1P Høst 2024

En billiard er tusen millioner millioner:

Dermed er 20 billiarder:

Antallet maur i en normalt stor maurtue er mellom 200 000 og 300 000. En maur veier mellom 7 mg og 9 mg.

Laveste vekt (200 000 maur à 7 mg):

Høyeste vekt (300 000 maur à 9 mg):

Alle maurene i en normalt stor maurtue veier til sammen omtrent $\underline{\underline{1{,}4 \, \mathrm{kg} \text{ til } 2{,}7 \, \mathrm{kg}}}$.

Program 1, linje 7: e = e * 1.04

Dette betyr at salget for neste måned er 4 % høyere enn salget denne måneden. Lisa antar at salget vokser eksponentielt – med samme prosentsats hver måned.

Program 2, linje 7: e = e + 40

Dette betyr at salget for neste måned er 40 enheter høyere enn salget denne måneden. Lisa antar at salget vokser lineært – med samme antall enheter hver måned.

Variabelen t akkumulerer salget for alle 12 månedene. Verdiene som skrives ut, forteller Lisa det totale antallet solgte enheter i løpet av året (januar–desember):

• Program 1 (eksponentiell vekst): $\underline{\underline{15\,026 \text{ enheter}}}$
• Program 2 (lineær vekst): $\underline{\underline{14\,640 \text{ enheter}}}$

Vi leser av to punkter fra koordinatsystemet: $(0,\ 32)$ og $(100,\ 212)$.

Stigningstallet:

Siden punktet $(0,\ 32)$ ligger på $y$-aksen, er konstantleddet $b = 32$.

Formelen er:

Vi kan sjekke med punktet $(-40,\ -40)$: $\frac{9}{5} \cdot (-40) + 32 = -72 + 32 = -40$ ✓

Vi setter $F = 68$ og løser for $C$:

Metode 1 – sett inn $x = 0$:

Metode 2 – bruk at $0{,}85^x \to 0$ når $x \to \infty$:

Modellen har 600 som nedre grense (bunnlinje). I 2010 var det 3600 abonnenter over bunnlinjen, altså $3600 + 600 = 4\,200$ totalt.

Vi beregner funksjonsverdiene i de to punktene:

Stigningstallet til sekantlinjen:

Praktisk tolkning: Antallet papirabonnenter gikk i gjennomsnitt ned med ca. 151 personer per år i perioden fra 2014 til 2024.

Vi definerer funksjonen for digitale abonnenter, der $x$ er år etter 2010 (digitalt startet i 2019, altså ved $x = 9$):

Vi plotter $P(x)$ og $D(x)$ i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

Fra grafen (se Skjaering) skjærer kurvene hverandre ved $x \approx 11{,}6$, det vil si i løpet av 2021. Vi sjekker ved helårsregnskap:

For første gang i $\underline{\underline{2022}}$ var det flere digitale enn papirabonnenter.

Vi setter inn $s = 18$, $v_1 = 58$ og $v_2 = 65$:

Camilla brukte ca. 2 minutter lengre på kjøreturen på mandagen.

La $v_1$ være farten den langsomme dagen. Da er $v_2 = 2v_1$. Vi setter inn $t = 20$ og $s = 18$:

Kjøretid den langsomme dagen:

Kjøretid den raske dagen:

Øker med samme antall → lineær funksjon $f(x) = ax + b$.

Startverdi: $b = 290\,000$

Økning per måned:

Øker med samme prosent → eksponentialfunksjon $g(x) = b \cdot k^x$.

Startverdi: $b = 290\,000$

Vi finner vekstfaktoren $k$ fra $g(8) = 340\,000$:

Antallet følgere øker med ca. $2{,}0 \, \%$ per måned.

Med 3 reiseoppdrag:

Vi setter opp funksjoner for årslønn med $n$ reiseoppdrag:

Vi plotter funksjonene i GeoGebra og leser av skjæringspunktene:

Fra grafen (se BC, AC og AB):

B og C er like gode ved $n = 18$ oppdrag (se punkt BC = (18, 1\,044\,000)):

A og B er like gode ved $n = 93$ oppdrag (se punkt AB = (93, 2\,244\,000)):

Konklusjon:

• Bedrift C gir best lønn ved færre enn 18 reiseoppdrag per år
• Bedrift B gir best lønn ved 18 til 93 reiseoppdrag per år
• Bedrift A gir best lønn ved flere enn 93 reiseoppdrag per år

Fra oversikten: 4 341 850 stemmeberettigede, fremmøteprosent 62,4 %.

Antall som stemte:

Antall som ikke brukte stemmeretten:

Tore forveksler prosentpoeng (pp) med prosentvis endring. Høyre økte med 5,8 pp, men det er ikke det samme som prosentvis framgang.

Prosentvis framgang beregnes som:

Vi regner ut for partiene med positiv pp-endring:

Fremskrittspartiet har hatt størst prosentvis framgang med ca. $\underline{\underline{37{,}8 \, \%}}$, ikke Høyre (28,9 %). Høyre har størst endring i prosentpoeng, men det er ikke det samme som størst prosentvis framgang.

Med sidelengde $x = 100 \, \mathrm{mm}$ på hvert utskåret kvadrat:

• Lengde: $1200 - 2 \cdot 100 = 1000 \, \mathrm{mm}$
• Bredde: $800 - 2 \cdot 100 = 600 \, \mathrm{mm}$
• Høyde: $100 \, \mathrm{mm}$

Vi omregner til liter ($1 \, \mathrm{L} = 1\,000\,000 \, \mathrm{mm}^3$):

La $x$ være sidelengden (i mm) til de utskårede kvadratene. Vi lager en oversikt:

Ut fra tabellen ser vi at volumet er størst når $x$ er omtrent $150 \, \mathrm{mm}$.

Når Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde $x$ mm, får kassen:

• Lengde: $(1200 - 2x) \, \mathrm{mm}$
• Bredde: $(800 - 2x) \, \mathrm{mm}$
• Høyde: $x \, \mathrm{mm}$

Funksjonsuttrykket (volum i L):

Vi tegner grafen i GeoGebra:

Fra grafen (se punkt Maks) er volumet størst ved $x \approx 157 \, \mathrm{mm}$, og maksimalt volum er ca. $67{,}6 \, \mathrm{L}$.

Sofie bør skjære bort kvadrater med sidelengde ca. $\underline{\underline{157 \, \mathrm{mm}}}$. Da blir volumet størst mulig med ca. $\underline{\underline{67{,}6 \, \mathrm{L}}}$.

For at kassen skal gi mening må alle dimensjonene være positive:

• Høyde: $x > 0$
• Bredde: $800 - 2x > 0 \Rightarrow x < 400$

(Lengdebetingelsen $x < 600$ er oppfylt automatisk når $x < 400$.)

Gyldighetsområdet er $\underline{\underline{0 < x < 400 \, \mathrm{mm}}}$.

I praksis vil det også være en nedre grense (for eksempel $x \geq 10 \, \mathrm{mm}$) siden det ikke er mulig å skjære bort kvadrater som er for bitte små, men matematisk sett er $0 < x < 400 \, \mathrm{mm}$ det naturlige gyldighetsområdet.