Ada sparer med eksponentialfunksjon

Ada vil spare penger og har funnet ut at hun kan bruke funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 20000 \cdot 1{,}0485^{x}

for å regne ut hvor mye penger hun vil ha i banken om $x$ år.

Gi en praktisk tolkning av tallet 20 000 og av tallet 1,0485.

Ada har laget programmet nedenfor.

def f(x):
    return 20000 * 1.0485 ** x

start = 0
slutt = 10

v = (f(slutt) - f(start))/(slutt - start)

print(v)

Hva forteller tallet som vil bli skrevet ut når hun kjører programmet?

Fasit

$20\,000$ er beløpet Ada har i banken nå (ved $x = 0$ ). $1{,}0485$ er vekstfaktoren, som tilsvarer $4{,}85\,\%$ årlig rente.

Programmet skriver ut den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 0$ til $x = 10$ , altså omtrent $\underline{\underline{1211{,}55 \, \mathrm{kr/år}}}$ — beløpet øker i gjennomsnitt med ca. 1212 kr per år de første 10 årene.

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er $f(x) = 20000 \cdot 1{,}0485^{x}$ , der $x$ er antall år.

Når vi setter inn $x = 0$ , får vi

f(0) = 20000 \cdot 1{,}0485^{0} = 20000 \cdot 1 = 20000

Tallet $\textcolor{steelblue}{20\,000}$ er altså beløpet Ada har i banken i dag (startbeløpet).

Vekstfaktoren $\textcolor{seagreen}{1{,}0485}$ betyr at beløpet vokser med $4{,}85\,\%$ hvert år. Beløpet ganges med $1{,}0485$ for hvert år som går.

$\textcolor{steelblue}{20\,000}$ kr er beløpet Ada har i banken nå. $\textcolor{seagreen}{1{,}0485}$ er vekstfaktoren, som tilsvarer $4{,}85\,\%$ årlig rente.

Programmet regner ut dette uttrykket:

v = \frac{f(10) - f(0)}{10 - 0}

Vi finner de to verdiene:

f(0) = 20000 \cdot 1{,}0485^{0} = 20\,000

f(10) = 20000 \cdot 1{,}0485^{10} \approx 32\,115{,}47

Deretter:

v = \frac{32\,115{,}47 - 20\,000}{10} = \frac{12\,115{,}47}{10} \approx 1211{,}55

Programmet skriver ut $\underline{\underline{v \approx 1211{,}55 \, \mathrm{kr/år}}}$ .

Dette er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 0 til år 10. Det betyr at beløpet i gjennomsnitt øker med ca. 1212 kr per år de første 10 årene.

Sensorveiledning

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hvert tall som er tolket riktig.

2 poeng

Et noe upresist svar kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2024, del 1, oppgave 2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: eksponentialfunksjoner, programmering
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing