1P Vår 2024 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler
1-1	Verdens befolkning og promille	KI
1-2	Ada sparer med eksponentialfunksjon	KI
1-3	Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	✔︎
1-4	Bremselengde og fart	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler
2-1	Modellering av bagettsalg	KI
2-2	Gautes sparekonto	✔︎
2-3	Oljeproduksjon på norsk sokkel	KI
2-4	Jakob Ingebrigtsens løpsrekorder	KI
2-5	Knut og Sabrina tallfølge	KI
2-6	Lufttrykk og kokepunkt for vann	KI
2-7	Skobutikk ta 3 betal for 2	✔︎

Oppgave 1-1 : Verdens befolkning og promille

Anta at det på et tidspunkt vil bo 18 millioner mennesker i et land, og at dette vil tilsvare 2 promille av verdens befolkning.

Hvor stor vil verdens befolkning være på dette tidspunktet?

Fasit

Verdens befolkning vil være $\underline{\underline{9 \text{ milliarder} = 9 \cdot 10^9}}$

LøsningsforslagKI-generert

2 promille betyr 2 per 1000, det vil si:

2 \text{ promille} = \frac{2}{1000} = 0{,}002

Hvis 18 millioner mennesker utgjør 2 promille av verdens befolkning, kan vi sette opp:

\text{18 millioner} = 0{,}002 \cdot \text{verdens befolkning}

Vi løser for verdens befolkning ved å dele begge sider på $0{,}002$ :

\text{verdens befolkning} = \frac{18 \text{ millioner}}{0{,}002}

Vi regner ut:

\frac{18}{0{,}002} = \frac{18}{\frac{2}{1000}} = 18 \cdot \frac{1000}{2} = 18 \cdot 500 = 9000

Svaret er 9000 millioner = 9 milliarder.

\underline{\underline{\text{Verdens befolkning} = 9 \cdot 10^9}}

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: prosentregning, store tall
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform

Oppgave 1-2 : Ada sparer med eksponentialfunksjon

Ada vil spare penger og har funnet ut at hun kan bruke funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 20000 \cdot 1{,}0485^{x}

for å regne ut hvor mye penger hun vil ha i banken om $x$ år.

Gi en praktisk tolkning av tallet 20 000 og av tallet 1,0485.

Ada har laget programmet nedenfor.

def f(x):
    return 20000 * 1.0485 ** x

start = 0
slutt = 10

v = (f(slutt) - f(start))/(slutt - start)

print(v)

Hva forteller tallet som vil bli skrevet ut når hun kjører programmet?

Fasit

$20\,000$ er beløpet Ada har i banken nå (ved $x = 0$ ). $1{,}0485$ er vekstfaktoren, som tilsvarer $4{,}85\,\%$ årlig rente.

Programmet skriver ut den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 0$ til $x = 10$ , altså omtrent $\underline{\underline{1211{,}55 \, \mathrm{kr/år}}}$ — beløpet øker i gjennomsnitt med ca. 1212 kr per år de første 10 årene.

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er $f(x) = 20000 \cdot 1{,}0485^{x}$ , der $x$ er antall år.

Når vi setter inn $x = 0$ , får vi

f(0) = 20000 \cdot 1{,}0485^{0} = 20000 \cdot 1 = 20000

Tallet $\textcolor{steelblue}{20\,000}$ er altså beløpet Ada har i banken i dag (startbeløpet).

Vekstfaktoren $\textcolor{seagreen}{1{,}0485}$ betyr at beløpet vokser med $4{,}85\,\%$ hvert år. Beløpet ganges med $1{,}0485$ for hvert år som går.

$\textcolor{steelblue}{20\,000}$ kr er beløpet Ada har i banken nå. $\textcolor{seagreen}{1{,}0485}$ er vekstfaktoren, som tilsvarer $4{,}85\,\%$ årlig rente.

Programmet regner ut dette uttrykket:

v = \frac{f(10) - f(0)}{10 - 0}

Vi finner de to verdiene:

f(0) = 20000 \cdot 1{,}0485^{0} = 20\,000

f(10) = 20000 \cdot 1{,}0485^{10} \approx 32\,115{,}47

Deretter:

v = \frac{32\,115{,}47 - 20\,000}{10} = \frac{12\,115{,}47}{10} \approx 1211{,}55

Programmet skriver ut $\underline{\underline{v \approx 1211{,}55 \, \mathrm{kr/år}}}$ .

Dette er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 0 til år 10. Det betyr at beløpet i gjennomsnitt øker med ca. 1212 kr per år de første 10 årene.

Sensorveiledning

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hvert tall som er tolket riktig.

2 poeng

Et noe upresist svar kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: eksponentialfunksjoner, programmering
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing

Oppgave 1-3 : Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf

Her ser du grafene til fire funksjoner $f$ , $g$ , $p$ og $q$ .

Fire funksjoner

Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er proporsjonale.
Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er omvendt proporsjonale.

Husk å argumentere for svarene dine.

Fasit

$f$ er proporsjonal, $p$ er omvendt proporsjonal

Løsningsforslag

For at to størrelser skal være proporsjonale, må sammenhengen kunne skrives som $y = k \cdot x$ for en konstant $k > 0$ . Grafen vil da være en rett linje som går gjennom origo.

For at to størrelser skal være omvendt proporsjonale, må sammenhengen kunne skrives som $y = \frac{k}{x}$ for en konstant $k > 0$ . Grafen vil da være en hyperbel.

Fra grafen:

$f$ (grønn) er en rett linje som går gjennom origo → $f$ viser proporsjonale størrelser.
$p$ (blå) er en kraftig avtagende kurve som ligner en hyperbel → $p$ viser omvendt proporsjonale størrelser.
$q$ (rød) er en avtagende kurve, men den er brattere enn en hyperbel ved lave $x$ -verdier og flater mer ut – dette er ikke en ren hyperbel, og er verken proporsjonal eller omvendt proporsjonal.
$g$ (lilla) er en stigende kurve som ikke går gjennom origo med konstant stigningstall – verken proporsjonal eller omvendt proporsjonal.

$\underline{\underline{f}}$ viser proporsjonale størrelser, og $\underline{\underline{p}}$ viser omvendt proporsjonale størrelser.

Sensorveiledning

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig argumentasjon for proporsjonalitet og 1 poeng for riktig argumentasjon for omvendt proporsjonalitet. Riktige svar som ikke er argumentert for, gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: proporsjonalitet, omvendt proporsjonalitet, tolke grafer, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Utforske korleis ulike premissar vil kunne påverke korleis matematiske problem frå samfunnsliv og arbeidsliv blir løyste

Oppgave 1-4 : Bremselengde og fart

For å regne ut bremselengder på sommerføre kan vi bruke formelen

B = \frac{x^2}{2}

Her er $B$ bremselengde (meter), og $x$ er fart (km/h) delt på 10.

På nettsidene til Viking Redningstjeneste står det at en bil som kjører i $70 \mathrm{~km/h}$ , har en bremselengde på $24{,}5 \mathrm{~m}$ .

Vis hvordan Viking Redningstjeneste kan ha regnet ut denne bremselengden.

Hvor fort kjører en bil som har en bremselengde på $40{,}5 \mathrm{~m}$ ?

Fasit

$\underline{\underline{B = 24{,}5 \, \mathrm{m}}}$

$\underline{\underline{v = 90 \, \mathrm{km/h}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise at en bil som kjører i $70 \, \mathrm{km/h}$ har bremselengde $24{,}5 \, \mathrm{m}$ .

Først finner vi $x$ ved å dele farten på 10:

x = \frac{70}{10} = 7

Deretter setter vi inn i formelen:

B = \frac{x^2}{2} = \frac{7^2}{2} = \frac{49}{2} = \mathbf{24{,}5}

Bremselengden er $\underline{\underline{24{,}5 \, \mathrm{m}}}$ , som stemmer med det Viking Redningstjeneste oppgir.

Vi vet at bremselengden er $B = 40{,}5 \, \mathrm{m}$ , og skal finne farten.

Vi setter inn $B = 40{,}5$ i formelen:

\frac{x^2}{2} = 40{,}5

Vi ganger begge sider med 2:

x^2 = 81

Vi tar kvadratroten av begge sider (fart er positiv, så vi tar den positive roten):

x = \sqrt{81} = 9

Siden $x$ er farten delt på 10, finner vi farten ved å gange med 10:

v = x \cdot 10 = 9 \cdot 10 = 90

Bilen kjører i $\underline{\underline{90 \, \mathrm{km/h}}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer helt i mål, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: formler, modellering, likninger
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining

Oppgave 2-1 : Modellering av bagettsalg

deloppgave: d poeng: 2

Modellering av bagettsalg

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.

Solgte bagetter	100	130	160	175	190	220	235
Overskudd (kroner)	1450	2300	3050	3365	3720	4140	4175

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved

O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98

er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger $x$ bagetter i løpet av uken.

Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen $O$ , for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(100, O(100))$ og $(200, O(200))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Bestem den momentane vekstfarten når $x = 235$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Fasit

Alle datapunkter ligger nær kurven — $O(x)$ er en god modell.

Maksimalt overskudd $\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}$ ved $\underline{\underline{x \approx 284}}$ bagetter.

Stigningstallet er $\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}$ .

Momentan vekstfart: $\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi plotter datapunktene fra tabellen og grafen til $O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98$ i GeoGebra:

Datapunkter og O(x) plottet i GeoGebra

Vi ser at alle de røde datapunktene ligger svært nær den blå kurven. Vi kan også beregne modellverdiene og sammenligne:

$x$	$O(x)$ (modell)	Faktisk overskudd	Avvik
100	$1\,427$ kr	$1\,450$ kr	$23$ kr
130	$2\,348$ kr	$2\,300$ kr	$48$ kr
160	$3\,092$ kr	$3\,050$ kr	$42$ kr
175	$3\,405$ kr	$3\,365$ kr	$40$ kr
190	$3\,706$ kr	$3\,720$ kr	$14$ kr
220	$4\,102$ kr	$4\,140$ kr	$38$ kr
235	$4\,178$ kr	$4\,175$ kr	$3$ kr

Avvikene er små (under $50$ kr) sammenlignet med overskuddet. $O(x)$ er en god modell.

Vi finner toppunktet til $O(x)$ ved å sette den deriverte lik null.

O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04 = 0

Vi løser dette i GeoGebra CAS:

CAS: derivert og optimum

x = \frac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}56

Det vil si at overskuddet er størst ved $x \approx 284$ bagetter. Maksimalt overskudd:

O(283{,}56) \approx 4459{,}36 \, \mathrm{kr}

Kantinen bør produsere og selge ca. $\underline{\underline{284}}$ bagetter per uke. Da blir overskuddet $\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom $(100,\, O(100))$ og $(200,\, O(200))$ :

O(100) = -0{,}09 \cdot 100^2 + 51{,}04 \cdot 100 - 2776{,}98 = 1\,427{,}02 \, \mathrm{kr}

O(200) = -0{,}09 \cdot 200^2 + 51{,}04 \cdot 200 - 2776{,}98 = 3\,831{,}02 \, \mathrm{kr}

\text{Stigningstall} = \frac{O(200) - O(100)}{200 - 100} = \frac{3831{,}02 - 1427{,}02}{100} = \frac{2404}{100} = 24{,}04

Stigningstallet er $\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}$ .

Praktisk tolkning: Når antall solgte bagetter øker fra 100 til 200, øker overskuddet i gjennomsnitt med $24{,}04$ kr per ekstra bagett.

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte i punktet $x = 235$ :

O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04

O'(235) = -0{,}18 \cdot 235 + 51{,}04 = -42{,}30 + 51{,}04 = 8{,}74

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}$ .

Praktisk tolkning: Når kantinen allerede selger 235 bagetter per uke, vil én ekstra solgt bagett øke overskuddet med ca. $8{,}74$ kr.

Sensorveiledning

2,7 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker regresjon, men ikke kommer fram til en andregradsfunksjon, får ingen uttelling.

2,7 poeng

For å få full uttelling må kandidaten vise tydelig hvordan svarene framkommer.

2,7 poeng

For å få full uttelling må kandidaten både finne riktig stigningstall, og gi en praktisk tolkning av stigningstallet.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Poeng: 8
Temaer: regresjon, modellering, derivasjon, optimering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Oppgave 2-2 : Gautes sparekonto

Oppgave a) og oppgave b) nedenfor skal du løse på to ulike måter. Du skal løse hver av deloppgavene

ved å gjøre beregninger
grafisk

For fem år siden satte Gaute inn sparepengene sine på en konto med en fast rente på $3{,}25\%$ per år. I dag står det litt over $105\,607$ kroner på kontoen.

Hvor mye vil det være på kontoen om fem år?

Hvor mye satte Gaute inn på kontoen for fem år siden?

Fasit

123 920 kr

90 000 kr

Løsningsforslag

Jeg lager først funksjonen $f(x)=105\,607 \cdot 1{,}0325^{x}$ ut fra opplysningene i oppgaven (3,25 % rente tilsvarer vekstfaktoren 1,0325).

Grafisk løsning
For å løse oppgaven grafisk la jeg inn funksjonsuttrykket i GeoGebra og fant skjæringen med $x=-5$ og $x=5$ , se punkt $A$ og $B$ i utklippet.

Grafisk løsning fra GeoGebra

Beregnet løsning
For å løse oppgaven med beregning brukte jeg det samme funksjonsuttrykket og beregnet $f(5)$ og $f(-5)$ i CAS, se skjermbildet.

Løsning med beregning i CAS

Vi runder av svarene til 90 000 kr og 123 920 kr.

Gaute satte inn 90 000 kroner for 5 år siden, og han kommer til å ha 123 920 kroner på kontoen om renta ikke endrer seg.

Sensorveiledning

I utgangspunktet gis 1 poeng for en riktig algebraisk løsning og 1 poeng for en riktig grafisk løsning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: sparing, vekstfaktor
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Oppgave 2-3 : Oljeproduksjon på norsk sokkel

Fat er en enhet for volummåling av olje.

$1 \mathrm{~fat} \approx 158{,}987 \mathrm{~liter}$

I 2023 ble det i gjennomsnitt produsert $1{,}794$ millioner fat olje på norsk sokkel hvert døgn.

Omtrent hvor mange liter olje ble det produsert på norsk sokkel i 2023? Skriv svaret på standardform.

I 2022 ble det i gjennomsnitt produsert $1{,}685$ millioner fat hvert døgn.

Hvor mange prosent steg produksjonsmengden med fra 2022 til 2023?

Fasit

$\underline{\underline{\approx 2{,}85 \cdot 10^{8} \, \mathrm{liter}}}$ per døgn, $\underline{\underline{\approx 1{,}04 \cdot 10^{11} \, \mathrm{liter}}}$ per år

$\underline{\underline{\approx 6{,}47 \, \%}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne hvor mange liter olje som ble produsert i 2023.

Først finner vi antall liter per døgn:

1{,}794 \cdot 10^6 \text{ fat} \cdot 158{,}987 \, \frac{\mathrm{liter}}{\mathrm{fat}} \approx 2{,}852 \cdot 10^8 \, \mathrm{liter}

Så ganger vi med antall dager i et år:

2{,}852 \cdot 10^8 \, \mathrm{liter} \cdot 365 \approx 1{,}04 \cdot 10^{11} \, \mathrm{liter}

I 2023 ble det produsert omtrent $\underline{\underline{2{,}85 \cdot 10^8 \, \mathrm{liter}}}$ olje per døgn, og omtrent $\underline{\underline{1{,}04 \cdot 10^{11} \, \mathrm{liter}}}$ olje totalt i løpet av året.

Vi skal finne den prosentvise økningen fra 2022 til 2023.

Økning i antall fat per døgn:

1{,}794 - 1{,}685 = 0{,}109 \text{ millioner fat}

Prosentvis endring:

\frac{0{,}109}{1{,}685} \cdot 100 \, \% \approx 6{,}47 \, \%

Produksjonsmengden steg med omtrent $\underline{\underline{6{,}47 \, \%}}$ fra 2022 til 2023.

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar skrevet på standardform, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: standardform, store tall, prosentvis endring
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar

Oppgave 2-4 : Jakob Ingebrigtsens løpsrekorder

Tabellen nedenfor viser noen av de personlige rekordene til friidrettsutøveren Jakob Ingebrigtsen.

Tabell 1: Jakob Ingebrigtsens personlige rekorder utendørs

Dato	Øvelse	Tid
01.09.2017	400 m	51,03
30.06.2020	800 m	1:46,44
16.07.2023	1500 m	3:27,14
16.09.2023	1 engelsk mil	3:43,73
08.09.2023	2000 m	4:43,13
17.09.2023	3000 m	7:23,63

Tidene er gitt i minutter (før kolon) og sekunder (etter kolon). For eksempel betyr 7:23,63 en tid på 7 minutter og 23,63 sekunder.

Alle løpene i tabellen er gjennomført på en bane der en runde er 400 meter lang.

Bestem den gjennomsnittlige rundetiden til Jakob Ingebrigtsen da han satte personlig rekord på 1500 meter.

Da Jakob Ingebrigtsen satte personlig rekord på 1 engelsk mil, holdt han en gjennomsnittsfart på omtrent $25{,}89 \mathrm{~km/h}$ .

Vis hvordan vi kan bruke opplysningene om Jakob sitt rekordløp til å avgjøre omtrent hvor mange meter det er i 1 engelsk mil.

Fasit

$\underline{\underline{55{,}24 \, \mathrm{s}}}$

$\underline{\underline{1609 \, \mathrm{m}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner først om rekordtiden til sekunder:

3 \, \text{min og} \, 27{,}14 \, \text{s} = 3 \cdot 60 + 27{,}14 = 207{,}14 \, \mathrm{s}

Deretter finner vi antall runder. En runde er 400 m, og 1500 m løpes på:

\frac{1500}{400} = 3{,}75 \text{ runder}

Den gjennomsnittlige rundetiden blir:

\frac{207{,}14}{3{,}75} \approx \mathbf{\underline{\underline{55{,}24 \, \mathrm{s}}}}

Vi regner om farten fra km/h til m/s:

25{,}89 \, \mathrm{km/h} = \frac{25{,}89 \cdot 1000}{3600} \, \mathrm{m/s} \approx 7{,}1917 \, \mathrm{m/s}

Rekordtiden på 1 engelsk mil er:

3 \, \text{min og} \, 43{,}73 \, \text{s} = 3 \cdot 60 + 43{,}73 = 223{,}73 \, \mathrm{s}

Vi bruker formelen distanse $=$ fart $\cdot$ tid:

7{,}1917 \, \mathrm{m/s} \cdot 223{,}73 \, \mathrm{s} \approx \mathbf{\underline{\underline{1609 \, \mathrm{m}}}}

Dermed er 1 engelsk mil omtrent 1609 meter.

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: gjennomsnitt, tallregning
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining

Oppgave 2-5 : Knut og Sabrina tallfølge

Knut og Sabrina jobber med tallfølgen

2, 5, 11, 23, 47, \ldots

Ta utgangspunkt i det Knut og Sabrina sier og

beskriv et mønster for tallfølgen
argumenter for at alle leddene i tallfølgen bortsett fra det første er oddetall

Fasit

Mønster: $a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 1$ . Neste ledd er 95.

Alle ledd fra og med $a_2$ er oddetall fordi $2 \cdot (\text{oddetall}) + 1$ alltid gir et oddetall.

LøsningsforslagKI-generert

Mønster

Vi undersøker forholdet mellom påfølgende ledd:

5 = 2 \cdot 2 + 1, \quad 11 = 2 \cdot 5 + 1, \quad 23 = 2 \cdot 11 + 1, \quad 47 = 2 \cdot 23 + 1

Mønsteret er at hvert ledd er det dobbelte av det forrige, pluss 1. Skrevet som en rekursiv formel:

a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 1

Det neste leddet etter 47 er:

2 \cdot 47 + 1 = \mathbf{\underline{\underline{95}}}

Argumentasjon for at alle ledd bortsett fra det første er oddetall

Det andre leddet er $a_2 = 5$ , som er et oddetall.

Vi antar at ett ledd $a_n$ er et oddetall. Så ser vi på neste ledd:

a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 1

Siden $a_n$ er et oddetall, er $2 \cdot a_n$ et partall (et partall ganger hva som helst er partall). Et partall pluss 1 er alltid et oddetall. Derfor er $a_{n+1}$ også et oddetall.

Siden $a_2 = 5$ er et oddetall, og hvert ledd gir et oddetall som neste ledd, vil $a_3, a_4, a_5, \ldots$ alle være oddetall.

Alle ledd i tallfølgen bortsett fra det første er oddetall.

Sensorveiledning

I utgangspunktet fordeles poengene slik: En riktig beskrivelse av mønsteret: 2 poeng En riktig argumentasjon for at leddene er oddetall: 2 poeng Upresise beskrivelser og delvis riktige argumentasjoner kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: mønstre, rekursiv sammenheng, argumentasjon
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Utforske korleis ulike premissar vil kunne påverke korleis matematiske problem frå samfunnsliv og arbeidsliv blir løyste

Oppgave 2-6 : Lufttrykk og kokepunkt for vann

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn $100 \degree\mathrm{C}$ . Se tabellen nedenfor.

Lufttrykk (hPa)	Kokepunkt for vann ( $\degree\mathrm{C}$ )
1000	100
500	81,4
200	60,1
80	41,5
40	29

Bestem en modell $K$ på formen

K(x) = a \cdot x^b

som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket $x$ hPa og kokepunktet $K(x)$ $\degree\mathrm{C}$ .

Lag modellene for Ari og Lisa.

Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?

Fasit

$K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}$

Aris modell: $L_A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x$ . Lisas modell: $L_L(x) = 1000 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x/5{,}5}$

Med Aris modell: ca. $\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}$ over havet.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet til å finne en modell på formen $K(x) = a \cdot x^b$ .

Fra GeoGebra (potensregresjon):

K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}

Graf av K(x) med datapunkter og linje y=85

Modellen passer godt — alle datapunktene ligger nær kurven.

$\mathbf{K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}}$

Aris modell: Lufttrykket minker med 12 % per km, det vil si lufttrykket blir ganget med $0{,}88$ for hvert km. Vi starter ved $1000$ hPa ved havets overflate, slik at

L_A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x

der $x$ er antall km over havet.

Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver $5{,}5$ km, det vil si $k^{5{,}5} = \tfrac{1}{2}$ , som gir $k = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5{,}5} \approx 0{,}8816$ . Med samme startverdi:

L_L(x) = 1000 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x/5{,}5}

Modellene er svært like: $k_A = 0{,}88$ og $k_L \approx 0{,}882$ .

Et egg blir hardkokt dersom kokepunktet er minst $85 \, \degree\mathrm{C}$ . Vi må finne høyden $x$ slik at $K(L(x)) = 85$ .

Vi bruker Aris modell og setter opp likningen

K\left(L_A(x)\right) = 8{,}71 \cdot \left(1000 \cdot 0{,}88^x\right)^{0{,}356} = 85

Vi løser likningen i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løser K(L(x)) = 85

CAS gir $x \approx 3{,}98 \, \mathrm{km}$ .

Med Lisas modell får man $x \approx 4{,}03 \, \mathrm{km}$ — begge modellene gir omtrent det samme svaret.

Det er mulig å få egg hardkokte opp til ca. $\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}$ over havet.

Sensorveiledning

2,7 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

En kandidat som ikke kommer fram til en potensfunksjon, får ingen uttelling.

2,7 poeng

I utgangspunktet gis to poeng for hver riktig modell.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer helt i mål med modellen, kan få 1 poeng.

2,7 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Poeng: 8
Temaer: potensfunksjon, eksponentiell vekst, modellering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Oppgave 2-7 : Skobutikk ta 3 betal for 2

Du har bestemt deg for å benytte et «Ta 3, betal for 2»-tilbud i en skobutikk. Du trenger bare to par sko selv, men du tar med deg en venn som også trenger et par sko.

Du velger et par sko som koster $800$ kroner, og et par sko som koster $1550$ kroner. Vennen din velger et par sko som koster $1350$ kroner.

Vis hvordan du kan bruke prosentregning til å bestemme hvor mye hver av dere bør betale. Begrunn framgangsmåten din, og forklar hvordan du har tenkt.

Fasit

Mange ulike løsninger

Løsningsforslag

Jeg mener det er enklest og mest rettferdig at jeg får $\frac{2}{3}$ av rabatten og at vennen min får $\frac{1}{3}$ av rabatten. Snittprisen for mine to par med sko er $1175$ kroner, slik at det ikke er alt for stor forskjell på prisene på skoene våre (men jeg burde kanskje ha valgt et dyrere par, siden jeg kunne fått et til 1350 kroner i stedet).

Til sammen betaler vi $1550 \mathrm{~kr}+1350 \mathrm{~kr}=2900 \mathrm{~kr}$ . Den samlede rabatten er $800$ kr. Min del av rabatten er $0{,}67 \cdot 800=536 \mathrm{~kr}$ og min venns andel er $0{,}33 \cdot 800=264\mathrm{~kr}$ .

Jeg må betale: $1550+800-536=\underline{\underline{ 1814 \mathrm{~kr} }}$ .
Min venn må betale $1350-264=\underline{\underline{ 1086 \mathrm{~kr} }}$ .

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidaten bruke prosentregning og begrunne og forklare framgangsmåten som er valgt. Mangelfulle beregninger, begrunnelser og forklaringer kan gi noe uttelling. En kandidat som ikke bruker prosentregning i sine beregninger, får ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: prosentregning, økonomi
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige

Sync på tvers av enheter

1P Vår 2024

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time

Oppgave 1-1 : Verdens befolkning og promille

Oppgave 1-2 : Ada sparer med eksponentialfunksjon

Oppgave 1-3 : Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf

Oppgave 1-4 : Bremselengde og fart

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer

Oppgave 2-1 : Modellering av bagettsalg

Modellering av bagettsalg

Oppgave 2-2 : Gautes sparekonto

Oppgave 2-3 : Oljeproduksjon på norsk sokkel

Oppgave 2-4 : Jakob Ingebrigtsens løpsrekorder

Oppgave 2-5 : Knut og Sabrina tallfølge

Mønster

Argumentasjon for at alle ledd bortsett fra det første er oddetall

Oppgave 2-6 : Lufttrykk og kokepunkt for vann

Oppgave 2-7 : Skobutikk ta 3 betal for 2