Lufttrykk og kokepunkt for vann

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn $100 \degree\mathrm{C}$ . Se tabellen nedenfor.

Lufttrykk (hPa)	Kokepunkt for vann ( $\degree\mathrm{C}$ )
1000	100
500	81,4
200	60,1
80	41,5
40	29

Bestem en modell $K$ på formen

K(x) = a \cdot x^b

som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket $x$ hPa og kokepunktet $K(x)$ $\degree\mathrm{C}$ .

Lag modellene for Ari og Lisa.

Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?

Fasit

$K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}$

Aris modell: $L_A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x$ . Lisas modell: $L_L(x) = 1000 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x/5{,}5}$

Med Aris modell: ca. $\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}$ over havet.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet til å finne en modell på formen $K(x) = a \cdot x^b$ .

Fra GeoGebra (potensregresjon):

K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}

Graf av K(x) med datapunkter og linje y=85

Modellen passer godt — alle datapunktene ligger nær kurven.

$\mathbf{K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}}$

Aris modell: Lufttrykket minker med 12 % per km, det vil si lufttrykket blir ganget med $0{,}88$ for hvert km. Vi starter ved $1000$ hPa ved havets overflate, slik at

L_A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x

der $x$ er antall km over havet.

Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver $5{,}5$ km, det vil si $k^{5{,}5} = \tfrac{1}{2}$ , som gir $k = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5{,}5} \approx 0{,}8816$ . Med samme startverdi:

L_L(x) = 1000 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x/5{,}5}

Modellene er svært like: $k_A = 0{,}88$ og $k_L \approx 0{,}882$ .

Et egg blir hardkokt dersom kokepunktet er minst $85 \, \degree\mathrm{C}$ . Vi må finne høyden $x$ slik at $K(L(x)) = 85$ .

Vi bruker Aris modell og setter opp likningen

K\left(L_A(x)\right) = 8{,}71 \cdot \left(1000 \cdot 0{,}88^x\right)^{0{,}356} = 85

Vi løser likningen i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løser K(L(x)) = 85

CAS gir $x \approx 3{,}98 \, \mathrm{km}$ .

Med Lisas modell får man $x \approx 4{,}03 \, \mathrm{km}$ — begge modellene gir omtrent det samme svaret.

Det er mulig å få egg hardkokte opp til ca. $\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}$ over havet.

Sensorveiledning

2,7 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

En kandidat som ikke kommer fram til en potensfunksjon, får ingen uttelling.

2,7 poeng

I utgangspunktet gis to poeng for hver riktig modell.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer helt i mål med modellen, kan få 1 poeng.

2,7 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2024, del 2, oppgave 6
Delt med: 1T, 1P
Poeng: 8
Temaer: potensfunksjon, eksponentiell vekst, modellering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane