S2 Høst 2013

Vi skriver om $f(x)$ med negativ eksponent og bruker potensregelen $\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = \underline{\underline{-\dfrac{2}{x^3}}}$

Vi bruker kjerneregelen med ytre funksjon $u^5$ og kjerne $u = x-1$:

$g'(x) = \underline{\underline{25(x-1)^4}}$

Vi bruker kvotientregelen $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ med

Kjerneregelen gir $u' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$, og $v' = 1$.

Vi faktoriserer $e^{-2x}$ i telleren:

$h'(x) = \underline{\underline{\dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}}}$

Ifølge faktorteoremet går $(x^3 + 2x^2 - 21x + 18) : (x - 1)$ opp uten rest dersom $x = 1$ er et nullpunkt i polynomet. Vi setter inn $x = 1$:

Siden $f(1) = 0$, er $(x-1)$ en faktor i polynomet, og divisjonen går opp.

Vi gjennomfører polynomdivisjonen $(x^3 + 2x^2 - 21x + 18) : (x - 1)$:

Vi faktoriserer kvotienten $x^2 + 3x - 18$. Vi søker to tall med sum $3$ og produkt $-18$: det er $6$ og $-3$.

Tellerpolynomet er altså $(x-1)(x+6)(x-3)$. Nevneren faktoriseres som $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$.

Vi forkorter den felles faktoren $(x-1)$:

$\dfrac{x^3 + 2x^2 - 21x + 18}{x^2 - 1} = \underline{\underline{\dfrac{(x+6)(x-3)}{x+1}}}$

Vi faktoriserer divisoren $x^2 + 2x - 3$. Vi søker to tall med sum $2$ og produkt $-3$: det er $3$ og $-1$.

Divisoren har nullpunktene $x = -3$ og $x = 1$. For at divisjonen $(x^3 + ax + b) : (x^2 + 2x - 3)$ skal gå opp, må disse nullpunktene også være nullpunkter i telleren $p(x) = x^3 + ax + b$.

Vi setter opp likningssystemet:

Fra den første likningen får vi $b = -1 - a$. Dette setter vi inn i den andre:

$\underline{\underline{a = -7}}$ og $\underline{\underline{b = 6}}$

I en aritmetisk rekke gjelder $a_n = a_1 + (n-1)d$. Vi bruker de to kjente leddene til å sette opp et likningssystem:

Vi trekker den første likningen fra den andre:

Setter vi $d = 4$ inn i den første likningen:

De fire første leddene er:

De fire første leddene er $\underline{\underline{2,\; 6,\; 10,\; 14}}$.

Vi setter $a_1 = 2$ og $d = 4$ inn i formelen $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_n = \underline{\underline{4n - 2}}$

Vi bruker sumformelen for en aritmetisk rekke, $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$, og setter inn $a_1 = 2$ og $a_n = 4n - 2$:

$S_n = \underline{\underline{2n^2}}$

Vi deriverer $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 1$:

Stasjonærpunkter der $f'(x) = 0$:

Vi setter opp fortegnslinje for $f'(x) = x(x-2)$:

$f'$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=0$: toppunkt. $f'$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x=2$: bunnpunkt.

Funksjonsverdier:

Toppunkt i $\underline{\underline{(0,\, 1)}}$ og bunnpunkt i $\underline{\underline{\left(2,\, -\dfrac{1}{3}\right)}}$.

Vi deriverer $f'(x) = x^2 - 2x$ én gang til:

Vendepunkt der $f''(x) = 0$:

Vi sjekker at $f''$ skifter fortegn i $x=1$: for $x<1$ er $f''(x)<0$ (konkav), for $x>1$ er $f''(x)>0$ (konveks). Det er et vendepunkt.

Funksjonsverdien:

Vendepunkt i $\underline{\underline{\left(1,\, \dfrac{1}{3}\right)}}$.

Vi bruker nøkkelpunktene:

• Toppunkt: $(0,\, 1)$
• Vendepunkt: $(1,\, \tfrac{1}{3})$ — midt mellom topp og bunn
• Bunnpunkt: $(2,\, -\tfrac{1}{3})$
• For $x \to -\infty$: $f(x) \to -\infty$
• For $x \to +\infty$: $f(x) \to +\infty$

Grafen stiger mot toppunktet, har ett bøyepunkt (vendepunkt), faller til bunnpunktet og stiger deretter.

To terninger gir $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlige utfall.

Utfall med sum lik 7: $(1,6),\,(2,5),\,(3,4),\,(4,3),\,(5,2),\,(6,1)$ — det er 6 utfall.

Kasinoet betaler spilleren $20 \, \mathrm{kr}$, dvs. kasinoet har et utbytte på $X = -20 \, \mathrm{kr}$ i disse tilfellene. Dermed er

$\underline{\underline{P(X = -20) = \dfrac{1}{6}}}$.

Utfall med sum lik 2: $(1,1)$ — 1 utfall. Utfall med sum lik 12: $(6,6)$ — 1 utfall.

Siden alle sannsynligheter må summere til 1:

Utfylt tabell:

Vi setter $\text{E}(X) = 5$ og bruker forventningsverdiformelen:

Vi gjør om til 18-deler:

$\underline{\underline{a = 25 \, \mathrm{kr}}}$. Kasinoet setter betalingen til $25 \, \mathrm{kr}$ dersom summen verken er 7, 2 eller 12, slik at de i det lange løp tjener $5 \, \mathrm{kr}$ per spill.

Vi deriverer kostnadsfunksjonen og inntektsfunksjonen.

Vi setter inn $x = 100$:

Tolkning: $K'(100) = 10$ betyr at den 101. enheten koster ca. $10 \, \mathrm{kr}$ å produsere. $I'(100) \approx 23{,}76$ betyr at den 101. enheten gir ca. $23{,}76 \, \mathrm{kr}$ i inntekt. Siden $\textcolor{steelblue}{I'(100)} > \textcolor{tomato}{K'(100)}$, er overskuddet stigende ved $x = 100$, og bedriften bør produsere flere enn 100 enheter.

Overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x)$. Vi finner maksimum ved å bruke GeoGebra CAS.

Vi definerer funksjonene og løser $O'(x) = 0$, som tilsvarer $I'(x) = K'(x)$ (grenseinntekt = grensekostnad):

CAS gir løsningen

(Den negative roten forkastes siden $x \geq 0$.)

Vi leser av grafen under at overskuddsfunksjonen $O(x)$ (grønn) har maksimum nær $x = 137$, der inntektskurven $I(x)$ (blå) og kostnadskurven $K(x)$ (rød) har størst avstand:

$O(137) = 2400 \cdot \ln(138) - (0{,}1 \cdot 137^2 - 10 \cdot 137 + 2200) \approx 9119 \, \mathrm{kr}$

Bedriften bør produsere $\underline{\underline{x \approx 137}}$ enheter per dag, og da er det maksimale overskuddet ca. $\underline{\underline{9118 \, \mathrm{kr}}}$.

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne $f(8)$ (år 2020 er 8 år etter 2012):

Ifølge modellen vil de som er født i 2020, ha en forventet levealder på omtrent $\underline{\underline{82{,}5 \text{~år}}}$.

Vi løser likningen $f(x) = 84$ med GeoGebra CAS (se skjermbildet ovenfor, linje 3):

GeoGebra gir $x \approx 18{,}75$.

Siden $x$ er antall år etter 2012, tilsvarer dette år

Ifølge modellen kan nyfødte forvente en levealder på 84 år for dem som er født rundt $\underline{\underline{2031}}$.

Vi deriverer $f(x)$ med GeoGebra CAS. Den deriverte av en logistisk funksjon

kan skrives ved kvotientregelen. La $u = 98{,}0$ og $v = 1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}$. Da er $u' = 0$ og

slik at

Vi ser at:

• Telleren inneholder faktoren $e^{-0{,}0113x}$, som er strengt positiv for alle $x$, samt de positive konstantene $98{,}0$ og $0{,}002328$. Dermed er telleren $> 0$.
• Nevneren er et kvadrat, altså $> 0$.

Siden både teller og nevner er positive for alle $x \geq 0$, er

Dette viser at $f$ er strengt voksende, og dermed at forventet levealder stadig øker ifølge modellen.

Når $x \to \infty$, går $e^{-0{,}0113x} \to 0$. Derfor blir

Ifølge modellen vil forventet levealder i Norge på sikt gå mot $\underline{\underline{98{,}0 \text{~år}}}$.

Vi legger inn datapunktene fra tabell 1 i GeoGebra og utfører lineær regresjon.

La $x$ = antall år etter 2002 og $g(x)$ = omsetning i mill. kr.

Regresjonslinjen blir:

Vi finner nullpunktet til $g(x)$:

GeoGebra leser av at $x \approx 12{,}68$. Det betyr $2002 + 12{,}68 \approx 2014{,}68$.

Dersom utviklingen fortsetter på samme måte, kan vi regne med at CD-salget tar slutt i $\underline{\underline{2015}}$.

Vi legger inn datapunktene fra tabell 2 i GeoGebra og utfører eksponentiell regresjon.

La $x$ = antall år etter 2006 og $f(x)$ = omsetning av streaming/nedlastet musikk i mill. kr.

Den eksponentielle modellen blir:

Her er $a \approx 25{,}38$ og vekstfaktoren $b \approx 1{,}5526$ (dvs. ca. $55\,\%$ vekst per år).

Vi beregner omsetningen i 2013, som er 7 år etter 2006 ($x = 7$):

Dersom utviklingen fortsetter, kan musikkbransjen regne med en streaming-omsetning på omtrent $\underline{\underline{552 \, \mathrm{mill.\,kr}}}$ i 2013.

Vi bruker annuitetsformelen

der $T = 16\,274{,}54$, $L = 100\,000$ og $n = 10$. Vi løser for $r$:

I GeoGebra CAS (linje 4) finner vi $k = 0{,}1$, altså $r = 10 \,\%$.

Vi kan også verifisere ved å sette inn $r = 0{,}1$ direkte:

Den årlige renten er $\underline{\underline{10 \,\%}}$.

Aksjene er kjøpt for $100\,000 \, \mathrm{kr}$ og vokser med $12 \,\%$ per år i 10 år:

(linje 5 i CAS-utklippet).

Lise betaler terminbeløpet $T = 16\,274{,}54 \, \mathrm{kr}$ hvert år. Dersom disse betalingene i stedet hadde blitt satt inn på en konto med $10 \,\%$ rente, ville den samlede fremtidsverdien av betalingene vært (linje 6):

Netto fortjeneste er differansen mellom verdien av aksjene og fremtidsverdien av betalingene (linje 7):

Verdien av aksjene etter 10 år er $\underline{\underline{310\,584{,}82 \, \mathrm{kr}}}$, og netto fortjeneste er $\underline{\underline{51\,210{,}57 \, \mathrm{kr}}}$.

Lise setter inn $T = 16\,274{,}54 \, \mathrm{kr}$ ved slutten av hvert år i 10 år på en sparekonto med fast årlig rente $p$. Vi bruker fremtidsverdien av en annuitet (geometrisk rekke):

Vi setter $S$ lik aksjeverdien fra b) og løser for $p$ (linje 8 i CAS-utklippet):

GeoGebra gir $p \approx 0{,}13729$, altså omtrent $13{,}73 \,\%$.

Sparerenten må være omtrent $\underline{\underline{p \approx 13{,}73 \,\%}}$ for at hun skal ha like mye i banken etter 10 år som verdien av aksjene.