Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Det viser seg at kostnadene $K(x)$ og inntektene $I(x)$ per dag er gitt ved

K(x) = 0{,}1x^2 - 10x + 2200

I(x) = 2400 \cdot \ln(x+1)

Bestem $K'(100)$ og $I'(100)$ . Kan du ut fra disse tallene si om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag?

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd for bedriften.

Fasit

$K'(100) = 10$ , $I'(100) = \dfrac{2400}{101} \approx 23{,}76$ . Siden $I'(100) > K'(100)$ bør bedriften produsere flere enn 100 enheter.

$\underline{\underline{x \approx 137}}$ gir størst overskudd $O(137) \approx \underline{\underline{9118 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer kostnadsfunksjonen og inntektsfunksjonen.

K(x) = 0{,}1x^2 - 10x + 2200 \implies K'(x) = 0{,}2x - 10

I(x) = 2400 \cdot \ln(x+1) \implies I'(x) = \frac{2400}{x+1}

Vi setter inn $x = 100$ :

K'(100) = 0{,}2 \cdot 100 - 10 = \textcolor{tomato}{10}

I'(100) = \frac{2400}{100+1} = \frac{2400}{101} \approx \textcolor{steelblue}{23{,}76}

Tolkning: $K'(100) = 10$ betyr at den 101. enheten koster ca. $10 \, \mathrm{kr}$ å produsere. $I'(100) \approx 23{,}76$ betyr at den 101. enheten gir ca. $23{,}76 \, \mathrm{kr}$ i inntekt. Siden $\textcolor{steelblue}{I'(100)} > \textcolor{tomato}{K'(100)}$ , er overskuddet stigende ved $x = 100$ , og bedriften bør produsere flere enn 100 enheter.

Overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x)$ . Vi finner maksimum ved å bruke GeoGebra CAS.

Vi definerer funksjonene og løser $O'(x) = 0$ , som tilsvarer $I'(x) = K'(x)$ (grenseinntekt = grensekostnad):

GeoGebra CAS – derivasjon og løsning av O'(x) = 0

CAS gir løsningen

x = \frac{\sqrt{50601} + 49}{2} \approx 137

(Den negative roten forkastes siden $x \geq 0$ .)

Vi leser av grafen under at overskuddsfunksjonen $O(x)$ (grønn) har maksimum nær $x = 137$ , der inntektskurven $I(x)$ (blå) og kostnadskurven $K(x)$ (rød) har størst avstand:

Graf av K(x), I(x) og O(x) med makspunkt markert

$O(137) = 2400 \cdot \ln(138) - (0{,}1 \cdot 137^2 - 10 \cdot 137 + 2200) \approx 9119 \, \mathrm{kr}$

Bedriften bør produsere $\underline{\underline{x \approx 137}}$ enheter per dag, og da er det maksimale overskuddet ca. $\underline{\underline{9118 \, \mathrm{kr}}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2013, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi

Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Sync på tvers av enheter

Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave