Kasser av metallplater

Sofie arbeider ved en bedrift og skal lage kasser av metallplater. Metallplatene har form som rektangler og er 1200 mm lange og 800 mm brede.

For å lage kassene skal hun skjære bort et kvadrat i hvert av hjørnene og brette opp sidekantene.

Illustrasjon av metallplate, utskjæring og ferdig kasse

Kassene skal fylles med sand.

Vis at det vil være plass til 60 L sand i en kasse dersom Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde 100 mm i hvert hjørne.

Sofie ønsker en oversikt som viser volumet av ulike kasser hun kan lage av metallplatene.

Lag en systematisk oversikt for Sofie. Av oversikten skal Sofie kunne se omtrent hvor lange sidene i kvadratene hun skal skjære bort må være, for at volumet av kassen skal bli størst mulig.

Sofie ønsker å lage en modell som viser volumet av de ulike kassene hun kan lage av metallplatene.

Sett opp et funksjonsuttrykk Sofie kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom lengden av sidene i kvadratene hun skjærer bort, og volumet av kassene.

Hvor mye av hjørnene må Sofie skjære bort dersom hun vil lage kassene slik at volumet blir størst mulig? Hvor stort blir dette volumet?

Hva vil du si er modellens gyldighetsområde? Argumenter for svaret ditt.

Fasit

Volum $= 1000 \cdot 600 \cdot 100 \, \mathrm{mm}^3 = 60\,000\,000 \, \mathrm{mm}^3 = 60 \, \mathrm{L}$

Maksimalt volum ved $x \approx 150 \, \mathrm{mm}$

$V(x) = (1200 - 2x)(800 - 2x) \cdot x$ , se grafisk fremstilling

$x \approx 157 \, \mathrm{mm}$ , maks volum $\approx 67{,}6 \, \mathrm{L}$

Gyldighetsområde: $0 < x < 400 \, \mathrm{mm}$

Løsningsforslag

Med sidelengde $x = 100 \, \mathrm{mm}$ på hvert utskåret kvadrat:

Lengde: $1200 - 2 \cdot 100 = 1000 \, \mathrm{mm}$
Bredde: $800 - 2 \cdot 100 = 600 \, \mathrm{mm}$
Høyde: $100 \, \mathrm{mm}$

V = 1000 \cdot 600 \cdot 100 = 60\,000\,000 \, \mathrm{mm}^3

Vi omregner til liter ( $1 \, \mathrm{L} = 1\,000\,000 \, \mathrm{mm}^3$ ):

V = \frac{60\,000\,000}{1\,000\,000} = \underline{\underline{60 \, \mathrm{L}}} \quad \checkmark

La $x$ være sidelengden (i mm) til de utskårede kvadratene. Vi lager en oversikt:

$x$ (mm)	Lengde (mm)	Bredde (mm)	Volum (L)
50	1100	700	38,5
100	1000	600	60,0
150	900	500	67,5
200	800	400	64,0
250	700	300	52,5
300	600	200	36,0
350	500	100	17,5

Ut fra tabellen ser vi at volumet er størst når $x$ er omtrent $150 \, \mathrm{mm}$ .

Når Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde $x$ mm, får kassen:

Lengde: $(1200 - 2x) \, \mathrm{mm}$
Bredde: $(800 - 2x) \, \mathrm{mm}$
Høyde: $x \, \mathrm{mm}$

Funksjonsuttrykket (volum i L):

\underline{\underline{V(x) = \frac{(1200 - 2x)(800 - 2x) \cdot x}{1\,000\,000}}}

Vi tegner grafen i GeoGebra:

Fra grafen (se punkt Maks) er volumet størst ved $x \approx 157 \, \mathrm{mm}$ , og maksimalt volum er ca. $67{,}6 \, \mathrm{L}$ .

Sofie bør skjære bort kvadrater med sidelengde ca. $\underline{\underline{157 \, \mathrm{mm}}}$ . Da blir volumet størst mulig med ca. $\underline{\underline{67{,}6 \, \mathrm{L}}}$ .

For at kassen skal gi mening må alle dimensjonene være positive:

Høyde: $x > 0$
Bredde: $800 - 2x > 0 \Rightarrow x < 400$

(Lengdebetingelsen $x < 600$ er oppfylt automatisk når $x < 400$ .)

Gyldighetsområdet er $\underline{\underline{0 < x < 400 \, \mathrm{mm}}}$ .

I praksis vil det også være en nedre grense (for eksempel $x \geq 10 \, \mathrm{mm}$ ) siden det ikke er mulig å skjære bort kvadrater som er for bitte små, men matematisk sett er $0 < x < 400 \, \mathrm{mm}$ det naturlige gyldighetsområdet.

Sensorveiledning

1,4 poeng

None

1,4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten lage en systematisk oversikt med verdier som gjør at det er mulig å se omtrent hvor lange sidene i kvadratene må være.

Mindre systematiske eller mangelfulle oversikter kan gi 1 poeng.

Kandidater som bruker modellen fra oppgave c) for å lage oversikten, kan få full uttelling.

1,4 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og 1 poeng for en riktig grafisk framstilling.

1,4 poeng

None

1,4 poeng

None

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2024, del 2, oppgave 8
Poeng: 7
Temaer: volum, optimering, funksjoner
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv