2P Høst 2024 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Bestem målestokk fra kart

På et kart er avstanden mellom to byer 10 cm. I virkeligheten er denne avstanden 5 km.

Bestem målestokken til kartet.

Fasit

Målestokk $1 : 50 000$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne forholdet mellom karstavstand og virkelig avstand.

Først gjør vi om den virkelige avstanden til samme enhet som kartavstanden (centimeter):

5 km = 5 \cdot 100 000 cm = 500 000 cm

Målestokken er forholdet mellom kartavstand og virkelig avstand:

Målestokk = \frac{kartavstand}{virkelig avstand} = \frac{10 cm}{500 000 cm} = \frac{1}{50 000}

Målestokken til kartet er $1 : 50 000$ .

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Proporsjonalitet, Målestokk
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Statistikk på Lars arbeidstid

Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene:

3 3 4 5 6 8 0 3 5 5

Bestem gjennomsnittet og medianen.

Bestem den kumulative frekvensen for 5 timer og forklar hva dette tallet betyr.

Fasit

Gjennomsnitt: 4,2 timer. Median: 4,5 timer.

8

Løsningsforslag

Data sortert i stigende rekkefølge:

0 3 3 3 \underset{Median}{\underset{⏟}{4 5}} 5 5 6 8

Gjennomsnitt = \frac{0 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 8}{10} = \frac{42}{10} = 4,2

median = \frac{4 + 5}{2} = 4,5

Gjennomsnittet er 4,2 timer og medianen er 4,5 timer.

Den kumulative frekvensen for 5 timer er antall dager der Lars jobbet høyst 5 timer. Vi teller antall verdier som er mindre eller lik 5 timer: $0, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5$ .

Den kumulative frekvensen for 5 timer er 8. Det betyr at Lars jobbet høyst 5 timer på 8 av de 10 siste dagene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig median, og 1 poeng for riktig gjennomsnitt. For å få uttelling må kandidaten vise hvordan svarene framkommer.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig kumulativ frekvens, og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning knyttet til situasjonen i oppgaven.

For å få uttelling må kandidaten vise hvordan svaret framkommer.

Generelle forklaringer av begrepet kumulativ frekvens gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Statistikk
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Formlike trekanter og areal

Even har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er 10 cm, og den andre kateten er 5 cm. Even vil tegne en ny trekant som er formlik med den trekanten han har tegnet. Arealet av den nye trekanten skal være $64 c m^{2}$ .

Hvor lange må hver av katetene i den nye trekanten være?

Fasit

Katetene i den nye trekanten er $16 cm$ og $8 cm$ .

LøsningsforslagKI-generert

Evens originale trekant har kateter $10 cm$ og $5 cm$ .

Arealet av den originale trekanten er:

A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25 {cm}^{2}

Når to trekanter er formlike, er alle sidene skalert med den samme faktoren $k$ . Siden arealet er et produkt av to lengder, skalerer arealet med $k^{2}$ :

A_{2} = k^{2} \cdot A_{1}

Vi setter inn $A_{2} = 64$ og $A_{1} = 25$ :

64 = k^{2} \cdot 25

k^{2} = \frac{64}{25}

k = \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5} = 1,6

De nye katetene er:

10 \cdot 1,6 = 16 cm

5 \cdot 1,6 = 8 cm

Kontroll: $A_{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = 64 {cm}^{2}$ ✓

Katetene i den nye trekanten er $16 cm$ og $8 cm$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Areal og omkrets
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Løse likningssystem for Markus

Markus arbeider med likningssystemet nedenfor.

[\begin{matrix} 2 x - 6 = y \\ 4 x + 2 y = 12 \end{matrix}]

Vis Markus hvordan han kan løse likningssystemet.

Fasit

$x = 3$ og $y = 0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker innsettingsmetoden. Den første likningen er allerede løst for $y$ :

y = 2 x - 6

Vi setter dette inn for $y$ i den andre likningen:

4 x + 2 \cdot (2 x - 6) = 12

4 x + 4 x - 12 = 12

8 x = 24

x = 3

Nå setter vi $x = 3$ tilbake i den første likningen for å finne $y$ :

y = 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0

Svaret er $x = 3$ og $y = 0$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang

Sara har lest om en bedrift som regner med å slippe ut $200 tonn$ CO $_{2}$ i 2025.

Bedriften har som mål å redusere utslippet med $2,5 %$ hvert år framover.

Sara har laget programmet nedenfor:

def f(x):
	return 200 * 0.975 ** x

x = 0
s = 0

while x <= 4:
	s = s + f(x)
	x = x + 1
	
print(s)

Gi en praktisk tolkning av uttrykket Sara har brukt i linje 2.

Hva vil verdien som skrives ut når programmet kjøres, fortelle Sara?

Fasit

Uttrykket gir utslippet (tonn CO₂) $x$ år etter 2025

Det totale CO₂-utslippet i 2025–2029 ( $\approx 951 tonn$ )

Løsningsforslag

Linje 2 i programmet er return 200 * 0.975 ** x.

$200$ er utslippet i tonn CO₂ i 2025
$0,975 = 1 - 0,025$ er vekstfaktoren når utslippet reduseres med $2,5 %$ per år
$x$ er antall år etter 2025

Uttrykket $200 \cdot {0,975}^{x}$ gir utslippet (i tonn CO₂) $x$ år etter 2025.

Programmet beregner $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4)$ , altså summen av utslippet for $x = 0, 1, 2, 3, 4$ .

Dette tilsvarer utslippet i 2025, 2026, 2027, 2028 og 2029.

Verdien som skrives ut ( $\approx 951 tonn$ ), er det totale CO₂-utslippet fra bedriften i perioden 2025–2029.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Mindre presise forklaringer kan gi 1 poeng. En kandidat som bare gjentar det står i koden linje for linje, får ingen uttelling for dette.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentvis endring i flere perioder, Programmering
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Salg av iste

En bedrift produserer iste. Funksjonen gitt ved

F (x) = 620 \cdot {1,045}^{x}

er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.

For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette $x = 0$ , for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette $x = 1$ , og så videre.

Krever PC

Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og på spørsmål 2) nedenfor.

Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?

Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?

Krever PC

Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?

Fasit

Des. 2025: $\approx 1051$ flasker; selger $> 2000$ fra mars 2027 ( $x = 27$ )

$\approx 188 %$ økning

Løsningsforslag

Metode 1 – bruke modellen direkte:

Desember 2025 er 12 måneder etter desember 2024, så vi setter $x = 12$ :

F (12) = 620 \cdot {1,045}^{12} \approx 1051 flasker

For å finne når salget overstiger 2000 flasker løser vi $F (x) > 2000$ :

620 \cdot {1,045}^{x} = 2000 ⟹ {1,045}^{x} = \frac{2000}{620} \approx 3,226

x = \frac{\lg 3,226}{\lg 1,045} \approx 26,6

Det vil si at fra og med $x = 27$ (mars 2027) vil salget overstige 2000 flasker.

Metode 2 – grafisk løsning:

Vi tegner $F (x) = 620 \cdot {1,045}^{x}$ og leser av. For spørsmål 1 leser vi av $y$ -verdien ved $x = 12$ (grønt punkt). For spørsmål 2 finner vi skjæringspunktet mellom $F (x)$ og linjen $y = 2000$ (rødt punkt).

$Graf av F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x med y = 2000 og x = 12 markert$

Fra grafen leser vi av:

I desember 2025 regner bedriften med å selge omtrent $1051 flasker$ iste.
Fra og med $x = 27$ , som tilsvarer mars 2027, vil bedriften for første gang selge mer enn $2000 flasker$ i løpet av en måned.

Fra desember 2024 ( $x = 0$ ) til desember 2026 ( $x = 24$ ):

F (0) = 620 F (24) = 620 \cdot {1,045}^{24} \approx 1783

Prosentvis økning = \frac{F (24) - F (0)}{F (0)} \cdot 100 = \frac{1783 - 620}{620} \cdot 100 \approx 187,6 %

Vi kan også bruke at vekstfaktoren over 24 måneder er ${1,045}^{24} \approx 2,876$ , dvs. $188 %$ økning.

Salget vil øke med omtrent $188 %$ fra desember 2024 til desember 2026.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver framgangsmåte som fører fram til riktig svar.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

For å få uttelling, må kandidaten regne med riktig grunnlag.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Prosentvis endring i flere perioder
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Kjøpekraft og konsumprisindeks

Krever PC

Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig månedslønn for arbeidstakere i Norge i perioden 2015–2022. Tabellen viser også konsumprisindeksen (KPI) de samme årene.

År	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022
Gjennomsnittlig månedslønn (kroner)	42 580	43 640	44 660	46 010	47 720	48 750	50 790	53 150
KPI	100	103,6	105,5	108,4	110,8	112,2	116,1	122,8

Undersøk hvordan kjøpekraften har endret seg år for år i perioden 2015–2022. Presenter resultatet på en oversiktlig måte.

Fasit

Se tabell og graf i løsningsforslaget. Kjøpekraften falt i 2016 og 2022, og steg i alle andre år. Totalt økte kjøpekraften med ca. $702 kr$ (ca. $1,6 %$ ) fra 2015 til 2022.

LøsningsforslagKI-generert

For å undersøke kjøpekraften justerer vi månedslønnen for prisvekst ved hjelp av konsumprisindeksen (KPI). KPI forteller oss hvor mye prisene har steget sammenlignet med basisåret 2015, der KPI = 100.

Formel for kjøpekraft i faste 2015-kroner:

Kjøpekraft = \frac{Månedslønn}{KPI} \cdot 100

Eksempel for 2016:

\frac{43 640}{103,6} \cdot 100 \approx 42 124 kr

Oversikt over kjøpekraft og endringer år for år:

År	Månedslønn (kr)	KPI	Kjøpekraft (kr)	Endring fra forrige år (kr)
2015	42 580	100,0	42 580	—
2016	43 640	103,6	42 124	$- 456$
2017	44 660	105,5	42 332	$+ 208$
2018	46 010	108,4	42 445	$+ 113$
2019	47 720	110,8	43 069	$+ 624$
2020	48 750	112,2	43 449	$+ 381$
2021	50 790	116,1	43 747	$+ 298$
2022	53 150	122,8	43 282	$- 465$

Grafen nedenfor viser kjøpekraften i perioden (x = 0 tilsvarer 2015, x = 7 tilsvarer 2022):

Kjøpekraft i faste 2015-kroner, 2015–2022

Konklusjon: Kjøpekraften falt i 2016 og i 2022 (begge år med høy prisvekst som oversteg lønnsveksten). I alle andre år økte kjøpekraften. Fra 2015 til 2022 økte den totale kjøpekraften med omtrent $702 kr$ , som tilsvarer ca. $1,6 %$ . Den reelle lønnsveksten var altså svært beskjeden over denne perioden.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten presentere en oversikt som viser endringen år for år. Mindre oversiktlige/mangelfulle presentasjoner kan gi 2 poeng. En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prisindeks, Prosentregning
Kompetansemål: Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar

For hånd

Chris arbeider med de seks oppgavene nedenfor. Han har systematisert oppgavene i tre kolonner og kaller de to oppgavene som står i samme kolonne, for et oppgavepar.

Seks oppgaver i snakkebobler, ordnet i tre oppgavepar. Par 1: «Hvor mye er 10 % av 50?» og «Hvor mye er 50 % av 10?». Par 2: «Hvor mye er 30 % av 12?» og «Hvor mye er 12 % av 30?». Par 3: «Hvor mye er 25 % av 8?» og «Hvor mye er 8 % av 25?».

Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i oppgavepar på samme måte som ovenfor, alltid vil ha samme svar.

Fasit

$a %$ av $b$ $=$ $\frac{a \cdot b}{100}$ $=$ $b %$ av $a$ (multiplikasjon er kommutativ)

Løsningsforslag

« $a %$ av $b$ » betyr $\frac{a}{100} \cdot b = \frac{a \cdot b}{100}$ .

« $b %$ av $a$ » betyr $\frac{b}{100} \cdot a = \frac{b \cdot a}{100}$ .

Siden multiplikasjon er kommutativ ( $a \cdot b = b \cdot a$ ), gir de to regnestykket alltid det samme svaret:

\frac{a \cdot b}{100} = \frac{b \cdot a}{100}

Vi kan bytte om tallene i prosentoppgaver: $a %$ av $b$ gir alltid samme svar som $b %$ av $a$ , fordi vi i begge tilfeller deler produktet $a \cdot b$ på $100$ . Multiplikasjon er kommutativ.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som løser oppgavene i alle tre oppgaveparene, får 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten argumentere for en generalisering.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Utforskning, Argumentasjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag

En fotoklubb arrangerer quiz hver torsdag. Det er tre lag som alltid deltar på quizen. På hvert av lagene er det seks personer.

Nedenfor ser du alderen til de seks personene på lag A:

15 år 60 år 24 år 18 år 45 år 78 år

Kalkulator

Bestem medianalderen, gjennomsnittsalderen og standardavviket for alderen til de seks personene på laget.

Du får vite dette om alderen til personene som er med på hvert av de to andre lagene:

Kalkulator

Hva kan du si om alderen til personene på lag B og lag C sammenliknet med personene på lag A ut fra disse opplysningene?

Kalkulator

Sett opp et eksempel som viser en mulig aldersfordeling for lag B og for lag C. Vis at gjennomsnittsalder, medianalder og standardavvik stemmer med opplysningene om alderen til personene på lagene.

Fasit

Median $= 34,5 år$ , gjennomsnitt $= 40 år$ , $σ \approx 23,2 år$

Se løsningsforslag for beskrivelse

Se løsningsforslag for eksempel

Løsningsforslag

Lag A sortert: $15, 18, 24, 45, 60, 78$

Medianalder:

Seks personer → gjennomsnittet av den 3. og 4. verdien:

median = \frac{24 + 45}{2} = 34,5 år

Gjennomsnittsalder:

\overline{x} = \frac{15 + 60 + 24 + 18 + 45 + 78}{6} = \frac{240}{6} = 40 år

Standardavvik (beregnet med kalkulator):

σ \approx 23,2 år

Medianen er 34,5 år, gjennomsnittsalderen er 40 år og standardavviket er 23,2 år.

Lag B har høyere median og høyere gjennomsnitt enn lag A, men lavere standardavvik. Det betyr at personene på lag B generelt er eldre enn på lag A, og at de er mer jevnaldrende (mindre variasjon i alderen).

Lag C har lavere median men høyere gjennomsnitt enn lag A. Det tyder på at det er en eller noen få personer med svært høy alder som drar gjennomsnittet opp, mens over halvparten er yngre enn medianen på lag A. Det høyere standardavviket bekrefter at aldersfordelingen er mer spredt enn på lag A.

Eksempel på lag B (median > 34,5, gjennomsnitt > 40, SD < 23,2):

38, 40, 42, 45, 50, 55

Median: $\frac{42 + 45}{2} = 43,5 > 34,5$ ✓
Gjennomsnitt: $\frac{270}{6} = 45 > 40$ ✓
SD $\approx 5,9 < 23,2$ ✓

Eksempel på lag C (median < 34,5, gjennomsnitt > 40, SD > 23,2):

10, 15, 30, 35, 60, 100

Median: $\frac{30 + 35}{2} = 32,5 < 34,5$ ✓
Gjennomsnitt: $\frac{250}{6} \approx 41,7 > 40$ ✓
SD $\approx 30,6 > 23,2$ ✓

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få uttelling, må kandidaten bestemme minst to av de tre verdiene. En kandidat som bestemmer alle tre verdiene, men ikke gjør rede for hvordan svarene framkommer, får 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten argumentere riktig ut fra alle tre målene for hvert lag. Mindre presise eller ufullstendige forklaringer kan gi 1 poeng.

I utgangspunktet gis 1 poeng for hvert riktig eksempel dersom kandidaten viser at verdiene stemmer med opplysningene som er gitt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Utforskning
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Nettoinntekt med overtid

Kalkulator

Tobine har en fast arbeidstid på $162,5$ timer hver måned og en fast månedslønn på $35 750$ kroner.

Ved overtid får hun et tillegg på $40 %$ .

Tobine har et pensjonstrekk på $2 %$ og et skattetrekk på $18 %$ .

En måned arbeidet hun 10 timer overtid.

Bestem nettoinntekten til Tobine denne måneden.

Fasit

Nettoinntekt: $31 254,30 kr$

Løsningsforslag

Jeg kunne brukt regneark her, men jeg synes det er like enkelt å regne denne for hånd.

Steg 1 – Timelønn

Timelønn = \frac{35 750}{162,5} = 220 k r / t i m e

Steg 2 – Overtidslønn per time

Overtid gir $40 %$ tillegg, altså $140 %$ av ordinær timelønn:

Overtidslønn = 220 \cdot 1,40 = 308 k r / t i m e

Steg 3 – Overtidsinntekt

Overtidsinntekt = 308 \cdot 10 = 3 080 kr

Steg 4 – Bruttolønn

Bruttolønn = 35 750 + 3 080 = 38 830 kr

Steg 5 – Pensjonstrekk
Det er vanlig å kun betale pensjonstrekk for den faste lønna.

Pensjonstrekk = 35 750 \cdot 0,02 = 715 kr

Steg 6 – Trekkgrunnlag

Trekkgrunnlag = 38 830 - 715 = 38 115 kr

Steg 7 – Skattetrekk

Totalt trekk = 38 115 \cdot 0,18 = 6 860,70 kr

Steg 6 – Nettoinntekt

Nettoinntekt = 38 115 - 6 860,7 = 31 254,3 kr

Tobines nettoinntekt denne måneden er $𝟑𝟏 𝟐𝟓𝟒,𝟑 kr$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten regne pensjon av fast lønn og bruke riktig trekkgrunnlag.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentregning, Økonomi
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter

Krever PC

Tabellen nedenfor viser hvor mange timer menn og kvinner brukte på ulike aktiviteter en gjennomsnittsdag i 1970, 1990 og 2010:

Tabell 1: Antall timer brukt på ulike aktiviteter fra 1970 til 2010. Kilde: SSB

		Menn			Kvinner
År	1970	1990	2010	1970	1990	2010
Inntektsgivende arbeid	5,48	4,50	4,17	1,93	2,80	3,02
Husholdsarbeid	2,22	2,60	3,00	5,92	4,37	3,83
Utdanning	0,38	0,48	0,45	0,28	0,55	0,47

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenlikninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.

Fasit

Åpen oppgave – se løsningsforslag for eksempel

Løsningsforslag

Dette er en åpen presentasjonsoppgave uten ett fasitsvar. Her er et eksempel på funn og framstillinger:

Beregninger:

Prosentvis endring i inntektsgivende arbeid for menn fra 1970 til 2010:

\frac{4,17 - 5,48}{5,48} \cdot 100 \approx - 23,9 %

Prosentvis endring i inntektsgivende arbeid for kvinner fra 1970 til 2010:

\frac{3,02 - 1,93}{1,93} \cdot 100 \approx 56,5 %

Interessante funn:

Menns tid på inntektsgivende arbeid har gått ned med ca. 24 % fra 1970 til 2010, mens kvinners tid har økt med ca. 57 %.
Kvinner brukte i 1970 nesten tre ganger så mye tid på husholdsarbeid som menn (5,92 mot 2,22 timer), mens i 2010 er forskjellen mye mindre (3,83 mot 3,00 timer).
Menn og kvinner bruker omtrent like mye tid på utdanning i alle tre årstall.

Mulig diagram: Et gruppert søylediagram der man sammenligner menn og kvinner for hvert år, eller et linjediagram som viser utviklingen fra 1970 til 2010 for hver kategori.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte.

Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter.

Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.)

Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2 - 3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Presentasjon av data, Prosentregning, Diagram
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Forbrukslån med betalingsplan

Kalkulator

Julia har tatt opp et forbrukslån som skal betales ned i løpet av de neste 12 månedene.

Hun skal betale ned på lånet hver måned.

Betalingsplanen ser slik ut:

Måned	Terminbeløp	Renter	Avdrag	Restlån
1	kr 6 962,00	kr 1 275,00	kr 5 687,00	kr 69 313,00
2	kr 6 962,00	kr 1 178,32	kr 5 783,68	kr 63 529,32
3	kr 6 962,00	kr 1 080,00	kr 5 882,00	kr 57 647,32
4	kr 6 962,00	kr 980,00	kr 5 982,00	kr 51 665,32
5	kr 6 962,00	kr 878,31	kr 6 083,69	kr 45 581,63
6	kr 6 962,00	kr 774,89	kr 6 187,11	kr 39 394,52
7	kr 6 962,00	kr 669,71	kr 6 292,29	kr 33 102,23
8	kr 6 962,00	kr 562,74	kr 6 399,26	kr 26 702,97
9	kr 6 962,00	kr 453,95	kr 6 508,05	kr 20 194,92
10	kr 6 962,00	kr 343,31	kr 6 618,69	kr 13 576,23
11	kr 6 962,00	kr 230,80	kr 6 731,20	kr 6 845,03
12	kr 6 961,39	kr 116,37	kr 6 845,03	–

Bruk betalingsplanen til å avgjøre

om lånet er et serielån eller et annuitetslån
hvor mye penger Julia har lånt
hvor mange prosent Julia betaler i månedlig rente

Fasit

Annuitetslån
Julia lånte $75 000 kr$
Månedlig rente: $1,70 %$

Løsningsforslag

Vi bruker betalingsplanen i regnearket nedenfor.

Betalingsplan for Julias forbrukslån

Serielån eller annuitetslån?

Vi ser på terminbeløpet (det Julia betaler hver måned):

Alle terminbeløp er kr 6 962,00 (unntatt siste måned som er kr 6 961,39 på grunn av avrunding).

Terminbeløpet er konstant gjennom hele nedbetalingsperioden.

Vi ser også at avdraget øker for hver måned (fra kr 5 687 i mnd 1 til kr 6 845 i mnd 12), mens rentene synker.

Dette er kjennetegnet på et annuitetslån: konstant terminbeløp, voksende avdrag og synkende renter.

Julia har et annuitetslån.

Opprinnelig lånebeløp

Det opprinnelige lånet er restlånet etter måned 1 pluss avdraget i måned 1:

75 000 = 69 313 + 5 687

Julia lånte $75 000 kr$ .

Månedlig rentesats

Rentene i måned 1 beregnes av det opprinnelige lånet:

r = \frac{renter mnd 1}{opprinnelig lån} = \frac{1 275}{75 000} = 0,017 = 1,70 %

Vi kan verifisere med måned 2: restlånet etter mnd 1 er kr 69 313,00, og

69 313,00 \cdot 0,017 = 1 178,32 kr

som stemmer nøyaktig med tabellen.

Den månedlige renten er $1,70 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hvert riktig svar. For å få uttelling, må kandidaten vise hvordan svarene framkommer.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Lån, Økonomi, Prosentregning
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Volum og areal for lesehule

En barneskole skal kjøpe lesehuler til de yngste elevene.

Tre lesehuler i ulike farger

En lesehule har mål som vist på tegningen nedenfor. Dybden er 1000 mm.

Teknisk tegning av lesehule med mål

Kalkulator

Bestem volumet av rommet inne i lesehulen. Gi svaret i kubikkmeter.

Lesehulen har en sekskantet inngang. Sekskanten er regulær. Alle sidene i sekskanten er 398 mm.

Kalkulator

Gjør beregninger og bestem arealet av den sekskantede inngangen. Gi svaret i kvadratmeter.

Fasit

$V \approx 1,29 m^{3}$

$A \approx 0,41 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Lesehulen har et husformet tverrsnitt (rektangel + trekant) og en dybde på 1000 mm.

Tverrsnitt av lesehule med mål

GeoGebra bekrefter at tverrsnittsarealet er $1 287 000 {mm}^{2}$ (se «Hus = 1287000» i figuren).

Vi deler tverrsnittet i et rektangel (veggene) og en trekant (taket).

Rektangel:

A_{rekt} = 1000 mm \cdot 1047 mm = 1 047 000 {mm}^{2}

Trekant (taket):

A_{tak} = \frac{1}{2} \cdot 1000 mm \cdot 480 mm = 240 000 {mm}^{2}

Totalt tverrsnittareal:

A_{tverrsnitt} = 1 047 000 + 240 000 = 1 287 000 {mm}^{2}

Volum = tverrsnittareal × dybde:

V = 1 287 000 {mm}^{2} \cdot 1000 mm = 1 287 000 000 {mm}^{3}

Vi konverterer til kubikkmeter ( $1 m^{3} = 10^{9} {mm}^{3}$ ):

V = \frac{1 287 000 000}{10^{9}} m^{3} = 𝟏,𝟐𝟖𝟕 \approx 𝟏,𝟐𝟗 m^{𝟑}

En regulær sekskant med sidelengde $s$ har arealet:

A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot s^{2}

Med $s = 398 mm$ :

A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 398^{2} {mm}^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 158 404 {mm}^{2} \approx 411 546 {mm}^{2}

Vi konverterer til kvadratmeter ( $1 m^{2} = 10^{6} {mm}^{2}$ ):

A = \frac{411 546}{10^{6}} m^{2} \approx 𝟎,𝟒𝟏 m^{𝟐}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Volum, Areal og omkrets, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1·Bestem målestokk fra kart

Oppgave 1-2·Statistikk på Lars arbeidstid

Oppgave 1-3·Formlike trekanter og areal

Oppgave 1-4·Løse likningssystem for Markus

Oppgave 1-5·Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 31 poeng

Oppgave 2-1·Salg av iste

Oppgave 2-2·Kjøpekraft og konsumprisindeks

Oppgave 2-3·Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar

Oppgave 2-4·Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag

Oppgave 2-5·Nettoinntekt med overtid

Oppgave 2-6·Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter

Oppgave 2-7·Forbrukslån med betalingsplan

Serielån eller annuitetslån?

Opprinnelig lånebeløp

Månedlig rentesats

Oppgave 2-8·Volum og areal for lesehule

Temaer

Oppgave 1-1Bestem målestokk fra kart

Oppgave 1-2Statistikk på Lars arbeidstid

Oppgave 1-3Formlike trekanter og areal

Oppgave 1-4Løse likningssystem for Markus

Oppgave 1-5Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang

Oppgave 2-1Salg av iste

Oppgave 2-2Kjøpekraft og konsumprisindeks

Oppgave 2-3Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar

Oppgave 2-4Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag

Oppgave 2-5Nettoinntekt med overtid

Oppgave 2-6Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter

Oppgave 2-7Forbrukslån med betalingsplan

Oppgave 2-8Volum og areal for lesehule