Logistisk modell for forventet levealder i Norge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge en modell fra Statistisk sentralbyrå vil forventet levealder til befolkningen i Norge følge funksjonen

f(x) = \frac{98{,}0}{1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}} \qquad , \quad x \in \left[0, \rightarrow\right\rangle

Her er $f(x)$ forventet levealder for dem som er født $x$ år etter 2012.

Hva blir forventet levealder for dem som blir født i 2020, ifølge denne modellen?

Bestem i hvilket år nyfødte kan forvente en levealder på 84 år.

Bruk $f'(x)$ til å vise at forventet levealder i Norge stadig øker, ifølge denne modellen.

Hva vil forventet levealder i Norge gå mot i det lange løp, ifølge modellen?

Fasit

$\underline{\underline{f(8) \approx 82{,}5 \text{~år}}}$

$\underline{\underline{x \approx 18{,}75}}$ , dvs. rundt år $\underline{\underline{2031}}$

$f'(x) > 0$ for alle $x \geq 0$ fordi telleren i den deriverte alltid er positiv.

$\underline{\underline{\lim_{x \to \infty} f(x) = 98{,}0 \text{~år}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Modellen er

f(x) = \frac{98{,}0}{1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}} \qquad x \geq 0

der $f(x)$ er forventet levealder (i år) for dem som er født $x$ år etter 2012.

Graf av f(x) med asymptote ved 98 og markerte punkter for deloppgave a og b

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne $f(8)$ (år 2020 er 8 år etter 2012):

GeoGebra CAS: f(8) ≈ 82,5

f(8) = \frac{98{,}0}{1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113 \cdot 8}} \approx \mathbf{82{,}5}

Ifølge modellen vil de som er født i 2020, ha en forventet levealder på omtrent $\underline{\underline{82{,}5 \text{~år}}}$ .

Vi løser likningen $f(x) = 84$ med GeoGebra CAS (se skjermbildet ovenfor, linje 3):

\frac{98{,}0}{1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}} = 84

GeoGebra gir $x \approx 18{,}75$ .

Siden $x$ er antall år etter 2012, tilsvarer dette år

2012 + 18{,}75 \approx 2031

Ifølge modellen kan nyfødte forvente en levealder på 84 år for dem som er født rundt $\underline{\underline{2031}}$ .

Vi deriverer $f(x)$ med GeoGebra CAS. Den deriverte av en logistisk funksjon

f(x) = \frac{98{,}0}{1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}}

kan skrives ved kvotientregelen. La $u = 98{,}0$ og $v = 1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}$ . Da er $u' = 0$ og

v' = 0{,}206 \cdot (-0{,}0113) \cdot e^{-0{,}0113x} = -0{,}002328 \cdot e^{-0{,}0113x}

slik at

f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 - 98{,}0 \cdot \bigl(-0{,}002328 \cdot e^{-0{,}0113x}\bigr)}{\bigl(1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}\bigr)^2}

f'(x) = \frac{98{,}0 \cdot 0{,}002328 \cdot e^{-0{,}0113x}}{\bigl(1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}\bigr)^2}

Vi ser at:

Telleren inneholder faktoren $e^{-0{,}0113x}$ , som er strengt positiv for alle $x$ , samt de positive konstantene $98{,}0$ og $0{,}002328$ . Dermed er telleren $> 0$ .
Nevneren er et kvadrat, altså $> 0$ .

Siden både teller og nevner er positive for alle $x \geq 0$ , er

f'(x) > 0 \quad \text{for alle } x \geq 0

Dette viser at $f$ er strengt voksende, og dermed at forventet levealder stadig øker ifølge modellen.

Når $x \to \infty$ , går $e^{-0{,}0113x} \to 0$ . Derfor blir

\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{98{,}0}{1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}} = \frac{98{,}0}{1 + 0{,}206 \cdot 0} = \frac{98{,}0}{1} = 98{,}0

Ifølge modellen vil forventet levealder i Norge på sikt gå mot $\underline{\underline{98{,}0 \text{~år}}}$ .

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter