1P Høst 2025

Oppgave 1-1Busstur Mandal til Oslo

Sofie tok buss fra Mandal til Oslo. Bussen holdt en gjennomsnittsfart på $80 k m / h$ og brukte 4 timer og 30 minutter på strekningen.

Hvor lang er denne strekningen?

Fasit

$360 km$

Løsningsforslag

Sofie brukte 4 timer og 30 minutter = $4,5 timer$ .

s = v \cdot t = 80 \cdot 4,5 = 360

Strekningen er $360 km$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

En kandidat som gjør om til 4,5 timer, men regner feil, kan få 1 poeng. Svaret som framkommer, må være rimelig.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Tallregning, Formler
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Deksel og merverdiavgift

Lukas har kjøpt et deksel til mobilen. Dekselet kostet 200 kroner inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %.

Hvor mye betalte Lukas i merverdiavgift?

Fasit

$40 kr$

Løsningsforslag

Prisen på 200 kroner inkluderer merverdiavgiften. Prisen uten avgift finner vi slik:

\frac{200}{1,25} = 160 kr

Merverdiavgiften er da:

200 - 160 = 40

Lukas betalte $40 kr$ i merverdiavgift.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer i mål med beregningene, kan få 1 poeng. For å få uttelling, må kandidaten bruke riktig grunnlag i beregningene.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Støvpartikkel i standardform

En støvpartikkel veier omtrent $0,000 000 005$ gram.

Hvor mange støvpartikler er det i 20 gram støv?

Fasit

$4 \cdot 10^{9}$ partikler

Løsningsforslag

En støvpartikkel veier $0,000 000 005 g = 5 \cdot 10^{- 9} g$ .

Antall = \frac{20}{5 \cdot 10^{- 9}} = \frac{2 \cdot 10^{1}}{5 \cdot 10^{- 9}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{10^{1}}{10^{- 9}} = \frac{20}{5} \cdot \frac{1}{10^{- 9}} = 4 \cdot 10^{9}

Det er $4 \cdot 10^{9}$ støvpartikler i 20 gram støv (4 milliarder partikler).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som skriver om og regner med en tierpotens, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Store tall
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Pyramide med proporsjonal høyde

Volumet av en pyramide er gitt ved

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

der $G$ er arealet av grunnflaten, og $h$ er høyden.

Ole arbeider med pyramider der

grunnflaten er et kvadrat
høyden er lik sidekantene i kvadratet

En av pyramidene har et volum på $9 d m^{3}$ .

Pyramide

Hvor høy er denne pyramiden?

Ole påstår at høyde og volum er proporsjonale størrelser for pyramidene han arbeider med.

Avgjør om påstanden er riktig. Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

$h = 3 dm$

Nei – $V = h^{3} / 3$ , ikke proporsjonalt

Løsningsforslag

Grunnflaten er et kvadrat med side $s$ , og høyden er $h = s$ .

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot s^{2} \cdot s = \frac{s^{3}}{3}

Setter inn $V = 9 d m^{3}$ :

\frac{s^{3}}{3} = 9 ⟹ s^{3} = 27 ⟹ s = 3

Siden høyden er lik sidekanten, er $h = s = 3$ .

Pyramiden er $3 dm$ høy.

For at høyde og volum skal være proporsjonale, må forholdet $V / h$ være konstant.

Uttrykket for volum er $V = \frac{h^{3}}{3}$ , så

\frac{V}{h} = \frac{h^{3} / 3}{h} = \frac{h^{2}}{3}

Dette avhenger av $h$ og er ikke konstant. Vi kan verifisere med noen verdier:

$h$ (dm)	$V = h^{3} / 3$ (dm³)	$V / h$
1	$0,33$	$0,33$
2	$2,67$	$1,33$
3	$9,00$	$3,00$

Påstanden er feil. Høyde og volum er ikke proporsjonale fordi forholdet $V / h$ ikke er konstant.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. Riktig svar uten benevning kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Proporsjonalitet
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Lønn og timelønn fra grafer

Lønn og timer for Nora og Nils

Den grønne grafen i koordinatsystemet ovenfor viser sammenhengen mellom antall timer Nora arbeider, og lønnen hun får.

Den blå grafen viser sammenhengen mellom antall timer Nils arbeider, og lønnen han får.

Bestem timelønnen til Nora og timelønnen til Nils.

En uke arbeidet Nora og Nils like mange timer. Nora tjente 720 kroner mer enn Nils.

Hvor mange timer arbeidet hver av dem denne uken?

Fasit

Nora: $200 k r / t$ , Nils: $180 k r / t$

$36 timer$

Løsningsforslag

Fra grafen leser vi av stigningstallet til hver linje. Begge linjer går gjennom origo.

Den grønne linjen (Nora) går gjennom punktet $(10, 2000)$ :

Timelønnen til Nora = \frac{2000}{10} = 200 k r / t

Den blå linjen (Nils) går gjennom punktet $(10, 1800)$ :

Timelønnen til Nils = \frac{1800}{10} = 180 k r / t

Noras timelønn er $200 k r / t$ og Nils’ timelønn er $180 k r / t$ .

La $t$ være antall timer de arbeidet. Da tjente Nora $200 t$ kroner og Nils $180 t$ kroner.

200 t - 180 t = 720

20 t = 720

t = 36

De arbeidet $36 timer$ hver.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

To riktige svar med henvisning til grafen, gir full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Lineær vekst, Graftolkning, Likningssystem
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-630-dagersbillett og pris per tur

I en by koster det 1200 kroner for en 30-dagersbillett med buss. Du kan ta bussen så mange ganger du ønsker i denne perioden.

Siri har kjøpt en 30-dagersbillett og lurer på hva prisen per busstur blir dersom hun bruker billetten 4, 8, 20 eller 30 ganger.

Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn tallene som mangler.

Antall bussturer	4	8	20	30
Pris per busstur

Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall bussturer og prisen per busstur.

En enkeltbillett med buss koster 80 kroner.

Vis grafisk hvor mange ganger Siri må ta bussen for at det skal lønne seg å kjøpe en 30-dagersbillett i stedet for enkeltbilletter.

Fasit

300, 150, 60, 40 kr/tur

Graf av $f (x) = 1200 / x$

$\geq 16$ turer

LøsningsforslagKI-generert

Prisen per busstur er $\frac{1200}{x}$ der $x$ er antall turer.

Antall bussturer	4	8	20	30
Pris per busstur	$300 kr$	$150 kr$	$60 kr$	$40 kr$

Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom antall bussturer og prisen per busstur. Funksjonen er $f (x) = \frac{1200}{x}$ .

Graf: pris per tur

En enkeltbillett koster 80 kroner. Vi tegner en horisontal linje ved $y = 80$ i samme koordinatsystem og finner skjæringen med $f$ , se punkt $P$ i skjermbildet.

Månedskortet koster altså 80 kr per tur dersom man tar 15 turer.

Det lønner seg å kjøpe 30-dagersbillett dersom Siri tar bussen $16 ganger$ eller mer.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

En delvis riktig tabell kan gi 1 poeng.

For å få full uttelling, må den grafiske framstillingen kommunisere godt. Skalaen på aksene må være riktig, og det må gå klart fram hvilken størrelse som kan leses av på hver akse. En grafisk framstilling med mindre mangler, kan gi 1 poeng.

En kandidat som løser oppgaven grafisk, men får feil svar på grunn av en mangelfull grafisk framstilling fra oppgave b), kan få full uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Omvendt proporsjonalitet, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Femkanttall og programmering

De 4 første femkanttallene

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.

tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
	print(tall)
	tall = tall + differanse
	differanse = differanse + 3

Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Fasit

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut. Siri har oppdaget at antallet nye sirkler øker med 3 fra ett femkanttall til det neste.

Løsningsforslag

Variabelen tall inneholder antall sirkler i et femkanttall slik tall utvikler seg slik tabellen viser.

$n$	tall	differanse
1	1	4
2	5	7
3	12	10
4	22	13
5	35	16
6	51	19
7	70	22

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut av programmet.

Siri har oppdaget at antallet nye sirkler i femkanttalene (de som er tegnet oppe mot høyre i figuren) øker med 3 for hvert femkanttall.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten få med de riktige tallene og beskrive sammenhengen på en presis måte. En kandidat som får med alle tallene, men ikke gjør rede for sammenhengen på en presis måte, kan få 2 poeng. En kandidat som ikke kommenterer sammenhengen, må få med minst fem av tallene som skrives ut for å få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Figurtall, Programmering, Rekursiv sammenheng
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 2-1Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen

F (x) = a \cdot x^{b}

der $F (x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

Krever PC

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ . Tegn grafen til $F$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor lang er en fisk som veier $11,5 k g$ ifølge modellen?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(75, F (75))$ og $(95, F (95))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med $20 %$ ifølge modellen?

Fasit

$a \approx 0,00966$ , $b \approx 3,00$

$\approx 106 cm$

$\approx 210 g / c m$

$\approx 72,8 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregresjon for å finne $a$ og $b$ i $F (x) = a \cdot x^{b}$ .

Regresjon i GeoGebra gir:

a \approx 0,00966 og b \approx 3,00

Modellen er dermed tilnærmet

F (x) \approx 0,00966 \cdot x^{3}

Graf for F(x)

Vi løser likningen $F (x) = 11 500$ :

0,00966 \cdot x^{3} = 11 500

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

Ifølge modellen er en fisk som veier $11,5 kg$ omtrent $106 cm$ lang.

Vi beregner $F (75)$ og $F (95)$ :

F (75) = 0,00966 \cdot 75^{3} \approx 4075 g

F (95) = 0,00966 \cdot 95^{3} \approx 8282 g

Stigningstallet til linjen gjennom $(75, F (75))$ og $(95, F (95))$ :

a = \frac{F (95) - F (75)}{95 - 75} = \frac{8282 - 4075}{20} \approx 210

Stigningstallet er $\approx 210 g / c m$ .

Dette betyr at for fisk med lengde mellom 75 og 95 cm vil vekten øke med cirka 210 gram for hver ekstra centimeter.

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden $1,2 \cdot x$ . Da blir den nye vekten:

F (1,2 x) = 0,00966 \cdot {(1,2 x)}^{3} = 0,00966 \cdot {1,2}^{3} \cdot x^{3} = {1,2}^{3} \cdot F (x)

{1,2}^{3} = 1,728

Prosentvis økning: $(1,728 - 1) \cdot 100 % = 72,8 %$

Vekten vil øke med $72,8 %$ dersom lengden øker med 20 %.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for en riktig modell og 1 poeng for en grafisk framstilling som kommuniserer godt. Det skal gå tydelig fram at tallene langs $x$ -aksen er lengde i centimeter og at tallene langs $y$ -aksen er vekt i gram. En kandidat som lager en grafisk framstilling som oppfyller disse kravene i oppgave b), c) eller d), får også uttelling for dette i oppgave a). En kandidat som ikke bruker en potensfunksjon, kan få uttelling for den grafiske framstillingen.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i vekt per centimeter.

En kandidat som bare gjør beregninger for én lengde, får høyst 1 poeng. For å få full uttelling, må kandidaten vise eller argumentere for at sammenhengen gjelder generelt, eller gjøre beregninger for minst to ulike lengder.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Potensfunksjon, Regresjon, Stigningstall
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Grafer og fire situasjoner

For hånd

En elev har beskrevet fire situasjoner og tegnet ni grafer. Se nedenfor.

Hvilken graf beskriver situasjon A?
Hvilken graf beskriver situasjon B?
Hvilken graf beskriver situasjon C?
Hvilken graf beskriver situasjon D?

Husk å begrunne svarene dine.

Ni grafer

Fasit

A → graf 4, B → graf 8, C → graf 2, D → graf 3

LøsningsforslagKI-generert

Vi analyserer hver situasjon og finner den grafen som passer best:

Situasjon A – Dyrebestand som avtar med fast prosent per år er eksponentiell nedgang. Det gir en jevnt avtagende kurve som flater ut mot $x$ -aksen. Dette passer til graf 4.

Situasjon B – Kostnad per person ved leie av badstue er omvendt proporsjonal: $Pris = \frac{k}{antall}$ . For få deltakere er prisen svært høy, og den faller bratt. Dette passer til graf 8 (starter svært høyt og avtar raskt).

Situasjon C – Fuglebestand som øker eksponentielt, deretter lineært og deretter stabiliserer seg. Det gir en kurve med tre faser: først akselererende vekst, så tilnærmet rett linje, så flat. Dette passer til graf 2 (S-formet kurve).

Situasjon D – Pakkepriser med tre vektintervaller gir en trappetrinnsfunksjon – konstant verdi i hvert intervall. Dette passer til graf 3.

Svar: A → graf 4, B → graf 8, C → graf 2, D → graf 3.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hvert riktig svar som er argumentert for, men det er samtidig viktig å se på helheten i besvarelsen av denne oppgaven. Riktige svar uten begrunnelse, gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, Graftolkning, Eksponentiell vekst, Omvendt proporsjonalitet
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Betalingsanmerkninger og gjennomsnitt

Teksten nedenfor er hentet fra nrk.no.

Kalkulator

Hvor mye skylder hver person som har utestående betalingsanmerkninger, i gjennomsnitt?

Kalkulator

Omtrent hvor mange personer i Norge er over 18 år?

Fasit

$\approx 248 000 kr$

$\approx 4,8 millioner$

LøsningsforslagKI-generert

Gjennomsnitt = \frac{57 000 000 000}{229 963} \approx 247 866 \approx 248 000

Hver person skylder i gjennomsnitt omtrent $248 000 kr$ .

229 963 personer utgjør 4,8 % av befolkningen over 18 år. La $N$ være antall personer over 18 år:

0,048 \cdot N = 229 963

N = \frac{229 963}{0,048} \approx 4 791 000

Omtrent $4,8 millioner$ nordmenn er over 18 år.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Prosentregning
Kompetansemål: Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om situasjonar frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata
Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Eplekjøp i USA med valuta og enheter

Kalkulator

Synnøve er på ferie i USA. En dag går hun innom en butikk for å kjøpe epler. Hun betaler $4,18$ amerikanske dollar for en pose med 3 pund epler.

Pund (lb) er en måleenhet for masse som er vanlig å bruke i USA. $1 l b \approx 0,454 k g$
Sist Synnøve sjekket valutakursen, tilsvarte 1 amerikansk dollar $10,16$ norske kroner.

Hvor mange norske kroner kostet ett kilogram epler?

Fasit

$\approx 31 k r / k g$

LøsningsforslagKI-generert

Synnøve kjøper 3 pund epler for 4,18 dollar. Vi regner om til norske kroner per kilogram:

Omregner fra pund til kilo:

3 lb = 3 \cdot 0,454 kg = 1,362 kg

Pris per kilogram i dollar:

\frac{4,18 USD}{1,362 kg} \approx 3,07 U S D / k g

Omregner til norske kroner:

3,07 \cdot 10,16 \approx 31,2

Ett kilogram epler kostet omtrent $31 k r / k g$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Tallregning, Prosentregning
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Aksje ned og opp igjen

Kalkulator

Verdien av en aksje har gått ned med 23 %.

Hvor mange prosent må verdien øke med for at aksjen skal ha samme verdi som før nedgangen?

Fasit

$\approx 29,9 %$

LøsningsforslagKI-generert

La den opprinnelige verdien av aksjen være 1. Etter at den gikk ned 23 %, er verdien:

1 - 0,23 = 0,77

For å komme tilbake til verdien 1 igjen, må vi gange med $\frac{1}{0,77}$ :

\frac{1}{0,77} = \frac{100}{77} \approx 1,2987

Prosentvis økning som kreves:

\frac{1}{0,77} - 1 = \frac{0,23}{0,77} = \frac{23}{77} \approx 0,2987 \approx 29,9 %

Verdien må øke med omtrent $29,9 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Prosentvis endring
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Breddegrader og jordomkrets

Jordklode med breddegrader

Breddegrader angir hvor langt nord eller sør et sted ligger i forhold til ekvator.

Ekvator ligger på $0 °$ . Nordpolen ligger på $90 °$ nordlig bredde, og Sydpolen ligger på $90 °$ sørlig bredde. Det er altså $180 °$ mellom Nord- og Sydpolen.

En breddegrad er delt inn i 60 bueminutter. Avstanden mellom hvert bueminutt tilsvarer omtrent en nautisk mil. En nautisk mil er 1852 meter.

Kalkulator

Vis at avstanden mellom hver breddegrad er omtrent $111,12 k m$ .

Kalkulator

Bruk svaret fra oppgave a) til å bestemme en tilnærmet verdi for omkretsen av jorden.

Oslo ligger på breddegrad $59,9 °$ , og Trondheim ligger på breddegrad $63,4 °$ . De to byene ligger omtrent på samme lengdegrad.

Kalkulator

Hvor stor prosentandel utgjør avstanden mellom Oslo og Trondheim av hele omkretsen av jorden?

Fasit

$111,12 km$

$\approx 40 000 km$

$\approx 0,97 %$

LøsningsforslagKI-generert

Én breddegrad er delt i 60 bueminutter, og hvert bueminutt tilsvarer én nautisk mil = 1852 m.

60 \cdot 1852 m = 111 120 m = 111,12 km

Avstanden mellom hver breddegrad er $111,12 km$ .

En hel omdreining er $360 °$ :

Omkrets = 360 \cdot 111,12 km = 40 003 km

Jordens omkrets er omtrent $40 000 km$ .

Breddegradsforskjellen mellom Oslo og Trondheim:

63,4 ° - 59,9 ° = 3,5 °

Avstand:

3,5 \cdot 111,12 \approx 388,9 km

Prosentandel av jordens omkrets:

\frac{388,9}{40 003} \cdot 100 % \approx 0,97 %

Avstanden mellom Oslo og Trondheim utgjør omtrent $0,97 %$ av jordens omkrets.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Tallregning
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Blomsterbed med halvsirkel

Selma og Sofie vil lage et blomsterbed med gjerde rundt. Blomsterbedet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel i enden. Se skissen.

Formler for omkrets og areal av en sirkel:

O = 2 \cdot π \cdot r

A = π \cdot r^{2}

Blomsterbed skisse

For hånd

Forklar at omkretsen av blomsterbedet kan skrives som

O = 2 \cdot y + x + \frac{π \cdot x}{2}

Jentene har kjøpt inn materialer slik at de kan lage et gjerde som er 12 meter.

Selma foreslår at $x$ skal være 1 meter.

Kalkulator

Vis at da må $y$ være ca. $4,7$ meter.

Kalkulator

Hvor stort blir arealet av blomsterbedet dersom $x = 1$ og $y = 4,7$ ?

Sofie vil lage en systematisk oversikt som viser arealet av ulike blomsterbed de kan lage når gjerdet skal være 12 meter.

Kalkulator

Lag en slik oversikt for Sofie.

Selma lurer på om de kan tegne en graf som de kan bruke for å finne den verdien av $x$ som vil gi størst mulig areal når gjerdet skal være 12 meter. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk hun kan bruke.

Krever PC

Sett opp et funksjonsuttrykk for Selma. Tegn grafen og bestem det størst mulige arealet.

Fasit

Vis

$y \approx 4,7 m$

$A \approx 5,1 m^{2}$

Oversiktstabell

$A_{\max} \approx 10,1 m^{2}$ ved $x \approx 3,36 m$

LøsningsforslagKI-generert

Blomsterbedet har to sider av lengde $y$ (de to langsidene), én rett ende med lengde $x$ , og én halvsirkel med diameter $x$ (radius $r = x / 2$ ).

De tre rette sidene vil ha lengde $y + x + y$ .

Halvsirkelen har omkretsen til en halvsirkel med radius $\frac{x}{2}$ . Omkretsen til en hel sirkel er $2 π r$ , og da blir omkretsen til en halvsirkel $π r$ . Lengden av vår halvsirkel er

π \cdot r = π \cdot \frac{x}{2} = \frac{π x}{2}

Dermed er den totale omkretsen:

O = y + x + y + \frac{π x}{2} = 2 y + x + \frac{π x}{2}

Setter inn $x = 1$ og $O = 12$ :

12 = 2 y + 1 + \frac{π \cdot 1}{2}

2 y = 12 - 1 - \frac{π}{2} = 11 - \frac{π}{2} \approx 11 - 1,571 = 9,429

y \approx 4,71 \approx 4,7

Når $x = 1$ , er $y \approx 4,7 m$ .

Arealet består av et rektangel og en halvsirkel:

A = x \cdot y + \frac{π r^{2}}{2} = 1 \cdot 4,7 + \frac{π \cdot {(0,5)}^{2}}{2} = 4,7 + \frac{π}{8} \approx 4,7 + 0,39 = 5,09

Arealet er omtrent $5,1 m^{2}$ .

Fra $O = 12$ får vi $y = \frac{12 - x (1 + \frac{π}{2})}{2}$ .

Arealet er $A = x y + \frac{π x^{2}}{8}$ .

$x$ (m)	$y$ (m)	$A$ (m²)
$0,5$	$5,36$	$2,78$
$1,0$	$4,71$	$5,11$
$1,5$	$4,07$	$6,99$
$2,0$	$3,43$	$8,43$
$2,5$	$2,79$	$9,42$
$3,0$	$2,14$	$9,97$
$3,5$	$1,50$	$10,06$
$4,0$	$0,86$	$9,72$

Tabellen viser at størst areal oppnås et sted mellom $x = 3$ og $x = 4$ .

Fra $O = 12$ uttrykker vi $y$ som funksjon av $x$ :

y = \frac{12 - x (1 + \frac{π}{2})}{2}

Setter inn i arealformelen og forenkler:

A (x) = x \cdot y + \frac{π x^{2}}{8} = 6 x - x^{2} \cdot \frac{4 + π}{8}

Vi tegner grafen til $A (x)$ i GeoGebra og leser av toppunktet:

$Graf av A(x) = 6x - x^2 \cdot \frac{4+\pi}{8} med toppunkt markert$

Fra grafen leser vi at toppunktet er $(3,36, 10,08)$ , altså $x \approx 3,36 m$ og $A \approx 10,1 m^{2}$ .

Tilhørende $y$ :

y = \frac{12 - 3,36 \cdot (1 + \frac{π}{2})}{2} \approx 1,68 m

Det største arealet er $\approx 10,1 m^{2}$ , og det oppnås når $x \approx 3,36 m$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som setter inn verdier for $x$ og $y$ og viser at gjerdet blir omtrent 12 meter, får full uttelling.

En kandidat som løser oppgaven i et regneark, men ikke viser formlene, kan få full uttelling.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og graf og 1 poeng for størst mulig areal.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Funksjoner, Areal og omkrets
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Vekt	Pris
0–5 kg	73 kroner
5–10 kg	135 kroner
10–25 kg	240 kroner

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1Busstur Mandal til Oslo

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Deksel og merverdiavgift

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Støvpartikkel i standardform

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Pyramide med proporsjonal høyde

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Lønn og timelønn fra grafer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-630-dagersbillett og pris per tur

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Femkanttall og programmering

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 27 poeng

Oppgave 2-1Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Grafer og fire situasjoner

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Betalingsanmerkninger og gjennomsnitt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Eplekjøp i USA med valuta og enheter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Aksje ned og opp igjen

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Breddegrader og jordomkrets

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Blomsterbed med halvsirkel

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1·Busstur Mandal til Oslo

Oppgave 1-2·Deksel og merverdiavgift

Oppgave 1-3·Støvpartikkel i standardform

Oppgave 1-4·Pyramide med proporsjonal høyde

Oppgave 1-5·Lønn og timelønn fra grafer

Oppgave 1-6·30-dagersbillett og pris per tur

Oppgave 1-7·Femkanttall og programmering

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 27 poeng

Oppgave 2-1·Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

Oppgave 2-2·Grafer og fire situasjoner

Oppgave 2-3·Betalingsanmerkninger og gjennomsnitt

Oppgave 2-4·Eplekjøp i USA med valuta og enheter

Oppgave 2-5·Aksje ned og opp igjen

Oppgave 2-6·Breddegrader og jordomkrets

Oppgave 2-7·Blomsterbed med halvsirkel

Temaer

Oppgave 1-1Busstur Mandal til Oslo

Oppgave 1-2Deksel og merverdiavgift

Oppgave 1-3Støvpartikkel i standardform

Oppgave 1-4Pyramide med proporsjonal høyde

Oppgave 1-5Lønn og timelønn fra grafer

Oppgave 1-630-dagersbillett og pris per tur

Oppgave 1-7Femkanttall og programmering

Oppgave 2-1Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

Oppgave 2-2Grafer og fire situasjoner

Oppgave 2-3Betalingsanmerkninger og gjennomsnitt

Oppgave 2-4Eplekjøp i USA med valuta og enheter

Oppgave 2-5Aksje ned og opp igjen

Oppgave 2-6Breddegrader og jordomkrets

Oppgave 2-7Blomsterbed med halvsirkel