S2 Høst 2013

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

g (x) = 5 {(x - 1)}^{5}

h (x) = \frac{e^{- 2 x}}{x - 3}

Fasit

$f^{'} (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

$g^{'} (x) = 25 {(x - 1)}^{4}$

$h^{'} (x) = \frac{(5 - 2 x) e^{- 2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $f (x)$ med negativ eksponent og bruker potensregelen ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ :

f (x) = \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}

f^{'} (x) = - 2 x^{- 3} = - \frac{𝟐}{𝐱^{𝟑}}

$f^{'} (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Vi bruker kjerneregelen med ytre funksjon $u^{5}$ og kjerne $u = x - 1$ :

g (x) = 5 {(x - 1)}^{5}

g^{'} (x) = 5 \cdot 5 {(x - 1)}^{4} \cdot {(x - 1)}^{'} = 25 {(x - 1)}^{4} \cdot 1

$g^{'} (x) = 25 {(x - 1)}^{4}$

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med

u = e^{- 2 x}, v = x - 3

Kjerneregelen gir $u^{'} = e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - 2 e^{- 2 x}$ , og $v^{'} = 1$ .

h^{'} (x) = \frac{- 2 e^{- 2 x} (x - 3) - e^{- 2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}

Vi faktoriserer $e^{- 2 x}$ i telleren:

h^{'} (x) = \frac{e^{- 2 x} (- 2 (x - 3) - 1)}{(x - 3)^{2}} = \frac{e^{- 2 x} (- 2 x + 6 - 1)}{(x - 3)^{2}}

$h^{'} (x) = \frac{(5 - 2 x) e^{- 2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og bestemmelse av parametre S2 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at polynomdivisjonen

(x^{3} + 2 x^{2} - 21 x + 18) : (x - 1)

går opp, uten å gjennomføre divisjonen.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 21 x + 18}{x^{2} - 1}

Bestem tallene $a$ og $b$ slik at divisjonen nedenfor går opp.

(x^{3} + a x + b) : (x^{2} + 2 x - 3)

Fasit

$f (1) = 0$ , så $(x - 1)$ er faktor og divisjonen går opp.

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{x + 1}$

$a = - 7, b = 6$

LøsningsforslagKI-generert

Ifølge faktorteoremet går $(x^{3} + 2 x^{2} - 21 x + 18) : (x - 1)$ opp uten rest dersom $x = 1$ er et nullpunkt i polynomet. Vi setter inn $x = 1$ :

1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 21 \cdot 1 + 18 = 1 + 2 - 21 + 18 = 0

Siden $f (1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor i polynomet, og divisjonen går opp.

Vi gjennomfører polynomdivisjonen $(x^{3} + 2 x^{2} - 21 x + 18) : (x - 1)$ :

\begin{matrix} (x^{3} + 2 x^{2} - 21 x + 18 & ) : (x - 1) = x^{2} + 3 x - 18 \\ x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ 3 x^{2} - 21 x + 18 \\ 3 x^{2} - 3 x + 0 \\ - 18 x + 18 \\ - 18 x + 18 \\ 0 \end{matrix}

Vi faktoriserer kvotienten $x^{2} + 3 x - 18$ . Vi søker to tall med sum $3$ og produkt $- 18$ : det er $6$ og $- 3$ .

x^{2} + 3 x - 18 = (x + 6) (x - 3)

Tellerpolynomet er altså $(x - 1) (x + 6) (x - 3)$ . Nevneren faktoriseres som $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ .

Vi forkorter den felles faktoren $(x - 1)$ :

\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 21 x + 18}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 1) (x + 6) (x - 3)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(𝐱 + 𝟔) (𝐱 - 𝟑)}{𝐱 + 𝟏}

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 21 x + 18}{x^{2} - 1} = \frac{(x + 6) (x - 3)}{x + 1}$

Vi faktoriserer divisoren $x^{2} + 2 x - 3$ . Vi søker to tall med sum $2$ og produkt $- 3$ : det er $3$ og $- 1$ .

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

Divisoren har nullpunktene $x = - 3$ og $x = 1$ . For at divisjonen $(x^{3} + a x + b) : (x^{2} + 2 x - 3)$ skal gå opp, må disse nullpunktene også være nullpunkter i telleren $p (x) = x^{3} + a x + b$ .

Vi setter opp likningssystemet:

p (1) = 0 : 1 + a + b = 0

p (- 3) = 0 : - 27 - 3 a + b = 0

Fra den første likningen får vi $b = - 1 - a$ . Dette setter vi inn i den andre:

- 27 - 3 a + (- 1 - a) = 0

- 28 - 4 a = 0

a = - 7

b = - 1 - (- 7) = 6

$a = - 7$ og $b = 6$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Bevis, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke med a2 og a5

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en aritmetisk rekke er $a_{2} = 6$ og $a_{5} = 18$ .

Skriv opp de fire første leddene i rekken.

Bestem en formel for $a_{n}$ .

Bestem en formel for summen $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$

Fasit

$2, 6, 10, 14$

$a_{n} = 4 n - 2$

$S_{n} = 2 n^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke gjelder $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Vi bruker de to kjente leddene til å sette opp et likningssystem:

a_{2} = a_{1} + d = 6

a_{5} = a_{1} + 4 d = 18

Vi trekker den første likningen fra den andre:

3 d = 12 ⟹ d = 4

Setter vi $d = 4$ inn i den første likningen:

a_{1} + 4 = 6 ⟹ a_{1} = 2

De fire første leddene er:

a_{1} = 2, a_{2} = 6, a_{3} = 10, a_{4} = 14

De fire første leddene er $2, 6, 10, 14$ .

Vi setter $a_{1} = 2$ og $d = 4$ inn i formelen $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ :

a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 4 = 2 + 4 n - 4 = 4 n - 2

$a_{n} = 4 n - 2$

Vi bruker sumformelen for en aritmetisk rekke, $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ , og setter inn $a_{1} = 2$ og $a_{n} = 4 n - 2$ :

S_{n} = \frac{n}{2} (2 + 4 n - 2) = \frac{n}{2} \cdot 4 n = 2 n^{2}

$S_{n} = 2 n^{2}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon med vendepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt funksjonen

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1, D_{f} = ℝ

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

Toppunkt i $(0, 1)$ , bunnpunkt i $(2, - \frac{1}{3})$

Vendepunkt i $(1, \frac{1}{3})$

Se skisse i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1$ :

f^{'} (x) = x^{2} - 2 x

Stasjonærpunkter der $f^{'} (x) = 0$ :

x^{2} - 2 x = 0 ⟹ x (x - 2) = 0

x = 0 eller x = 2

Vi setter opp fortegnslinje for $f^{'} (x) = x (x - 2)$ :

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

$f^{'}$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x = 0$ : toppunkt. $f^{'}$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x = 2$ : bunnpunkt.

Funksjonsverdier:

f (0) = 0 - 0 + 1 = 1

f (2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 4 + 1 = \frac{8}{3} - 3 = - \frac{1}{3}

Toppunkt i $(0, 1)$ og bunnpunkt i $(2, - \frac{1}{3})$ .

Vi deriverer $f^{'} (x) = x^{2} - 2 x$ én gang til:

f^{''} (x) = 2 x - 2

Vendepunkt der $f^{''} (x) = 0$ :

2 x - 2 = 0 ⟹ x = 1

Vi sjekker at $f^{''}$ skifter fortegn i $x = 1$ : for $x < 1$ er $f^{''} (x) < 0$ (konkav), for $x > 1$ er $f^{''} (x) > 0$ (konveks). Det er et vendepunkt.

Funksjonsverdien:

f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - 1 + 1 = \frac{1}{3}

Vendepunkt i $(1, \frac{1}{3})$ .

Vi bruker nøkkelpunktene:

Toppunkt: $(0, 1)$
Vendepunkt: $(1, \frac{1}{3})$ — midt mellom topp og bunn
Bunnpunkt: $(2, - \frac{1}{3})$
For $x \to - \infty$ : $f (x) \to - \infty$
For $x \to + \infty$ : $f (x) \to + \infty$

Grafen stiger mot toppunktet, har ett bøyepunkt (vendepunkt), faller til bunnpunktet og stiger deretter.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I en fullgod besvarelse må kandidaten drøfte fortegnet til den deriverte (eller bruke $f^{''} (x)$ ).

Kandidaten må vise at $f^{''} (x)$ skifter fortegn.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Sushikvitteringer og likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre venner spiste lunsj på en sushi-restaurant. De valgte hver sin meny, slik kvitteringene nedenfor viser.

Sushi-kvitteringer

Hvor mye hadde én bit sushi med laks, én bit med scampi og én bit med tunfisk kostet dersom de hadde blitt bestilt hver for seg?

Fasit

Laks: $15 kr$ , scampi: $18 kr$ , tunfisk: $20 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Fra kvitteringene koster mineralvann $30 kr$ på alle tre. Vi trekker det fra og setter opp likningssystem der $L$ = pris per bit laks, $S$ = pris per bit scampi og $T$ = pris per bit tunfisk.

Kvittering	Innhold	Sushi-sum
Kunde 1 (Meny B)	2 laks, 1 scampi, 2 tunfisk	$118 - 30 = 88 kr$
Kunde 2 (Meny A)	3 laks, 2 scampi, 1 tunfisk	$131 - 30 = 101 kr$
Kunde 3 (Meny C)	3 laks, 1 scampi, 2 tunfisk	$133 - 30 = 103 kr$

Dette gir likningssystemet:

{\begin{matrix} 2 L + S + 2 T & = 88 \\ 3 L + 2 S + T & = 101 \\ 3 L + S + 2 T & = 103 \end{matrix}

Trinn 1 — trekk likning I fra likning III:

(3 L + S + 2 T) - (2 L + S + 2 T) = 103 - 88

L = 15

Trinn 2 — sett $L = 15$ inn i likning I og III:

\begin{matrix} I: 30 + S + 2 T = 88 ⟹ S + 2 T = 58 & (IV) \end{matrix}

\begin{matrix} III: 45 + S + 2 T = 103 ⟹ S + 2 T = 58 & (bekreftelse) \end{matrix}

Trinn 3 — sett $L = 15$ inn i likning II:

\begin{matrix} 45 + 2 S + T = 101 ⟹ 2 S + T = 56 & (V) \end{matrix}

Trinn 4 — løs systemet av (IV) og (V). Fra (IV): $S = 58 - 2 T$ . Sett inn i (V):

2 (58 - 2 T) + T = 56 ⟹ 116 - 4 T + T = 56 ⟹ - 3 T = - 60 ⟹ T = 20

Trinn 5 — finn $S$ :

S = 58 - 2 \cdot 20 = 58 - 40 = 18

Én bit laks koster $15 kr$ , én bit scampi koster $18 kr$ og én bit tunfisk koster $20 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Terningspill på kasino med forventningsverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et terningspill på et kasino kastes to terninger. Det koster i utgangspunktet ikke noe å delta i spillet. Dersom summen av antall øyne blir 2 eller 12, får spilleren 200 kroner. Blir antall øyne til sammen 7, får hun 20 kroner. Men dersom summen blir noe annet enn 2, 12 eller 7, må spilleren betale $a$ kroner til kasinoet.

La $X$ være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang.

Forklar at $P (X = - 20) = \frac{1}{6}$ .

Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.

$x$	$a$	$- 20$	$- 200$
$P (X = x)$		$\frac{1}{6}$

Kasinoet vil sette $a$ slik at de i det lange løp tjener 5 kroner per spill.

Bestem verdien til $a$ .

Fasit

Se forklaring i løsningsforslaget

$P (X = a) = \frac{7}{9}$ , $P (X = - 200) = \frac{1}{18}$

$a = 25$

LøsningsforslagKI-generert

To terninger gir $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlige utfall.

Utfall med sum lik 7: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — det er 6 utfall.

Kasinoet betaler spilleren $20 kr$ , dvs. kasinoet har et utbytte på $X = - 20 kr$ i disse tilfellene. Dermed er

P (X = - 20) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

$P (X = - 20) = \frac{1}{6}$ .

Utfall med sum lik 2: $(1,1)$ — 1 utfall. Utfall med sum lik 12: $(6,6)$ — 1 utfall.

P (X = - 200) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

Siden alle sannsynligheter må summere til 1:

P (X = a) = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{18} = 1 - \frac{3}{18} - \frac{1}{18} = 1 - \frac{4}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}

Utfylt tabell:

$x$	$a$	$- 20$	$- 200$
$P (X = x)$	$\frac{7}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{18}$

Vi setter $E (X) = 5$ og bruker forventningsverdiformelen:

E (X) = a \cdot \frac{7}{9} + (- 20) \cdot \frac{1}{6} + (- 200) \cdot \frac{1}{18} = 5

\frac{7 a}{9} - \frac{20}{6} - \frac{200}{18} = 5

Vi gjør om til 18-deler:

\frac{14 a}{18} - \frac{60}{18} - \frac{200}{18} = 5

\frac{14 a - 260}{18} = 5

14 a - 260 = 90

14 a = 350

a = 25

$a = 25 kr$ . Kasinoet setter betalingen til $25 kr$ dersom summen verken er 7, 2 eller 12, slik at de i det lange løp tjener $5 kr$ per spill.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten får full uttelling dersom de forkorter brøkene eller ikke.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Det viser seg at kostnadene $K (x)$ og inntektene $I (x)$ per dag er gitt ved

K (x) = 0,1 x^{2} - 10 x + 2200

I (x) = 2400 \cdot \ln (x + 1)

Kalkulator

Bestem $K^{'} (100)$ og $I^{'} (100)$ . Kan du ut fra disse tallene si om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag?

Kalkulator

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd for bedriften.

Fasit

$K^{'} (100) = 10$ , $I^{'} (100) = \frac{2400}{101} \approx 23,76$ . Siden $I^{'} (100) > K^{'} (100)$ bør bedriften produsere flere enn 100 enheter.

$x \approx 137$ gir størst overskudd $O (137) \approx 9118 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer kostnadsfunksjonen og inntektsfunksjonen.

K (x) = 0,1 x^{2} - 10 x + 2200 ⟹ K^{'} (x) = 0,2 x - 10

I (x) = 2400 \cdot \ln (x + 1) ⟹ I^{'} (x) = \frac{2400}{x + 1}

Vi setter inn $x = 100$ :

K^{'} (100) = 0,2 \cdot 100 - 10 = 10

I^{'} (100) = \frac{2400}{100 + 1} = \frac{2400}{101} \approx 23,76

Tolkning: $K^{'} (100) = 10$ betyr at den 101. enheten koster ca. $10 kr$ å produsere. $I^{'} (100) \approx 23,76$ betyr at den 101. enheten gir ca. $23,76 kr$ i inntekt. Siden $I^{'} (100) > K^{'} (100)$ , er overskuddet stigende ved $x = 100$ , og bedriften bør produsere flere enn 100 enheter.

Overskuddet er $O (x) = I (x) - K (x)$ . Vi finner maksimum ved å bruke GeoGebra CAS.

Vi definerer funksjonene og løser $O^{'} (x) = 0$ , som tilsvarer $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ (grenseinntekt = grensekostnad):

GeoGebra CAS – derivasjon og løsning av O'(x) = 0

CAS gir løsningen

x = \frac{\sqrt{50601} + 49}{2} \approx 137

(Den negative roten forkastes siden $x \geq 0$ .)

Vi leser av grafen under at overskuddsfunksjonen $O (x)$ (grønn) har maksimum nær $x = 137$ , der inntektskurven $I (x)$ (blå) og kostnadskurven $K (x)$ (rød) har størst avstand:

Graf av K(x), I(x) og O(x) med makspunkt markert

$O (137) = 2400 \cdot \ln (138) - (0,1 \cdot 137^{2} - 10 \cdot 137 + 2200) \approx 9119 kr$

Bedriften bør produsere $x \approx 137$ enheter per dag, og da er det maksimale overskuddet ca. $9118 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling

Normalfordelingskurve med verdiene 173 og 183 markert på tallinjen

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $μ$ og standardavvik $σ$ .

I denne fordelingen er 10 % av elevene lavere enn 173 cm og 10 % er høyere enn 183 cm.

Kalkulator

Bestem $μ$ . Hvor mange prosent av elevene er lavere enn 183 cm?

Kalkulator

Bestem $σ$ .

Fasit

178 cm og 90 %

3,9 cm

Løsningsforslag

Normalfordelingen er symmetrisk om forventningsverdien $μ$ . Vi vet at 10 % er lavere enn 173 cm og 10 % er høyere enn 183 cm. Siden begge halene har like stor andel (10 %), må $μ$ ligge midt mellom 173 og 183:

μ = \frac{173 + 183}{2} = \frac{356}{2} = 𝟏𝟕𝟖 cm

Vi bruker komplementregelen. Siden 10 % er høyere enn 183 cm, er de resterende 90 % lavere enn 183 cm:

P (X < 183) = 1 - P (X > 183) = 1 - 0,10 = 𝟎,𝟗𝟎 = 𝟗𝟎 %

Vi vet at $P (X < 173) = 0,10$ . Vi standardiserer ved å innføre den standardnormalfordelte variabelen $Z$ :

P (X < 173) = P (Z < \frac{173 - 178}{σ}) = P (Z < \frac{- 5}{σ}) = 0,10

Fra normalfordelingstabellen finner vi $z$ -verdien der $Φ (z) = 0,10$ . Vi ser at $Φ (- 1,28) \approx 0,10$ , altså:

\frac{- 5}{σ} = - 1,28

σ = \frac{5}{1,28} \approx 𝟑,𝟗 cm

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Standard normalfordeling
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Logistisk modell for forventet levealder i Norge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge en modell fra Statistisk sentralbyrå vil forventet levealder til befolkningen i Norge følge funksjonen

f (x) = \frac{98,0}{1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 x}}, x \in [0, \to ⟩

Her er $f (x)$ forventet levealder for dem som er født $x$ år etter 2012.

Kalkulator

Hva blir forventet levealder for dem som blir født i 2020, ifølge denne modellen?

Kalkulator

Bestem i hvilket år nyfødte kan forvente en levealder på 84 år.

Kalkulator

Bruk $f^{'} (x)$ til å vise at forventet levealder i Norge stadig øker, ifølge denne modellen.

Kalkulator

Hva vil forventet levealder i Norge gå mot i det lange løp, ifølge modellen?

Fasit

$f (8) \approx 82,5 år$

$x \approx 18,75$ , dvs. rundt år $2031$

$f^{'} (x) > 0$ for alle $x \geq 0$ fordi telleren i den deriverte alltid er positiv.

$\lim_{x \to \infty} f (x) = 98,0 år$

LøsningsforslagKI-generert

Modellen er

f (x) = \frac{98,0}{1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 x}} x \geq 0

der $f (x)$ er forventet levealder (i år) for dem som er født $x$ år etter 2012.

Graf av f(x) med asymptote ved 98 og markerte punkter for deloppgave a og b

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne $f (8)$ (år 2020 er 8 år etter 2012):

GeoGebra CAS: f(8) ≈ 82,5

f (8) = \frac{98,0}{1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 \cdot 8}} \approx 𝟖𝟐,𝟓

Ifølge modellen vil de som er født i 2020, ha en forventet levealder på omtrent $82,5 år$ .

Vi løser likningen $f (x) = 84$ med GeoGebra CAS (se skjermbildet ovenfor, linje 3):

\frac{98,0}{1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 x}} = 84

GeoGebra gir $x \approx 18,75$ .

Siden $x$ er antall år etter 2012, tilsvarer dette år

2012 + 18,75 \approx 2031

Ifølge modellen kan nyfødte forvente en levealder på 84 år for dem som er født rundt $2031$ .

Vi deriverer $f (x)$ med GeoGebra CAS. Den deriverte av en logistisk funksjon

f (x) = \frac{98,0}{1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 x}}

kan skrives ved kvotientregelen. La $u = 98,0$ og $v = 1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 x}$ . Da er $u^{'} = 0$ og

v^{'} = 0,206 \cdot (- 0,0113) \cdot e^{- 0,0113 x} = - 0,002328 \cdot e^{- 0,0113 x}

slik at

f^{'} (x) = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{0 - 98,0 \cdot (- 0,002328 \cdot e^{- 0,0113 x})}{(1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 x})^{2}}

f^{'} (x) = \frac{98,0 \cdot 0,002328 \cdot e^{- 0,0113 x}}{(1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 x})^{2}}

Vi ser at:

Telleren inneholder faktoren $e^{- 0,0113 x}$ , som er strengt positiv for alle $x$ , samt de positive konstantene $98,0$ og $0,002328$ . Dermed er telleren $> 0$ .
Nevneren er et kvadrat, altså $> 0$ .

Siden både teller og nevner er positive for alle $x \geq 0$ , er

f^{'} (x) > 0 for alle x \geq 0

Dette viser at $f$ er strengt voksende, og dermed at forventet levealder stadig øker ifølge modellen.

Når $x \to \infty$ , går $e^{- 0,0113 x} \to 0$ . Derfor blir

\lim_{x \to \infty} f (x) = \lim_{x \to \infty} \frac{98,0}{1 + 0,206 \cdot e^{- 0,0113 x}} = \frac{98,0}{1 + 0,206 \cdot 0} = \frac{98,0}{1} = 98,0

Ifølge modellen vil forventet levealder i Norge på sikt gå mot $98,0 år$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, Grenseverdi, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Regresjon på CD-salg og musikk-streaming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Som vist i tabell 1 nedenfor har salget av CD-er i Norge minket de siste årene.

Tabell 1:

Antall år etter 2002	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Omsetning (mill. kroner)	943	866	876	759	659	620	526	473	352	235

Krever PC

I hvilket år kan vi regne med at CD-salget er slutt dersom vi går ut fra at utviklingen fortsetter på samme måte?

Omsetningen av nedlastet/streamet musikk har derimot økt, som vist i tabell 2 nedenfor.

Tabell 2:

Antall år etter 2006	0	1	2	3	4	5
Omsetning (mill. kroner)	26	42	57	89	143	248

Krever PC

Bestem en eksponentiell modell $f (x)$ som viser omsetningen som funksjon av antall år etter 2006. Hvor stor omsetning kan musikkbransjen regne med i 2013 dersom utviklingen fortsetter på denne måten?

Fasit

CD-salget tar slutt i 2015 (ca. $x \approx 12,7$ , dvs. rundt år 2015).

$f (7) \approx 552 m i l l . k r$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabell 1 i GeoGebra og utfører lineær regresjon.

La $x$ = antall år etter 2002 og $g (x)$ = omsetning i mill. kr.

Regresjonslinjen blir:

g (x) = - 77,11 x + 977,89

Lineær regresjon på CD-salg

Vi finner nullpunktet til $g (x)$ :

g (x) = 0 ⟹ x = \frac{977,89}{77,11} \approx 12,68

GeoGebra leser av at $x \approx 12,68$ . Det betyr $2002 + 12,68 \approx 2014,68$ .

Dersom utviklingen fortsetter på samme måte, kan vi regne med at CD-salget tar slutt i $2015$ .

Vi legger inn datapunktene fra tabell 2 i GeoGebra og utfører eksponentiell regresjon.

La $x$ = antall år etter 2006 og $f (x)$ = omsetning av streaming/nedlastet musikk i mill. kr.

Den eksponentielle modellen blir:

f (x) = 25,38 \cdot {1,5526}^{x}

Her er $a \approx 25,38$ og vekstfaktoren $b \approx 1,5526$ (dvs. ca. $55 %$ vekst per år).

Vi beregner omsetningen i 2013, som er 7 år etter 2006 ( $x = 7$ ):

f (7) = 25,38 \cdot {1,5526}^{7} \approx 552 m i l l . k r

Eksponentiell regresjon på streaming-omsetning

Dersom utviklingen fortsetter, kan musikkbransjen regne med en streaming-omsetning på omtrent $552 m i l l . k r$ i 2013.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Annuitetslån og aksjefond med sparing som alternativ

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I starten av et år vurderer Lise å låne 100 000 kroner for å investere i et aksjefond. Lånet er et annuitetslån, og hun må betale 16 274,54 kroner i slutten av hvert år i 10 år for å nedbetale hele lånet, første gang ett år etter låneopptaket.

Kalkulator

Vis at den årlige renten er på 10 %.

Banken hevder at dersom aksjene har en årlig verdiøkning på 12 %, vil hun sitte igjen med en solid fortjeneste på aksjene.

Kalkulator

Bestem verdien av aksjene i slutten av det 10. året.

Hennes netto fortjeneste etter 10 år er differansen mellom verdien av det hun har betalt på lånet, og verdien av aksjene.

Vis at hennes netto fortjeneste etter 10 år vil være 51 210,57 kroner.

I stedet for å ta opp dette lånet for å kjøpe aksjer vurderer Lise heller å spare. I slutten av hvert år vil hun sette 16 274,54 kroner inn på en konto med en fast årlig rente. Det første beløpet setter hun inn om ett år.

Oppsett for hånd

Hva må sparerenten være for at hun skal ha like mye penger i banken om 10 år som verdien av aksjene i oppgave b)?

Fasit

Annuitetsformelen gir $r = 10 %$ (vist ved innsetting)

$310 584,82 kr$ ; netto fortjeneste $51 210,57 kr$

$p \approx 13,73 %$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS brukes til alle beregningene. Se linjene i utklippet nedenfor.

GeoGebra CAS – annuitetslån og sparing

Vi bruker annuitetsformelen

T = L \cdot \frac{r {(1 + r)}^{n}}{{(1 + r)}^{n} - 1}

der $T = 16 274,54$ , $L = 100 000$ og $n = 10$ . Vi løser for $r$ :

100 000 \cdot \frac{r {(1 + r)}^{10}}{{(1 + r)}^{10} - 1} = 16 274,54

I GeoGebra CAS (linje 4) finner vi $k = 0,1$ , altså $r = 10 %$ .

Vi kan også verifisere ved å sette inn $r = 0,1$ direkte:

T = 100 000 \cdot \frac{0,1 \cdot {1,1}^{10}}{{1,1}^{10} - 1} = 100 000 \cdot \frac{0,1 \cdot 2,5937 \dots}{2,5937 \dots - 1} \approx 16 274,54 kr

Den årlige renten er $10 %$ .

Aksjene er kjøpt for $100 000 kr$ og vokser med $12 %$ per år i 10 år:

AksjeVerdi = 100 000 \cdot {1,12}^{10} \approx 310 584,82 kr

(linje 5 i CAS-utklippet).

Lise betaler terminbeløpet $T = 16 274,54 kr$ hvert år. Dersom disse betalingene i stedet hadde blitt satt inn på en konto med $10 %$ rente, ville den samlede fremtidsverdien av betalingene vært (linje 6):

{FV}_{betalinger} = 16 274,54 \cdot \frac{{1,1}^{10} - 1}{0,1} \approx 259 374,25 kr

Netto fortjeneste er differansen mellom verdien av aksjene og fremtidsverdien av betalingene (linje 7):

Netto fortjeneste = 310 584,82 - 259 374,25 \approx 51 210,57 kr

Verdien av aksjene etter 10 år er $310 584,82 kr$ , og netto fortjeneste er $51 210,57 kr$ .

Lise setter inn $T = 16 274,54 kr$ ved slutten av hvert år i 10 år på en sparekonto med fast årlig rente $p$ . Vi bruker fremtidsverdien av en annuitet (geometrisk rekke):

S = T \cdot \frac{{(1 + p)}^{10} - 1}{p}

Vi setter $S$ lik aksjeverdien fra b) og løser for $p$ (linje 8 i CAS-utklippet):

16 274,54 \cdot \frac{{(1 + p)}^{10} - 1}{p} = 310 584,82

GeoGebra gir $p \approx 0,13729$ , altså omtrent $13,73 %$ .

Sparerenten må være omtrent $p \approx 13,73 %$ for at hun skal ha like mye i banken etter 10 år som verdien av aksjene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Verifikasjon godtas som fullgod løsning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Annuitetslån, Sparing, Geometrisk rekke, Rente
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Hypotesetest for partis oppslutning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en stor kommune fikk et politisk parti en oppslutning på $6,0$ % ved valget for to år siden. I en fersk meningsmåling i kommunen ble 100 tilfeldig valgte personer spurt om hvilket parti de ville ha stemt på om det var valg i dag.

La $X$ være antall personer som i dag ville ha stemt på dette partiet blant 100 tilfeldig valgte personer. Vi går ut fra at $X$ er binomisk fordelt.

Kalkulator

Bestem forventningsverdien og standardavviket til $X$ dersom vi går ut fra at partiet fremdeles har en oppslutning på $6,0$ %.

Av 100 tilfeldig valgte personer var det 10 som oppga at de nå ville stemme på dette partiet.

Kalkulator

Sett opp hypoteser og test om partiet har grunn til å tro at de har hatt framgang blant velgerne. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$E (X) = 6$ , $SD (X) = \sqrt{5,64} \approx 2,37$

$p -verdi = P (X \geq 10) \approx 0,0775 > 0,05$ — vi forkaster ikke $H_{0}$ . Partiet har ikke statistisk grunnlag for å hevde framgang på 5 % signifikansnivå.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0,06$ .

Forventningsverdien er

E (X) = n \cdot p = 100 \cdot 0,06 = 𝟔

Variansen er

Var (X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 100 \cdot 0,06 \cdot 0,94 = 5,64

Standardavviket er

SD (X) = \sqrt{5,64} \approx 𝟐,𝟑𝟕

$E (X) = 6$ og $SD (X) = \sqrt{5,64} \approx 2,37$ .

Hypoteser

Vi ønsker å teste om partiet har hatt fremgang, altså om den sanne andelen $p$ er større enn $0,06$ . Vi setter opp en ensidig test:

H_{0} : p = 0,06 H_{1} : p > 0,06

Signifikansnivå: $α = 0,05$ .

Observasjon

I målingen stemte $x = 10$ av 100 på partiet.

Beregning av p-verdi i GeoGebra CAS

Under $H_{0}$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0,06$ .

Vi beregner sannsynligheten for å observere minst 10, gitt at nullhypotesen er sann:

p -verdi = P (X \geq 10) = 1 - P (X \leq 9)

I GeoGebra CAS skriver vi:

1 - BinomialDist(100, 0.06, 9, true)

Dette gir $p -verdi \approx 0,0775$ .

Konklusjon

p -verdi \approx 0,0775 > 0,05 = α

Siden p-verdien er større enn signifikansnivået, forkaster vi ikke $H_{0}$ .

Partiet har ikke statistisk grunnlag for å hevde at de har hatt fremgang blant velgerne på 5 % signifikansnivå.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

I en fullgod løsning må kandidaten poengtere at nullhypotesen antas sann. Dersom kandidaten bruker normalfordeling med begrunnelse, gis det full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Hypotesetest, Binomisk fordeling, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Piltall formel for pilspiss og rektangel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Antall prikker i figurene nedenfor kaller vi for piltallene $P_{n}$ . Vi ser at $P_{1} = 6$ og $P_{2} = 14$ .

Piltallene P_1 til P_4

For hånd

Skriv opp de fem første piltallene.

Maria ser at hun kan dele figurene i to slik at hun får en «pilspiss» og et «rektangel». Da er samlet antall prikker $P_{n} = S_{n} + F_{n}$ , der $S_{n}$ er antall prikker i «pilspissen» og $F_{n}$ er antall prikker i «rektangelet». Figuren nedenfor viser denne oppdelingen for figur nummer 3.

Oppdeling av figur nummer 3 i pilspissen S_3 og rektangelet F_3

For hånd

Forklar at antall prikker i «pilspissen» på figur nummer $n$ er gitt ved $S_{n} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

For hånd

Bestem en formel for det $n$ -te piltallet $P_{n}$ .

Fasit

$P_{1} = 6, P_{2} = 14, P_{3} = 25, P_{4} = 39, P_{5} = 56$

$S_{n} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ (trekanttall-argument)

$P_{n} = \frac{(n + 2) (3 n + 1)}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller prikker direkte fra figuren for $n = 1$ og $n = 2$ (gitt i oppgaven), og bruker mønsteret for $n = 3$ og $n = 4$ :

$n$	$S_{n}$ (pilspiss)	$F_{n}$ (rektangel)	$P_{n}$
1	3	3	6
2	6	8	14
3	10	15	25
4	15	24	39
5	21	35	56

$P_{1} = 6, P_{2} = 14, P_{3} = 25, P_{4} = 39, P_{5} = 56$

Pilspissen på figur $n$ er et triangulært mønster av prikker med $n + 1$ rader, der rad $k$ (fra toppen) inneholder $k$ prikker.

Antall prikker i pilspissen er derfor

S_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + (n + 1) = \sum_{k = 1}^{n + 1} k

Dette er trekanttall nummer $n + 1$ , og vi bruker formelen for summen av de $m$ første naturlige tallene:

\sum_{k = 1}^{m} k = \frac{m (m + 1)}{2}

Med $m = n + 1$ får vi

S_{n} = \frac{(n + 1) (n + 1 + 1)}{2} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}

Geometrisk forklaring: Vi kan kopiere trekanttallet og snu det opp ned, slik at det to trekanttallene til sammen danner et rektangel med dimensjoner $(n + 1) \times (n + 2)$ . Hvert av de to trekanttallene inneholder halvparten, altså $\frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ prikker.

Fra figuren ser vi at rektangelet $F_{n}$ for figur $n$ har bredde $n$ og høyde $n + 2$ :

F_{n} = n \cdot (n + 2) = n (n + 2)

Vi setter inn og forenkler:

P_{n} = S_{n} + F_{n} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} + n (n + 2)

Vi faktoriserer ut $(n + 2)$ :

P_{n} = (n + 2) \cdot (\frac{n + 1}{2} + n) = (n + 2) \cdot \frac{n + 1 + 2 n}{2} = (n + 2) \cdot \frac{3 n + 1}{2}

P_{n} = \frac{(n + 2) (3 n + 1)}{2}

Kontroll mot del a):

$n = 1$ : $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ ✓
$n = 2$ : $\frac{4 \cdot 7}{2} = 14$ ✓
$n = 3$ : $\frac{5 \cdot 10}{2} = 25$ ✓
$n = 4$ : $\frac{6 \cdot 13}{2} = 39$ ✓
$n = 5$ : $\frac{7 \cdot 16}{2} = 56$ ✓

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Rekker, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H13

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og bestemmelse av parametre S2 H13

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke med a2 og a5

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon med vendepunkt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Sushikvitteringer og likningssystem

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Terningspill på kasino med forventningsverdi

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Logistisk modell for forventet levealder i Norge

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Regresjon på CD-salg og musikk-streaming

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Annuitetslån og aksjefond med sparing som alternativ

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Hypotesetest for partis oppslutning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Piltall formel for pilspiss og rektangel

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av tre funksjoner S2 H13

Oppgave 1-2·Polynomdivisjon og bestemmelse av parametre S2 H13

Oppgave 1-3·Aritmetisk rekke med a2 og a5

Oppgave 1-4·Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon med vendepunkt

Oppgave 1-5·Sushikvitteringer og likningssystem

Oppgave 1-6·Terningspill på kasino med forventningsverdi

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Oppgave 2-2·Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling

Oppgave 2-3·Logistisk modell for forventet levealder i Norge

Oppgave 2-4·Regresjon på CD-salg og musikk-streaming

Oppgave 2-5·Annuitetslån og aksjefond med sparing som alternativ

Oppgave 2-6·Hypotesetest for partis oppslutning

Oppgave 2-7·Piltall formel for pilspiss og rektangel

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H13

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og bestemmelse av parametre S2 H13

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke med a2 og a5

Oppgave 1-4Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon med vendepunkt

Oppgave 1-5Sushikvitteringer og likningssystem

Oppgave 1-6Terningspill på kasino med forventningsverdi

Oppgave 2-1Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Oppgave 2-2Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling

Oppgave 2-3Logistisk modell for forventet levealder i Norge

Oppgave 2-4Regresjon på CD-salg og musikk-streaming

Oppgave 2-5Annuitetslån og aksjefond med sparing som alternativ

Oppgave 2-6Hypotesetest for partis oppslutning

Oppgave 2-7Piltall formel for pilspiss og rektangel