Geometrisk rekke og sparing

I en uendelig geometrisk rekke er $a_1 = \dfrac{3}{1{,}04}$ og $k = \dfrac{1}{1{,}04}$ .

Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Frode har blitt bestefar. Han ønsker å gi barnebarnet Benjamin 10 000 kroner i gave hvert år i 20 år framover, første gang om ett år. Frode oppretter i den forbindelse en konto der han vil sette inn et engangsbeløp i dag som vil dekke alle de 20 framtidige utbetalingene. Kontoen har en fast årlig rentefot på 2,0 %.

Sett opp en rekke som du kan bruke til å regne ut hvor mye Frode må sette inn på kontoen sin i dag for å kunne gjennomføre de 20 utbetalingene. (Du behøver ikke å regne ut beløpet.)

Fasit

$s = 75$

$s = \displaystyle\sum_{i=1}^{20} \frac{10\,000}{1{,}02^i}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $a_1 = \dfrac{3}{1{,}04}$ og $k = \dfrac{1}{1{,}04}$ .

Siden $|k| = \dfrac{1}{1{,}04} \approx 0{,}962 < 1$ , konvergerer rekken.

Summen er

s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\dfrac{3}{1{,}04}}{1 - \dfrac{1}{1{,}04}} = \frac{\dfrac{3}{1{,}04}}{\dfrac{1{,}04 - 1}{1{,}04}} = \frac{\dfrac{3}{1{,}04}}{\dfrac{0{,}04}{1{,}04}} = \frac{3}{0{,}04}

\underline{\underline{s = 75}}

Frode setter inn et engangsbeløp $s$ i dag. Om $i$ år skal han betale ut 10 000 kr. Nåverdien av utbetalingen om $i$ år er

\frac{10\,000}{1{,}02^i}

Engangsbeløpet må dekke nåverdien av alle 20 utbetalingene:

\underline{\underline{s = \sum_{i=1}^{20} \frac{10\,000}{1{,}02^i} = \frac{10\,000}{1{,}02} + \frac{10\,000}{1{,}02^2} + \cdots + \frac{10\,000}{1{,}02^{20}}}}

Dette er en endelig geometrisk rekke med $a_1 = \dfrac{10\,000}{1{,}02}$ og $k = \dfrac{1}{1{,}02}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2020, del 1, oppgave 3
Poeng: 4
Temaer: rekker, uendelig rekke, økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker