Vi skal konstruere en rasjonal funksjon $f$ som har ingen nullpunkter og to vertikale asymptoter.

Idé: En rasjonal funksjon $\frac{p(x)}{q(x)}$ har

• nullpunkter der telleren $p(x) = 0$
• vertikale asymptoter der nevneren $q(x) = 0$ (og telleren ikke er 0)

Vi velger telleren til å være konstanten $1$, som aldri blir null. Da får vi ingen nullpunkter uansett hva som skjer i nevneren.

For å få to vertikale asymptoter trenger vi at nevneren har to ulike reelle nullpunkter. Vi velger

som har nullpunktene $x = 1$ og $x = -1$.

Vi setter

Argumentasjon:

• Ingen nullpunkter: Telleren er $1 \neq 0$ for alle $x$, så $f(x) = 0$ har ingen løsning.
• To vertikale asymptoter: Nevneren $x^2 - 1 = 0$ gir $x = 1$ og $x = -1$. I disse punktene er $f$ udefinert og $|f(x)| \to \infty$. Dermed er $\textcolor{tomato}{x = 1}$ og $\textcolor{tomato}{x = -1}$ vertikale asymptoter.

$f$ er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: $\underline{\underline{f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}}}$

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon $g$ med horisontal asymptote $y = 2$ som ikke skjærer $y$-aksen.

Horisontal asymptote: En rasjonal funksjon $\frac{p(x)}{q(x)}$ der teller og nevner har samme grad, har horisontal asymptote $y = \frac{a}{b}$, der $a$ er ledende koeffisient i telleren og $b$ er ledende koeffisient i nevneren.

Vi velger teller og nevner av grad 1:

Her er ledende koeffisient i telleren $2$, og ledende koeffisient i nevneren $1$.

Argumentasjon:

• Horisontal asymptote $y = 2$: Vi skriver om:

Når $x \to \pm\infty$ går $\frac{1}{x} \to 0$, og dermed $g(x) \to 2$. Den horisontale asymptoten er $\textcolor{seagreen}{y = 2}$.

• Skjærer ikke $y$-aksen: $g(0) = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0} = \frac{-1}{0}$ er udefinert. Dermed er $g$ ikke definert for $x = 0$, og grafen skjærer ikke $y$-aksen. ($x = 0$ er en vertikal asymptote.)

$g$ er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: $\underline{\underline{g(x) = \dfrac{2x-1}{x}}}$