge modellen?

Når økte datatrafikken raskest, og hvor stor var denne økningen ifølge modellen?

Hvor stor del av den totale datamengden som IntCom overførte dette døgnet, ble overført i løpet av arbeidsdagen, det vil si mellom klokken 8 og klokken 16, ifølge modellen?

Fasit

$S(t) \approx 63\,200 + 37\,200 \cdot \sin(0{,}243t - 2{,}96)$

Datatrafikken var over $90\,000$ gigabit/time mellom ca. kl. 15:54 og ca. kl. 22:11.

Datatrafikken økte raskest kl. 12:30, med en økning på $\underline{\underline{8\,880}}$ gigabit per time per time.

Ca. $\underline{\underline{31{,}5 \,\%}}$ av den totale datamengden ble overført mellom kl. 8 og kl. 16.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS – alle deloppgaver

Vi legger dataene fra tabellen inn i GeoGebra Regneark og kjører Regresjonsanalyse med sinusmodell. GeoGebra gir

S(t) \approx 63\,197 + 37\,214 \cdot \sin(0{,}243t - 2{,}956)

Avrundet:

\underline{\underline{S(t) \approx 63\,200 + 37\,200 \cdot \sin(0{,}243t - 2{,}96)}}

Vi bruker modellen $D(t) = 63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24t - 3{,}0)$ og løser ulikheten

D(t) > 90\,000

som tilsvarer å løse likningen $D(t) = 90\,000$ for å finne grensepunktene. Vi ber GeoGebra CAS løse (se linje 2 i utklippet):

63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24t - 3{,}0) = 90\,000

GeoGebra gir de generelle løsningene $t \approx 15{,}908 + 26{,}18k$ og $t \approx 22{,}182 + 26{,}18k$ for heltall $k$ . I intervallet $\langle 0, 24 \rangle$ (ett døgn) er løsningene

t_1 \approx 15{,}908 \approx \text{kl. } 15{:}54 \qquad t_2 \approx 22{,}182 \approx \text{kl. } 22{:}11

Siden sinusfunksjonen er over grenseverdien mellom de to skjæringspunktene, var datatrafikken over $90\,000$ gigabit per time i tidsrommet

\underline{\underline{\text{ca. kl. 15:54 til ca. kl. 22:11}}}

(Avrundet: ca. kl. 16:00 til ca. kl. 22:00.)

Datatrafikken øker raskest der den deriverte $D'(t)$ er størst. Vi deriverer (se linje 3 i utklippet):

D'(t) = 37\,000 \cdot 0{,}24 \cdot \cos(0{,}24t - 3{,}0) = 8\,880 \cdot \cos(0{,}24t - 3{,}0)

$D'(t)$ er størst når $\cos(0{,}24t - 3{,}0) = 1$ , det vil si når

0{,}24t - 3{,}0 = 0 \implies t = \frac{3{,}0}{0{,}24} = 12{,}5

som tilsvarer kl. 12:30. Den største økningen er (se linje 4 i utklippet):

D'(12{,}5) = 8\,880 \cdot \cos(0) = \underline{\underline{8\,880 \text{ gigabit per time per time}}}

Vi beregner andelen av total datamengde som ble overført mellom kl. 8 og kl. 16 ved hjelp av integraler. Total datamengde over ett døgn (se linje 5 i utklippet):

\int_0^{24} D(t) \, \mathrm{d}t \approx 1\,502\,454 \text{ gigabit}

Datamengde overført mellom kl. 8 og kl. 16 (se linje 6 i utklippet):

\int_8^{16} D(t) \, \mathrm{d}t \approx 473\,763 \text{ gigabit}

Andelen er (se linje 7 i utklippet):

\frac{\displaystyle\int_8^{16} D(t)\,\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_0^{24} D(t)\,\mathrm{d}t} \approx \frac{473\,763}{1\,502\,454} \approx 0{,}315

$\underline{\underline{\text{Ca. } 31{,}5 \,\%}}$ av den totale datamengden ble overført i løpet av arbeidsdagen mellom kl. 8 og kl. 16.

Sensorveiledning

Kandidaten må ha en regresjon med en funksjon som egner seg godt for dette døgnet for å få uttelling.

3 poeng

Kandidaten må finne et intervall for å få uttelling.

1 poeng for tidspunkt og 1 poeng for økning. Kandidater som inkluderer feil eller ingen enhet for økningen, kan få full uttelling, men det tas med i helhetsvurderingen.

3 poeng

En riktig strategi som ikke fører helt frem kan gi 1 poeng. Kandidater som kun regner integralet fra 08-16 kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: trigonometri, modellering, regresjon, derivasjon, integrasjon
Kompetansemål: Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett
Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Anvende derivasjon og integrasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

Oppgave 2-2 : Rekursiv rekke og konvergens S2 V26

En uendelig rekke er gitt ved den rekursive sammenhengen

a_n = (a_{n-1} - 1)^2

Lag et program som skriver ut de 6 første leddene i rekken dersom $a_1 = 5$ .

Avgjør om det finnes et heltall $a_1$ som gjør at rekken blir konvergent.

Fasit

–

Den konvergerer aldri for heltallsverdier av $a_{1}$

Løsningsforslag

a = 5    # Rekka starter på 5

for i in range(6):   # Gjenta 6 ganger
    print(a)         # Skriv ut leddet a
    a = (a - 1) ** 2 # Regn ut neste ledd a

Denne rekka er ikke geometrisk og vi kan derfor ikke bruke den vanlige testen med å sjekke om $-1 < k < 1$ . Ved å inspisere uttrykket kan vi derimot se at det ikke er så fryktelig mange heltallsverdier av $a_{1}$ som kan gjøre at rekka konvergerer.

Dersom $a_{1}$ er et stort tall så blir $a_{2}$ et veldig stort tall siden $a_{2}=(a_{1}-1)^{2}$ . En slik rekke vil bestå av større og større ledd og kan derfor ikke konvergere.
Hvis rekka skal konvergere så må $a_{1}$ være et heltall ganske nærme null. Vi kan teste disse heltallene for hånd, eller så kan vi gjøre det ved å utvide programmet vårt.

Jeg velger å utvide programmet og etter litt prøving og feiling med ulike heltall så ser jeg at verdiene $a_{1}=0, a_{1}=1$ og $a_{1}=2$ gir interessante mønstre. Ved andre verdier av $a_{1}$ divergerer rekka fort.

$Program for å sjekke ledd med ulik a_{1}$

$a_{1}=0, a_{1}=1$ og $a_{1}=2$ gir interessante mønstre, men leddene alternerer bare mellom 0 og 1. Hvis summen av de 200 første leddene er 100 så vil summen av de 202 første leddene være 101. Vi ser at summene ikke kan nærme seg noe tall når $n \to \infty$ ¹. Disse rekkene er heller ikke konvergente.

Siden rekka verken konvergerer for store heltall, negative heltall eller små heltall så konkluderer jeg med at rekka aldri vil konvergere for heltallsverdier.

Rekka konvergerer ikke for noen heltallsverdier av $a_{1}$ .

Sensorveiledning

Et program med en god strategi, men feil svar, kan få 1 poeng.

4 poeng

Kandidater som har en god strategi, men ikke har fullstendig forklaring kan få 1 poeng. Utforskning av konvergens med ulike verdier kan gi 1 poeng.

Hvis det er uendelig mange ledd i rekka så vil den måtte bestå av uendelig mange 1-tall. ↩

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: rekursiv formel, tallfølger, konvergens, programmering
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 2-3 : Propellfly med vektorfunksjon R2 V26

Et lite propellfly må nødlande på en motorvei. Posisjonen $\vec r(t)$ til flyet $t$ sekunder etter at nødlandingen har startet, er gitt ved

\vec r(t) = \left[\, 30 t - t^2,\ 8 \sin\left( \frac{\pi}{10} t \right),\ 50\left( 1 - \frac{t}{10} \right)^2 \,\right]

Motorveien ligger i $xy$ -planet. Enhetene langs aksene er meter.

Hvor høyt over motorveien er flyet 4 sekunder etter at nødlandingen har startet?

Bestem banefarten idet flyet lander på motorveien.

Ved hvilket tidspunkt under nødlandingen er banefarten $14{,}3 \mathrm{~m/s}$ ?

En fugl er i posisjonen $(131, 67, 23)$ idet flyet starter nødlandingen. Fuglen flyr i en rett linje og krysser banen til flyet i punktet $\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)$ .

Fuglen holder en jevn banefart på $12 \mathrm{~m/s}$ .

Vil fuglen treffe flyet?

Fasit

$18 \mathrm{~m}$

$\approx 10{,}3 \mathrm{~m/s}$

$t \approx 7{,}99 \mathrm{~s}$

Nei — fuglen mangler ca. $22 \mathrm{~cm}$ på å nå flyets posisjon, men kollisjon er praktisk sett meget sannsynlig.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å definere vektorfunksjonen og beregne svarene. Se utklippet under.

GeoGebra CAS – Propellfly R2 V26

Høyden over motorveien er gitt av $z$ -koordinaten til $\vec{r}(t)$ , det vil si $50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2$ .

Vi setter inn $t = 4$ :

z(4) = 50\left(1 - \frac{4}{10}\right)^2 = 50 \cdot (0{,}6)^2 = 50 \cdot 0{,}36 = 18

Se linje 8 i GeoGebra CAS.

Flyet er $\underline{\underline{18 \mathrm{~m}}}$ over motorveien etter 4 sekunder.

Flyet lander når $z$ -koordinaten er 0:

50\left(1 - \frac{t}{10}\right)^2 = 0 \implies t = 10

Fartsvektoren er $\vec{r}'(t)$ . Vi deriverer hver komponent (linje 4–6 i CAS):

\vec{r}'(t) = \left[30 - 2t,\ \frac{4\pi}{5}\cos\!\left(\frac{\pi t}{10}\right),\ -10\!\left(1 - \frac{t}{10}\right)\right]

Ved landing ( $t = 10$ ):

\vec{r}'(10) = \left[10,\ \frac{4\pi}{5}\cos(\pi),\ 0\right] = \left[10,\ -\frac{4\pi}{5},\ 0\right]

Banefarten er lengden av fartsvektoren (linje 9 i CAS):

|\vec{r}'(10)| = \sqrt{10^2 + \left(\frac{4\pi}{5}\right)^2 + 0^2} \approx \underline{\underline{10{,}3 \mathrm{~m/s}}}

Vi skal løse $|\vec{r}'(t)| = 14{,}3$ for $t \in [0, 10]$ .

Banefartsfunksjonen er definert i linje 7 i GeoGebra CAS. Ved $t = 7{,}99$ gir CAS (linje 10):

\text{banefart}(7{,}99) \approx 14{,}308 \approx 14{,}3

Banefarten er $14{,}3 \mathrm{~m/s}$ ved $\underline{\underline{t \approx 7{,}99 \mathrm{~s}}}$ .

Vi undersøker om fuglen og flyet befinner seg i samme punkt til samme tid.

Steg 1 – Finn tidspunktet da flyet er i punktet $\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)$ .

Vi løser komponent for komponent:

\begin{aligned} x: \quad & 30t - t^2 = 125 \implies t^2 - 30t + 125 = 0 \implies t = 5 \text{ eller } t = 25 \\ y: \quad & 8\sin\!\left(\frac{\pi \cdot 5}{10}\right) = 8\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 8 \checkmark \\ z: \quad & 50\!\left(1 - \frac{5}{10}\right)^2 = 50 \cdot \frac{1}{4} = 12{,}5 = \frac{25}{2} \checkmark \end{aligned}

(For $t = 25$ er flyet utenfor $z \geq 0$ -området.) Flyet passerer punktet ved $t = 5 \mathrm{~s}$ .

Steg 2 – Finn avstanden fuglen må tilbakelegge.

Fuglen starter i $A = (131, 67, 23)$ og skal til $B = \left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)$ .

\overrightarrow{AB} = (-6,\ -59,\ -10{,}5)

|AB| = \sqrt{(-6)^2 + (-59)^2 + (-10{,}5)^2} = \sqrt{36 + 3481 + 110{,}25} \approx 60{,}23 \mathrm{~m}

Se linje 11 i GeoGebra CAS.

Steg 3 – Sammenlign med strekningen fuglen rekker på 5 sekunder.

\text{Strekning} = 12 \mathrm{~m/s} \cdot 5 \mathrm{~s} = 60 \mathrm{~m}

Fuglen rekker $60 \mathrm{~m}$ , men trenger $\approx 60{,}23 \mathrm{~m}$ . Differansen er ca. $23 \mathrm{~cm}$ .

Matematisk treffer fuglen ikke flyet nøyaktig — den er omtrent $23 \mathrm{~cm}$ for kort. Men siden både flyet og fuglen har fysisk utstrekning langt større enn dette, er en kollisjon praktisk sett meget sannsynlig.

Sensorveiledning

Kandidater som kun oppgir posisjonsvektoren etter 4 sekunder får ingen uttelling.

3 poeng

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å finne banefarten.

3 poeng

Kandidater som finner flere løsninger, må forkaste ugyldige løsninger for å få uttelling.

Kandidater som finner enten riktig tidspunkt på fuglen og/eller på flyet, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten ha en fornuftig konklusjon.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: vektorer, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon

Oppgave 2-4 : Vase som omdreiningslegeme R2 V26

Du får i oppdrag å lage en vase med form som på bildet nedenfor. Vasen skal romme omtrent $1{,}5 \mathrm{~L}$ vann og ha høyde $20 \mathrm{~cm}$ .

Bruk det du kan om omdreiningslegemer og trigonometri, til å lage en funksjon på formen

f(x) = A \cdot \sin(c x + \varphi) + d

som ved omdreining gir en vase med denne formen.

Tegn grafen til funksjonen i et koordinatsystem der enhetene langs aksene er centimeter.

Husk å begrunne ditt valg av parameterne $A$ , $c$ , $\varphi$ og $d$ , og la funksjonsuttrykket komme tydelig fram i besvarelsen din.

Fasit

\underline{\underline{f(x) = 1{,}3 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right) + 4{,}8}}

Volum ved omdreining: $\underline{\underline{V \approx 1500{,}7 \, \mathrm{cm}^3 \approx 1{,}5 \, \mathrm{L}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal konstruere en funksjon $f(x) = A \cdot \sin(cx + \varphi) + d$ slik at figuren $f$ omdreiet rundt $x$ -aksen gir en vase med høyde $20 \, \mathrm{cm}$ og volum $\approx 1{,}5 \, \mathrm{L} = 1500 \, \mathrm{cm}^3$ .

Valg av parameterne:

Høyde og periode ( $c$ ): Vasen skal ha høyde $20 \, \mathrm{cm}$ , så $x$ går fra $0$ til $20$ . Formen på bildet viser én halv sinusbølge — vasen er bred øverst, smalner inn på midten og er bred igjen nederst (eller omvendt). Vi ønsker én full «bølge» over $x \in [0, 20]$ , altså periode $T = 20$ :

c = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}

Likevektslinje ( $d$ ): $d$ er gjennomsnittlig radius. For en vase med passende proporsjonene velger vi $d = 4{,}8 \, \mathrm{cm}$ .

Amplitude ( $A$ ): $A$ bestemmer hvor mye formen varierer rundt gjennomsnittet. Vi velger $A = 1{,}3 \, \mathrm{cm}$ , som gir en passe «buet» profil.

Faseforskyvning ( $\varphi$ ): Med $\varphi = 0$ starter vasen i $f(0) = d = 4{,}8 \, \mathrm{cm}$ og har toppunkt ved $x = 5$ og bunnpunkt ved $x = 15$ :

$x$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
$f(x)$	$4{,}8$	$6{,}1$	$4{,}8$	$3{,}5$	$4{,}8$

Funksjonsuttrykket:

f(x) = 1{,}3 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right) + 4{,}8

Verifisering av volum:

Volumet av et omdreiningslegeme rundt $x$ -aksen er

V = \pi \int_0^{20} \left[f(x)\right]^2 \, \mathrm{d}x

Vi regner ut integralet i GeoGebra CAS:

V = \pi \int_0^{20} \left(1{,}3 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right) + 4{,}8\right)^2 \mathrm{d}x \approx \underline{\underline{1500{,}7 \, \mathrm{cm}^3 \approx 1{,}5 \, \mathrm{L}}} \checkmark

Graf av funksjonen:

Grafen under viser $f(x)$ for $x \in [0, 20]$ , der $x$ -aksen er høyden og $y$ -aksen er radius (begge i $\mathrm{cm}$ ). Toppunktet $\text{Topp} = (5;\, 6{,}1)$ tilsvarer den bredeste delen av vasen, og bunnpunktet $\text{Bunn} = (15;\, 3{,}5)$ den smaleste.

Sensorveiledning

Kandidaten kan få 1 poeng for riktig volum og høyde, 1 poeng for riktig form og 1 poeng for god begrunnelse. Kandidater må tegne graf og oppgi funksjonsuttrykket for full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: omdreiningslegeme, trigonometri, volum, modellering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Oppgave 1-2 : Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26

Oppgave 1-3 : Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Oppgave 1-4 : Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26

Oppgave 1-5 : Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26

Oppgave 1-6 : Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

Oppgave 1-8 : Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Datatrafikk og sinusmodell R2 V26

Oppgave 2-2 : Rekursiv rekke og konvergens S2 V26

Oppgave 2-3 : Propellfly med vektorfunksjon R2 V26

Oppgave 2-4 : Vase som omdreiningslegeme R2 V26

R2 Vår 2026

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Oppgave 1-2 : Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26

Oppgave 1-3 : Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Oppgave 1-4 : Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26

Oppgave 1-5 : Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26

Oppgave 1-6 : Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

Oppgave 1-8 : Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Datatrafikk og sinusmodell R2 V26

Oppgave 2-2 : Rekursiv rekke og konvergens S2 V26

Footnotes

Oppgave 2-3 : Propellfly med vektorfunksjon R2 V26

Oppgave 2-4 : Vase som omdreiningslegeme R2 V26