Piltall formel for pilspiss og rektangel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Antall prikker i figurene nedenfor kaller vi for piltallene $P_n$ . Vi ser at $P_1 = 6$ og $P_2 = 14$ .

Piltallene P_1 til P_4

Skriv opp de fem første piltallene.

Maria ser at hun kan dele figurene i to slik at hun får en «pilspiss» og et «rektangel». Da er samlet antall prikker $P_n = S_n + F_n$ , der $S_n$ er antall prikker i «pilspissen» og $F_n$ er antall prikker i «rektangelet». Figuren ovenfor viser denne oppdelingen for figur nummer 3.

Forklar at antall prikker i «pilspissen» på figur nummer $n$ er gitt ved $S_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ .

Bestem en formel for det $n$ -te piltallet $P_n$ .

Fasit

$P_1 = 6,\; P_2 = 14,\; P_3 = 25,\; P_4 = 39,\; P_5 = 56$

$S_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ (trekanttall-argument)

$\underline{\underline{P_n = \dfrac{(n+2)(3n+1)}{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller prikker direkte fra figuren for $n = 1$ og $n = 2$ (gitt i oppgaven), og bruker mønsteret for $n = 3$ og $n = 4$ :

$n$	$S_n$ (pilspiss)	$F_n$ (rektangel)	$P_n$
1	3	3	6
2	6	8	14
3	10	15	25
4	15	24	39
5	21	35	56

$\underline{\underline{P_1 = 6,\; P_2 = 14,\; P_3 = 25,\; P_4 = 39,\; P_5 = 56}}$

Pilspissen på figur $n$ er et triangulært mønster av prikker med $n+1$ rader, der rad $k$ (fra toppen) inneholder $k$ prikker.

Antall prikker i pilspissen er derfor

S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n+1) = \sum_{k=1}^{n+1} k

Dette er trekanttall nummer $n+1$ , og vi bruker formelen for summen av de $m$ første naturlige tallene:

\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}

Med $m = n+1$ får vi

S_n = \frac{(n+1)(n+1+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Geometrisk forklaring: Vi kan kopiere trekanttallet og snu det opp ned, slik at det to trekanttallene til sammen danner et rektangel med dimensjoner $(n+1) \times (n+2)$ . Hvert av de to trekanttallene inneholder halvparten, altså $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ prikker.

Fra figuren ser vi at rektangelet $F_n$ for figur $n$ har bredde $n$ og høyde $n+2$ :

F_n = n \cdot (n+2) = n(n+2)

Vi setter inn og forenkler:

P_n = S_n + F_n = \frac{(n+1)(n+2)}{2} + n(n+2)

Vi faktoriserer ut $(n+2)$ :

P_n = (n+2) \cdot \left(\frac{n+1}{2} + n\right) = (n+2) \cdot \frac{n+1+2n}{2} = (n+2) \cdot \frac{3n+1}{2}

\underline{\underline{P_n = \frac{(n+2)(3n+1)}{2}}}

Kontroll mot del a):

$n=1$ : $\dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$ ✓
$n=2$ : $\dfrac{4 \cdot 7}{2} = 14$ ✓
$n=3$ : $\dfrac{5 \cdot 10}{2} = 25$ ✓
$n=4$ : $\dfrac{6 \cdot 13}{2} = 39$ ✓
$n=5$ : $\dfrac{7 \cdot 16}{2} = 56$ ✓

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2013, del 2, oppgave 7
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Rekker, Bevis

Piltall formel for pilspiss og rektangel

Sync på tvers av enheter

Piltall formel for pilspiss og rektangel

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave