Nora blir 37 år i 2026 og vil begynne å spare til egen pensjon.

Hun vil sette et fast beløp inn på en konto i banken 1. januar hvert år. Hun vil begynne sparingen 1. januar 2026 og holde på til og med januar 2055.

Målet hennes er å ha 3 750 000 kroner i banken etter at rentene for 2055 er lagt til. Nora venter at den årlige rentesatsen på kontoen vil være 2,5 %.

a)

Hvor stort beløp må Nora sette i banken hvert år for å nå målet?

Nora har et huslån. Lånet har årlige terminer, og Nora betaler terminbeløpet i januar hvert år. I januar 2026 vil lånet være på 3 000 000 kroner.

Nora vil betale ned lånet før det året hun fyller 70. Hun har regnet seg fram til at hun da må betale 150 000 kroner hver termin fra og med januar 2026 til og med januar 2058.

b)

Hvor høy har Nora regnet med at den årlige rentesatsen på lånet vil være?

Nora ønsker å hjelpe datteren med egenkapital til bolig. Nora oppretter derfor en ekstra sparekonto og setter opp en spareplan med ett årlig innskudd i 10 år. Det første innskuddet skal være 10000 kroner, deretter skal beløpene hun setter inn, øke med 6 % per år. Nora venter at rentesatsen vil være 2,5 % per år.

Målet er å ha 150 000 kroner på sparekontoen ett år etter at hun har satt inn det siste beløpet.

c)

Vil Nora nå målet sitt?

Fasit

a)

83 333 kr

b)

3,528 %

c)

Nei, 149 581 kr

Løsningsforslag

a)

Vi kaller det ukjente beløpet $B$. Nora skal sette inn $B$ på konto 30 ganger. Det siste beløpet skal ha fått renter i 1 år, mens det første beløpet skal ha fått renter i 30 år.

For å ha 3 750 000 kr på konto etter 30 år så kan vi altså sette opp en likning med ei rekke. Likningen er løst i linje 1 i GeoGebra.

$$\underbrace{ \textcolor{tomato}{B\cdot 1{,}025^{1}} }_{ \text{År 2055} }+\underbrace{ \textcolor{seagreen}{B\cdot 1{,}025^{2}} }_{ \text{År 2054} }+\dots+ \underbrace{ \textcolor{maroon}{B\cdot 1{,}025^{30}} }_{ \text{År 2026} }=3\,750\,000$$

Nora må sette inn 83 333 kr hvert år for å nå målet.

b)

Vi kaller den ukjente vekstfaktoren til renta $v$. Nora skal betale inn lånet over 33 terminer med første termin 1. januar 2026. Nåverdien (NV) til terminbeløpene vil være:

$$\underbrace{ \textcolor{orange}{\frac{150\,000}{v^{0}}} }_{ \text{NV til 2026-beløpet} }+\underbrace{ \textcolor{seagreen}{\frac{150\,000}{v^{1}}} }_{ \text{NV til 2027-beløpet} }+\dots+\underbrace{ \textcolor{tomato}{\frac{150\,000}{v^{32}}} }_{ \text{NV til 2058-beløpet} }=3\,000\,000$$

Likningen er løst i linje 2 i GeoGebra.

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen er 3,528 %.

c)

Sparebeløpene til Nora kan sees på som en rekke der det første beløpet er 10000 kr og får renter i 10 år, mens det siste beløpet er $10000\cdot 1{,}06^{9}$ og får renter i ett år.

$$\underbrace{ \textcolor{tomato}{10000 \cdot 1{,}06^{0}\cdot 1{,}025^{10}} }_{ \text{Beløp år 0} } + \underbrace{ \textcolor{seagreen}{10000 \cdot 1{,}06^{1}\cdot 1{,}025^{9}} }_{ \text{Beløp år 1} } + \dots + \underbrace{ \textcolor{maroon}{10000 \cdot 1{,}06^{9}\cdot 1{,}025^{1}} }_{ \text{ Beløp år 9 } }$$

Beløpet er beregnet i linje 3 i GeoGebra.

Nora vil ikke nå målet på 150 000 kr. Hun vil ha 149 581 kr på kontoen etter 10 år.

Sensorveiledning

a)

En god strategi kan gi 1 poeng.

b)

En god strategi kan gi 1 poeng.

c)

Kandidater med en god strategi, men som får feil svar kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten ha med økningen.